7.6

Плоские сечения поверхностей второго порядка

[33/94%]
Показать
LaTeX
Задача 779

Установить, пересекает ли плоскость 2x+2y+z−3=02 x+2 y+z-3 = 0 эллипсоид x2+y2+z24=1x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4} = 1.

?
Задача 780

По какой линии плоскость x+y−z+3=0x+y-z+3 = 0 пересекает двуполостный гиперболоид x2+y2−z2=−4x^{2}+y^{2}-z^{2} = -4?

?
Задача 781

Доказать, что если p′p^{\prime } и q′q^{\prime } — параметры парабол, полученных в сечении эллиптического параболоида

x2p+y2q=2z(p>0,q>0) \frac{x^{2}}{p}+\frac{y^{2}}{q} = 2 z \quad (p > 0, q > 0)

двумя его сопряженными диаметральными плоскостями, то p′+q′=p+qp^{\prime }+q^{\prime } = p+q.

?
Задача 782

Доказать, что если p′p^{\prime } и q′q^{\prime } — параметры парабол, полученных в сечении гиперболического параболоида

x2p−y2q=2z(p>0,q>0) \frac{x^{2}}{p}-\frac{y^{2}}{q} = 2 z \quad (p > 0, q > 0)

двумя его сопряженными диаметральными плоскостями, то p′−q′=p−qp^{\prime }-q^{\prime } = p-q.

?
Задача 783

Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку (a,0,0)(a, 0,0) и пересекающих однополостный гиперболоид

x2a2+y2b2−z2c2=1 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

по двум параллельным прямым.

?
Задача 784

Найти линию пересечения однополостного гиперболоида x2+y2−z2=1x^{2}+y^{2}-z^{2} = 1 и плоскости 3x+4y−5z=03 x+4 y-5 z = 0.

?
Задача 785

Доказать, что плоскость

xp−yq+D=0 \frac{x}{\sqrt{p}}-\frac{y}{\sqrt{q}}+D = 0

пересекает гиперболический параболоид

x2p−y2q=2z(p>0,q>0) \frac{x^{2}}{p}-\frac{y^{2}}{q} = 2 z \quad (p > 0, q > 0)

по прямой, и составить ее уравнения.

?
Задача 786

По какой линии касательная плоскость к однополостному гиперболоиду рассекает его асимптотический конус?

?
Задача 787

По какой линии однополостный гиперболоид рассекается касательной плоскостью к его асимптотическому конусу?

?
Задача 788

Плоскость пересекает конус

x2a2+y2b2−z2c2=0,a⩾b \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 0, \quad a \geqslant b

по гиперболе. В каких границах может изменяться эксцентриситет гиперболы?

?
Задача 789

Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и пересекающей по окружности эллиптический цилиндр

x2a2+y2b2=1,a>b \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, \quad a > b
?
Задача 790

Составить уравнение плоскости, пересекающей гиперболический цилиндр

x2a2−y2b2=1,a≠b \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, \quad a \neq b

по равносторонней гиперболе и проходящей через ось:

?
(1)

OxO x;

(2)

Oy. Найти полуоси этих гипербол.

Задача 791

Составить уравнение плоскости, пересекающей гиперболический параболоид

x2p−y2q=2z,p>0,q>0 \frac{x^{2}}{p}-\frac{y^{2}}{q} = 2 z, \quad p > 0, q > 0

по равносторонней гиперболе и проходящей через ось:

?
(1)

OxO x;

(2)

OyO y. Найти полуоси этих гипербол.

Задача 792

В каждом из следующих случаев определить вид линии пересечения поверхности с плоскостью и определить расположение линии относительно исходной системы координат:

?
(1)

x2+y2−z2=0,x−z+1=0x^{2}+y^{2}-z^{2} = 0, x-z+1 = 0;

(2)

x29+y24+z21=1,x+z+453=0\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{1} = 1, x+z+\frac{4 \sqrt{5}}{3} = 0;

(3)

x2+2y2+z2+4xy−2xz−4yz+2x−6z=0,x−z=0x^{2}+2 y^{2}+z^{2}+4 x y-2 x z-4 y z+2 x-6 z = 0, x-z = 0.

Задача 793

Определить вид линии, по которой плоскость x+y+z−1=0x+y+z-1 = 0 пересекает параболический цилиндр y2=2xy^{2} = 2 x. Написать каноническое уравнение этой линии и найти каноническую систему координат.

?
Задача 794

Определить вид линии пересечения конуса x2+y2−z2=0x^{2}+y^{2}-z^{2} = 0 с плоскостью 4x−3y−5z+4=04 x-3 y-5 z+4 = 0. Написать каноническое уравнение этой линии и найти каноническую систему координат.

?
Задача 795

Определить вид линии пересечения однополостного гиперболоида x2+y2−z2=1x^{2}+y^{2}-z^{2} = 1 и плоскости 2x+2y+z−1=02 x+2 y+z-1 = 0.

?
Задача 796

Найти фокусы эллипса, получающегося при пересечении цилиндра x2+y2=36x^{2}+y^{2} = 36 плоскостью 3x+4y+12z=03 x+4 y+12 z = 0.

?
Задача 797

Найти все значения параметра kk, для каждого из которых плоскость пучка 2x+y+2+k(y+z)=02 x+y+2+k(y+z) = 0 пересекает конус x2+y2−−z2=0x^{2}+y^{2}- -z^{2} = 0 по эллипсу.

?
Задача 798

Через прямую 2x=2y=z2 x = 2 y = z провести плоскость, пересекающую гиперболический параболоид 4x2−y2+z=04 x^{2}-y^{2}+z = 0 по равносторонней гиперболе.

?
Задача 799

По линиям какого типа может пересекать плоскость каждую из следующих поверхностей:

?
(1)

эллипсоид;

(2)

однополостный гиперболоид;

(3)

двуполостный гиперболоид;

(4)

конус;

(5)

эллиптический параболоид;

(6)

гиперболический параболоид?

Задача 800

Найти все плоскости, пересекающие по окружности каждую из следующих поверхностей:

?
(1)

x2a2+y2b2+z2c2=1,a>b>c\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1, a > b > c;

(2)

x2a2+y2b2−z2c2=1,a>b\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1, a > b;

(3)

x2a2+y2b2−z2c2=−1,a>b\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = -1, a > b;

(4)

x2a2+y2b2−z2c2=0,a>b\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 0, a > b;

(5)

x2p+y2q=2z,p>q>0\frac{x^{2}}{p}+\frac{y^{2}}{q} = 2 z, p > q > 0;

(6)

x2a2+y2b2=1,a>b\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, a > b.

Задача 801

Найти радиус кругового сечения эллипсоида

x2a2+y2b2+z2c2=1,a>b>c \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1, \quad a > b > c

и однополостного гиперболоида

x2a2+y2b2−z2c2=1,a>b \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1, \quad a > b

плоскостью, проходящей через центр поверхности.

?
Задача 802

Найти необходимое и достаточное условие того, что плоскость

Ax+By+Cz+D=0(7.3) A x+B y+C z+D = 0 \tag {7.3}

пересекает поверхность второго порядка

a11x2+a22y2+a33z2+2a23yz+2a13zx+2a12xy++2a1x+2a2y+2a3z+a=0 \begin{align} a_{11} x^{2}+a_{22} y^{2}+a_{33} z^{2}+2 a_{23} y z & +2 a_{13} z x+2 a_{12} x y+ \\ & +2 a_{1} x+2 a_{2} y+2 a_{3} z+a = 0 \end{align}

по центральной линии. Определить координаты центра линии пересечения поверхности (7.4) с плоскостью (7.3).

?
Задача 803

Через данную точку (x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) провести плоскость так, чтобы она пересекала поверхность

a11x2+a22y2+a33z2+2a23yz+2a13zx+2a12xy++2a1x+2a2y+2a3z+a=0 \begin{aligned} a_{11} x^{2}+a_{22} y^{2}+a_{33} z^{2}+2 a_{23} y z+2 a_{13} z x & +2 a_{12} x y+ \\ & +2 a_{1} x+2 a_{2} y+2 a_{3} z+a = 0 \end{aligned}

по центральной кривой с центром в этой точке при условии, что последняя не является центром данной поверхности.

?
Задача 804

Найти геометрическое место центров сечений (действительных или мнимых) эллипсоида

x2a2+y2b2+z2c2=1 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

плоскости которых проходят через данную точку (x0,y0,z0)(x_{0}, y_{0}, z_{0}) вне эллипсоида.

?
Задача 805

Используя предыдущую задачу, найти конус второго порядка, образующие которого касаются эллипсоида

x2a2+y2b2+z2c2=1 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

а центр лежит в точке (x0,y0,z0)(x_{0}, y_{0}, z_{0}) вне эллипсоида.

?
Задача 806

Найти границу тени, которую отбрасывает эллипсоид

x24+y24+z21=1 \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{1} = 1

на плоскость z=−1z = -1, если источник света находится в точке (2,2,2)(2,2,2).

?
Задача 807

Дан круговой конус

x2r2+y2r2=z2 \frac{x^{2}}{r^{2}}+\frac{y^{2}}{r^{2}} = z^{2}

Через точку (x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) провести плоскость, пересекающую данный конус по невырожденной кривой второго порядка, один из фокусов которой находится в указанной точке.

?
Задача 808

Найти фокусы сечения конуса x2+y2+z2−2yz−2zx−−2xy=0x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y z-2 z x- -2 x y = 0 плоскостью x+2y+2z=24x+2 y+2 z = 24.

?
Задача 809

Найти геометрическое место фокусов парабол, получающихся сечением кругового конуса

x2r2+y2r2=z2 \frac{x^{2}}{r^{2}}+\frac{y^{2}}{r^{2}} = z^{2}
?
Задача 810

Найти геометрическое место центров равносторонних гипербол, лежащих на гиперболическом параболоиде

x2p−y2q=2z,p≠q \frac{x^{2}}{p}-\frac{y^{2}}{q} = 2 z, \quad p \neq q
?
Задача 811

Найти необходимое и достаточное условие, при котором плоскость Ax+By+Cz+D=0A x+B y+C z+D = 0 пересекает параболический цилиндр y2=2pxy^{2} = 2 p x по параболе с параметром pp.

?