Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Пучки и связки плоскостей. Связки прямых

Определить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают. Если плоскости пересекаются, найти канонические уравнения линии пересечения:

Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли прямая $\ell$ в плоскости $P$, параллельна плоскости $P$ или пересекает ее; в последнем случае найти точку пересечения прямой и плоскости:

Установить взаимное расположение двух прямых в каждом из следующих случаев (они могут: а) пересекаться, б) быть параллельными, в) скрещиваться, г) совпадать):

Даны две плоскости

С помощью рангов $r$ и $R$ матриц

соответственно найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы плоскости:

Две плоскости заданы своими параметрическими уравнениями

С помощью рангов $r$ и $R$ матриц

соответственно выразить необходимые и достаточные условия для того, чтобы плоскости:

Даны плоскость $A x+B y+C z+D = 0$ и прямая

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая:

Даны две прямые

С помощью рангов $r$ и $R$ матриц

соответственно выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые:

Даны две прямые

Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы они:

Найти геометрическое место точек, делящих в одном и том же отношении $\lambda$ отрезки с концами на двух данных скрещивающихся прямых.

Даны три плоскости:

Пусть $r$ и $R$ — ранги матриц

соответственно; $r_{i}, R_{i}$ — ранги матриц, полученных из данных удалением $i$-й строки, $i = 1,2,3$. Выразить через $r, R, r_{i}, R_{i}$ необходимые и достаточные условия для того, чтобы:

Определить взаимное расположение трех плоскостей в каждом из следующих случаев:

При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости

образуют тетраэдр?

Даны четыре плоскости

С помощью рангов $r$ и $R$ матриц

соответственно выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости принадлежали:

Пусть $\Pi_{i}(i = 1,2,3,4)$ — плоскости с уравнениями $A_{i} x + B_{i} y+C_{i} z+D_{i} = 0$, каждые три из которых пересекаются в одной точке, но все вместе общей точки не имеют. Доказать, что любая функция вида $A x+B y+C z+D$ представима в виде линейной комбинации левых частей уравнений плоскостей $\Pi_{i}$, т. е. существуют такие константы $\lambda_{i}$, что

Описать все четверки

плоскостей в пространстве, обладающих следующим свойством: любая функция вида $A x+B y+C z+D$ представима в виде линейной комбинации левых частей уравнений плоскостей $\Pi_{i}$, т. е. существуют такие константы $\lambda_{i}$, что

Составить уравнение плоскости, содержащей линию пересечения плоскостей $\Pi_{1}, \Pi_{2}$ и проходящей через точку $M$ :

Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей $x-2 y+z-1 = 0,2 x-3 y+4 z-5 = 0$ и параллельной вектору $(3,2,-2)$.

Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей $2 x-y+5 z-4 = 0, y-7 z+12 = 0$ и отсекающей на осях $O x$ и $O z$ равные по длине ненулевые отрезки.

Показать, что плоскости

образуют тетраэдр. Провести плоскость через линию пересечения плоскостей $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$ параллельно линии пересечения $\Pi_{3}$ и $\Pi_{4}$.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами $(2,-1,-3$) и параллельной прямым пересечения плоскостей $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$ и плоскостей $\Pi_{3}$ и $\Pi_{4}$, где плоскости $\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}$ и $\Pi_{4}$ задаются уравнениями $x+y-z+2 = 0,2 x-y+3 z-1 = 0$, $3 x+2 y+z-4 = 0$ и $x+3 y+2 z-2 = 0$ соответственно.

Написать уравнение плоскости, параллельной прямым пересечения плоскостей $\Pi_{1}, \Pi_{2}$ и $\Pi_{3}, \Pi_{4}$ и находящейся на равном расстоянии от этих двух прямых; плоскости $\Pi_{i}(i = 1,2,3,4)$ те же, что и в предыдущей задаче.

Составить уравнение плоскости, проходящей через ось $\mathrm{Oz}$ и равноудаленной от точек $(2,3,-10)$ и $(1,-3,19)$.

Даны вершины тетраэдра $P(3,5,-1), Q(7,5,3), R(9,-1,5)$, $S(5,3,-3)$. Написать уравнение плоскостей, равноудаленных от всех вершин тетраэдра $P Q R S$.

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку $(1,2,-1)$ и пересекает прямые

Показать, что три плоскости $x+2 y-z-4 = 0,3 x-2 y + 3 z-6 = 0,4 y-3 z+3 = 0$ образуют призму, и написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения первых двух граней призмы и параллельной третьей.

Через точку $P(-1,2,3)$ провести плоскость так, чтобы в треугольнике, отсекаемом на ней плоскостями координат, точка $P$ была точкой пересечения медиан.

Пусть $\Pi_{i}(i = 1,2,3)$ — плоскости с уравнениями $A_{i} x+B_{i} y + C_{i} z+D_{i} = 0$, пересекающиеся в одной точке, $P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ — точка, не лежащая ни в одной из плоскостей $\Pi_{i}$. Написать уравнение плоскости $П$, пересекающей плоскости $\Pi_{i}$ и проходящей через точку $P$ так, что последняя является точкой пересечения медиан треугольника на плоскости П, ограниченного линиями пересечения плоскости П с плоскостями $\Pi_{i}$.