Составление уравнений прямых и плоскостей

Написать общее уравнение плоскости по ее параметрическим уравнениям: $x = u-6 v, y = 1+2 u, z = 2+3 v$.

Написать каноническое уравнение линии пересечения плоскостей $x+2 y-z+2 = 0$ и $2 x+y+z+1 = 0$.

Дана точка $M(1,2,3)$. Написать уравнения:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку $(1,2,-3)$ и параллельной векторам $(1,-1,2)$ и $(2,3,-1)$.

Написать уравнение плоскости, которая проходит через точки $(4,3,2),(5,2,4)$ и $(1,-1,1)$.

Найти параметрические уравнения плоскости, проходящей через точки $(-2,1,1),(1,2,5)$ и $(-1,2,3)$, и написать ее общее уравнение.

Написать уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки $M_{i}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right), i = 1,2,3$.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку $(3,5,1)$ и отсекающей на осях координат равные по длине отрезки. Система координат прямоугольная.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $(1,2,1)$ и $(3,1,1)$ и параллельной вектору $(-1,1,2)$.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки $M_{1}$ и $M_{2}, M_{i}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$, и параллельной вектору $\mathbf{v} = (\alpha , \beta , \gamma )$, неколлинеарному вектору $\overrightarrow {M_{1} M_{2}}$.

Составить уравнения прямой, которая проходит через точку $A(1,-5,3)$ и образует с осями координат углы, соответственно равные $\pi / 3, \pi / 4,2 \pi / 3$. (Система координат прямоугольная.)

Найти направляющий вектор линии пересечения плоскостей $x-y+2 z-1 = 0$ и $2 x+3 y-z+5 = 0$.

Найти параметрические уравнения линии пересечения плоскости $2 x-y+3 z-4 = 0$ с координатной плоскостью $O x y$.

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $(2,3,1)$ параллельно плоскости $x-y-1 = 0$ и пересекающей ось $O y$.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $M$ и содержащей прямую $\ell$ :

Найти уравнение плоскости, содержащей прямую $\ell$ и параллельной вектору а, если:

Найти уравнение плоскости, параллельной прямой $\ell$ и проходящей через точки $A$ и $B$, если:

Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости $x+z = 0$ и пересекающей прямую

но не имеющей общих точек с прямой $x = 1+t, y = 3+4 t, z = -1-t$.

Провести плоскость через параллельные прямые

В плоскости, которая проходит через три точки $M(1,1,-1)$, $N(-1,-1,-1), P(0,1,0)$, выбрана аффинная система координат с началом в точке $M$ и базисными векторами $\overrightarrow {M N}, \overrightarrow {M P}$. Найти:

В плоскости $2 x+3 y-4 z+12 = 0$ выбрана аффинная система координат $u, v$, начало которой находится в точке $S$ пересечения этой плоскости с осью $O z$, а концы базисных векторов соответственно в точках $P, Q$ пересечения плоскости с осями $O x$ и $O y$.

Даны три прямые

Написать уравнения прямой, пересекающей первые две из указанных прямых и параллельной третьей.

Написать уравнения прямой, проходящей через точку $(1,2,3)$ и пересекающей прямые $\frac{x}{2} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-2}{1}, \frac{x}{4} = \frac{y+2}{0} = \frac{z}{3}$.

Составить уравнения проекции прямой $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z}{1}$ из точки $(1,2,1)$ на плоскость $y-2 z+4 = 0$.

Доказать, что шесть плоскостей, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра и середину противоположного ему ребра, пересекаются в одной точке.