Прямые и плоскости в пространстве

Написать общее уравнение плоскости по ее параметрическим уравнениям: $x = u-6 v, y = 1+2 u, z = 2+3 v$.

Написать каноническое уравнение линии пересечения плоскостей $x+2 y-z+2 = 0$ и $2 x+y+z+1 = 0$.

Дана точка $M(1,2,3)$. Написать уравнения:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку $(1,2,-3)$ и параллельной векторам $(1,-1,2)$ и $(2,3,-1)$.

Написать уравнение плоскости, которая проходит через точки $(4,3,2),(5,2,4)$ и $(1,-1,1)$.

Найти параметрические уравнения плоскости, проходящей через точки $(-2,1,1),(1,2,5)$ и $(-1,2,3)$, и написать ее общее уравнение.

Написать уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки $M_{i}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right), i = 1,2,3$.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку $(3,5,1)$ и отсекающей на осях координат равные по длине отрезки. Система координат прямоугольная.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $(1,2,1)$ и $(3,1,1)$ и параллельной вектору $(-1,1,2)$.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки $M_{1}$ и $M_{2}, M_{i}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$, и параллельной вектору $\mathbf{v} = (\alpha , \beta , \gamma )$, неколлинеарному вектору $\overrightarrow {M_{1} M_{2}}$.

Составить уравнения прямой, которая проходит через точку $A(1,-5,3)$ и образует с осями координат углы, соответственно равные $\pi / 3, \pi / 4,2 \pi / 3$. (Система координат прямоугольная.)

Найти направляющий вектор линии пересечения плоскостей $x-y+2 z-1 = 0$ и $2 x+3 y-z+5 = 0$.

Найти параметрические уравнения линии пересечения плоскости $2 x-y+3 z-4 = 0$ с координатной плоскостью $O x y$.

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $(2,3,1)$ параллельно плоскости $x-y-1 = 0$ и пересекающей ось $O y$.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $M$ и содержащей прямую $\ell$ :

Найти уравнение плоскости, содержащей прямую $\ell$ и параллельной вектору а, если:

Найти уравнение плоскости, параллельной прямой $\ell$ и проходящей через точки $A$ и $B$, если:

Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости $x+z = 0$ и пересекающей прямую

но не имеющей общих точек с прямой $x = 1+t, y = 3+4 t, z = -1-t$.

Провести плоскость через параллельные прямые

В плоскости, которая проходит через три точки $M(1,1,-1)$, $N(-1,-1,-1), P(0,1,0)$, выбрана аффинная система координат с началом в точке $M$ и базисными векторами $\overrightarrow {M N}, \overrightarrow {M P}$. Найти:

В плоскости $2 x+3 y-4 z+12 = 0$ выбрана аффинная система координат $u, v$, начало которой находится в точке $S$ пересечения этой плоскости с осью $O z$, а концы базисных векторов соответственно в точках $P, Q$ пересечения плоскости с осями $O x$ и $O y$.

Даны три прямые

Написать уравнения прямой, пересекающей первые две из указанных прямых и параллельной третьей.

Написать уравнения прямой, проходящей через точку $(1,2,3)$ и пересекающей прямые $\frac{x}{2} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-2}{1}, \frac{x}{4} = \frac{y+2}{0} = \frac{z}{3}$.

Составить уравнения проекции прямой $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z}{1}$ из точки $(1,2,1)$ на плоскость $y-2 z+4 = 0$.

Доказать, что шесть плоскостей, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра и середину противоположного ему ребра, пересекаются в одной точке.

Определить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают. Если плоскости пересекаются, найти канонические уравнения линии пересечения:

Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли прямая $\ell$ в плоскости $P$, параллельна плоскости $P$ или пересекает ее; в последнем случае найти точку пересечения прямой и плоскости:

Установить взаимное расположение двух прямых в каждом из следующих случаев (они могут: а) пересекаться, б) быть параллельными, в) скрещиваться, г) совпадать):

Даны две плоскости

С помощью рангов $r$ и $R$ матриц

соответственно найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы плоскости:

Две плоскости заданы своими параметрическими уравнениями

С помощью рангов $r$ и $R$ матриц

соответственно выразить необходимые и достаточные условия для того, чтобы плоскости:

Даны плоскость $A x+B y+C z+D = 0$ и прямая

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая:

Даны две прямые

С помощью рангов $r$ и $R$ матриц

соответственно выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые:

Даны две прямые

Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы они:

Найти геометрическое место точек, делящих в одном и том же отношении $\lambda$ отрезки с концами на двух данных скрещивающихся прямых.

Даны три плоскости:

Пусть $r$ и $R$ — ранги матриц

соответственно; $r_{i}, R_{i}$ — ранги матриц, полученных из данных удалением $i$-й строки, $i = 1,2,3$. Выразить через $r, R, r_{i}, R_{i}$ необходимые и достаточные условия для того, чтобы:

Определить взаимное расположение трех плоскостей в каждом из следующих случаев:

При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости

образуют тетраэдр?

Даны четыре плоскости

С помощью рангов $r$ и $R$ матриц

соответственно выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости принадлежали:

Пусть $\Pi_{i}(i = 1,2,3,4)$ — плоскости с уравнениями $A_{i} x + B_{i} y+C_{i} z+D_{i} = 0$, каждые три из которых пересекаются в одной точке, но все вместе общей точки не имеют. Доказать, что любая функция вида $A x+B y+C z+D$ представима в виде линейной комбинации левых частей уравнений плоскостей $\Pi_{i}$, т. е. существуют такие константы $\lambda_{i}$, что

Описать все четверки

плоскостей в пространстве, обладающих следующим свойством: любая функция вида $A x+B y+C z+D$ представима в виде линейной комбинации левых частей уравнений плоскостей $\Pi_{i}$, т. е. существуют такие константы $\lambda_{i}$, что

Составить уравнение плоскости, содержащей линию пересечения плоскостей $\Pi_{1}, \Pi_{2}$ и проходящей через точку $M$ :

Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей $x-2 y+z-1 = 0,2 x-3 y+4 z-5 = 0$ и параллельной вектору $(3,2,-2)$.

Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей $2 x-y+5 z-4 = 0, y-7 z+12 = 0$ и отсекающей на осях $O x$ и $O z$ равные по длине ненулевые отрезки.

Показать, что плоскости

образуют тетраэдр. Провести плоскость через линию пересечения плоскостей $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$ параллельно линии пересечения $\Pi_{3}$ и $\Pi_{4}$.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами $(2,-1,-3$) и параллельной прямым пересечения плоскостей $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$ и плоскостей $\Pi_{3}$ и $\Pi_{4}$, где плоскости $\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}$ и $\Pi_{4}$ задаются уравнениями $x+y-z+2 = 0,2 x-y+3 z-1 = 0$, $3 x+2 y+z-4 = 0$ и $x+3 y+2 z-2 = 0$ соответственно.

Написать уравнение плоскости, параллельной прямым пересечения плоскостей $\Pi_{1}, \Pi_{2}$ и $\Pi_{3}, \Pi_{4}$ и находящейся на равном расстоянии от этих двух прямых; плоскости $\Pi_{i}(i = 1,2,3,4)$ те же, что и в предыдущей задаче.

Составить уравнение плоскости, проходящей через ось $\mathrm{Oz}$ и равноудаленной от точек $(2,3,-10)$ и $(1,-3,19)$.

Даны вершины тетраэдра $P(3,5,-1), Q(7,5,3), R(9,-1,5)$, $S(5,3,-3)$. Написать уравнение плоскостей, равноудаленных от всех вершин тетраэдра $P Q R S$.

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку $(1,2,-1)$ и пересекает прямые

Показать, что три плоскости $x+2 y-z-4 = 0,3 x-2 y + 3 z-6 = 0,4 y-3 z+3 = 0$ образуют призму, и написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения первых двух граней призмы и параллельной третьей.

Через точку $P(-1,2,3)$ провести плоскость так, чтобы в треугольнике, отсекаемом на ней плоскостями координат, точка $P$ была точкой пересечения медиан.

Пусть $\Pi_{i}(i = 1,2,3)$ — плоскости с уравнениями $A_{i} x+B_{i} y + C_{i} z+D_{i} = 0$, пересекающиеся в одной точке, $P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ — точка, не лежащая ни в одной из плоскостей $\Pi_{i}$. Написать уравнение плоскости $П$, пересекающей плоскости $\Pi_{i}$ и проходящей через точку $P$ так, что последняя является точкой пересечения медиан треугольника на плоскости П, ограниченного линиями пересечения плоскости П с плоскостями $\Pi_{i}$.

Какие две из трех точек $A(0,2,-1), B(0,-3,2), C(-3,2,1)$ лежат по одну сторону от плоскости $3 x+2 y+z+1 = 0$?

Какая из двух плоскостей $x+2 y+4 z-11 = 0$ и $x-y+3 z-9 = 0$ разделяет точки $A(1,3,-1)$ и $B(5,-3,1)$?

Даны две точки $A(1,3,-1)$ и $B(5,3,1)$ и плоскость $x-4 y + 2 z-7 = 0$. Установить, пересекает ли данная плоскость отрезок $A B$, его продолжение за точку $A$ или за точку $B$.

Даны две точки $P\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и $Q\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ и плоскость $A x + B y+C z+D = 0$. Не находя ее точку пересечения с прямой $P Q$, найти отношение, в котором эта точка делит отрезок $P Q$.

Даны две точки $P\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и $Q\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$. Найти, в каком отношении точка пересечения прямой $P Q$ с плоскостью

делит отрезок $P Q$.

Доказать, что вектор с координатами $(A, B, C$) всегда направлен в сторону «положительного» полупространства относительно плоскости $A x+B y+C z+D = 0$.

Дана точка $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$. При каком необходимом и достаточном условии эта точка лежит между двумя параллельными плоскостями $A x+B y+C z+D = 0$ и $A x+B y+C z+E = 0$?

Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка лежала внутри тетраэдра, образованного плоскостями

Даны четыре плоскости: $x+y = 0, x-z = 0, x+y+2 z = 0$, $y = 0$. В каждом из следующих случаев найти такие плоскости, проходящие через точку $P$, что четырехугольники, высекаемые на них этими плоскостями, являются параллелограммами, и определить, лежит ли точка $P$ внутри или вне этих параллелограммов:

Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $(2,3,-1)$ и перпендикулярной вектору $(1,-3,-1)$.

Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $(1,1,1)$ и перпендикулярной прямой

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и перпендикулярной к прямой

Найти уравнение плоскости, перпендикулярной прямой $x + 2 y-z+5 = 0,3 x+y+z-7 = 0$ и проходящей через точку $(2,-3,1)$.

Найти уравнение плоскости, которая перпендикулярна плоскостям $2 x+y-z+7 = 0$ и $x-3 y+z-1 = 0$ и проходит через точку $(-1,1,0)$.

Задать параметрически плоскость, проходящую через точку $(2,-1,1)$ и перпендикулярную прямой $x-2 y+z+3 = 0,2 x+3 y-z+8 = 0$.

Найти уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости $4 x+2 y-z+8 = 0$ и проходящей через точки $(0,1,-2)$ и $(2,-1,1)$.