Банк задач по математике

Задача 720

С помощью инвариантов

\begin{aligned} & I_{1} = a_{11}+a_{22}+a_{33}, \quad I_{2} =\left|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{smallmatrix}\right|+\left|\begin{smallmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} \end{smallmatrix}\right|+\left|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{13} & a_{33} \end{smallmatrix}\right| \\ & I_{3} =\left|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{smallmatrix}\right| \\ & I_{4} =\left|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{2} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & a \end{smallmatrix}\right| \end{aligned}

найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы поверхность второго порядка, заданная общим уравнением

\begin{aligned} a_{11} x^{2}+a_{22} y^{2}+a_{33} z^{2}+2 a_{12} x y+2 a_{23} y z & +2 a_{13} z x+ \\ + & 2 a_{1} x+2 a_{2} y+2 a_{3} z+a = 0 \end{aligned}

была:

?

(1)

эллипсоидом;

(2)

мнимым эллипсоидом;

(3)

мнимым конусом;

(4)

однополостным гиперболоидом;

(5)

двуполостным гиперболоидом;

(6)

конусом;

(7)

эллиптическим параболоидом;

(8)

гиперболическим параболоидом.

Задача 721

(1)(2)(3)

(Ортогональные полуинварианты). Доказать, что:

?

(1)

функции

\begin{aligned} I_{3}^{*} & =\left|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{1} \\ a_{12} & a_{22} & a_{2} \\ a_{1} & a_{2} & a \end{smallmatrix}\right|+\left|\begin{smallmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{2} \\ a_{23} & a_{33} & a_{3} \\ a_{2} & a_{3} & a \end{smallmatrix}\right|+\left|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{1} \\ a_{13} & a_{33} & a_{3} \\ a_{1} & a_{3} & a \end{smallmatrix}\right| \\ I_{2}^{*} & =\left|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{1} \\ a_{1} & a \end{smallmatrix}\right|+\left|\begin{smallmatrix} a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a \end{smallmatrix}\right|+\left|\begin{smallmatrix} a_{33} & a_{3} \\ a_{3} & a \end{smallmatrix}\right| \end{aligned}

от коэффициентов многочлена второй степени с тремя переменными

\begin{aligned} a_{11} x^{2}+a_{22} y^{2}+a_{33} z^{2}+2 a_{12} x y+2 a_{23} y z & +2 a_{13} z x+ \\ & +2 a_{1} x+2 a_{2} y+2 a_{3} z+a = 0 \end{aligned}

являются инвариантами однородного ортогонального преобразования переменных;

(2)

$I_{3}^{*}$ является инвариантом неоднородного ортогонального преобразования переменных, если

I_{4} =\left|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{2} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & a \end{smallmatrix}\right| = 0, \quad I_{3} =\left|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{smallmatrix}\right| = 0

(3)

$I_{2}^{*}$ является инвариантом неоднородного ортогонального преобразования переменных, если $I_{3} = I_{4} = 0$ и

I_{2} =\left|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{smallmatrix}\right|+\left|\begin{smallmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} \end{smallmatrix}\right|+\left|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{13} & a_{33} \end{smallmatrix}\right| = 0, \quad I_{3}^{*} = 0

Задача 722

С помощью инвариантов $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}$ и полуинвариантов $I_{2}^{*}, I_{3}^{*}$ найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы поверхность второго порядка, заданная общим уравнением, была:

?

(1)

эллиптическим цилиндром;

(2)

мнимым эллиптическим цилиндром;

(3)

парой мнимых пересекающихся плоскостей;

(4)

гиперболическим цилиндром;

(5)

парой действительных пересекающихся плоскостей;

(6)

параболическим цилиндром;

(7)

парой действительных параллельных плоскостей;

(8)

парой мнимых параллельных плоскостей;

(9)

парой совпадающих плоскостей.

Задача 723

Не производя замен координат, составить канонические уравнения поверхностей:

?

(1)

$3 x^{2}+3 y^{2}+4 x y+2 x z-2 y z-6 x-14 y+9 = 0$

(2)

$3 x^{2}+3 y^{2}+4 x y+2 x z-2 y z-8 x-2 y-6 z+8 = 0$ ;

(3)

$3 x^{2}+3 y^{2}+4 x y+2 x z-2 y z-2 x-8 y+2 z+5 = 0$ ;

(4)

$-z^{2}+4 x y-2 x z+2 y z+2 x-2 y+4 z = 0$ ;

(5)

$4 x^{2}+4 y^{2}+2 z^{2}+2 x y+2 x z-2 y z-10 x-10 y-10 = 0$ ;

(6)

$2 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}+x y+x z-y z-3 x-2 y-3 z+5 = 0$ ;

(7)

$3 x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}-2 x y+4 x z-4 y z-1 = 0$ .

Задача 724

Найти наибольший угол $\varphi$ между образующими конуса $z^{2} + 2 x y+2 x z+2 y z = 0$ , а также углы $\alpha , \beta , \gamma$ , которые составляет его ось с осями координат.

?

Задача 725

Выразить с помощью инвариантов условия, необходимые и достаточные для того, чтобы общее уравнение второй степени определяло параболоид вращения, и найти его параметр.

?

Задача 726

С помощью инвариантов выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы общее уравнение второй степени определяло гиперболический параболоид с равными параметрами главных сечений, и найти эти параметры.

?

Задача 727

С помощью инвариантов найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы общее уравнение второй степени с тремя неизвестными определяло однополостный или двуполостный гиперболоиды с равными полуосями.

Пользуясь инвариантами, написать каноническое уравнение этих гиперболоидов.

?

Задача 728

Дана поверхность второго порядка

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 a x y+2 a x z+2 a y z = 1

Доказать, что при всех значениях параметра $a$ эта поверхность является поверхностью вращения; найти направляющий вектор ее оси вращения.

Для каких значений параметра $a$ поверхность будет эллипсоидом?

?

Задача 729

Определить $k$ так, чтобы поверхность $x^{2}-2 x y+k z^{2} = 0$ была конусом вращения, и найти ось вращения.

?

Задача 730

Составить уравнение конуса второго порядка, пересекающего плоскость $O y z$ по окружности $y^{2}+z^{2} = 2 r y, x = 0$ , а плоскость $O x z$ — по параболе $z^{2} = 2 p x, y = 0$ .

?

Задача 731

Составить уравнение конуса второго порядка, на котором лежат окружности

y^{2}+z^{2}-2 b y = 0, x = 0 ; \quad x^{2}+z^{2}-2 a x = 0, y = 0

?

Задача 732

Составить уравнение поверхности второго порядка, пересекающей координатные плоскости по гиперболам

y z = \frac{a^{2}}{2}, x = 0 ; \quad x z = \frac{b^{2}}{2}, \quad y = 0 ; \quad x y = \frac{c^{2}}{2}, z = 0

Определить вид этой поверхности. Привести ее уравнение к каноническому виду при $a = b = c = 1$ .

?

Задача 733

Составить уравнение параболоида, проходящего через прямые $x = 0, z = 2$ и $y = 0, z = -2$ и через две точки $(0,1,-1),(1,-1,0)$ .

?

Задача 734

Доказать, что сумма чисел, обратных квадратам длин трех любых попарно перпендикулярных радиусов эллипсоида

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

постоянна и равна

\frac{1}{r_{1}^{2}}+\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{1}{r_{3}^{2}} = \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}

?

Задача 735

Доказать, что все плоскости, проходящие через концы трех попарно перпендикулярных радиусов эллипсоида, касаются сферы, вписанной в куб, вписанный в эллипсоид.

?

Задача 736

Доказать, что геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра эллипсоида на плоскости, проходящие через концы трех попарно перпендикулярных диаметров эллипсоида, — это сфера, вписанная в куб, который, в свою очередь, вписан в данный эллипсоид.

?

Задача 737

Найти геометрическое место вершин прямого трехгранного угла, стороны которого касаются эллипсоида

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{a^{2}} = 1

?

Ортогональные инварианты поверхностей второго порядка