Векторы случайных величин

Если $X$ и $Y$ — случайные величины, докажите, что

Обобщите этот результат на векторы $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Y}$ случайных величин.

Пусть $\mathbf{X} = \left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)^{T}$ с

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — случайные величины с общим средним $\mu$. Предположим, что $\operatorname {Cov}\left[ X_{i}, X_{j} \right] = 0$ для всех $i$ и $j$ таких, что $j > i+1$. Если

и

докажите, что

Дана случайная выборка $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ из распределения с плотностью

найдите дисперсию $\left(X_{1}-X_{2}\right)^{2}+\left(X_{2}-X_{3}\right)^{2}+\left(X_{3}-X_{1}\right)^{2}$.

Если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимо и одинаково распределены как $N\left(0, \sigma^{2}\right)$, а $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — произвольные симметричные матрицы $n \times n$, докажите, что

Докажите, что если a — вектор констант той же размерности, что и случайный вектор $\mathbf{X}$, то

Если $\operatorname {Var}\left[\mathbf{X}\right] = \mathbf{\Sigma } = \left(\sigma_{i j}\right)$, выведите, что

Если $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Y}$ — векторы случайных величин размера $m \times 1$ и $n \times 1$, а $\mathbf{a}$ и b — векторы констант размера $m \times 1$ и $n \times 1$, докажите, что

Пусть $\mathbf{X} = \left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right)^{T}$ — вектор случайных величин, и пусть $Y_{1} = X_{1}, Y_{i} = X_{i}-X_{i-1}(i = 2,3, \ldots , n)$. Если $Y_{i}$ взаимно независимы, каждая с единичной дисперсией, найдите $\operatorname {Var}\left[\mathbf{X}\right]$.

Если $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — случайные величины, удовлетворяющие $X_{i+1} = \rho X_{i} \quad (i = 1,2, \ldots , n-1$), где $\rho$ — константа, и $\operatorname {Var}\left[X_{1}\right] = \sigma^{2}$, найдите $\operatorname {Var}\left[\mathbf{X}\right]$.

Предположим, что $X_{1}, X_{2}$ и $X_{3}$ — случайные величины с общим средним $\mu$ и матрицей дисперсий

Найдите $\mathbb {E}\left[X_{1}^{2}+2 X_{1} X_{2}-4 X_{2} X_{3}+X_{3}^{2}\right]$.

Если $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые случайные величины с общим средним $\mu$ и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \ldots , \sigma_{n}^{2}$, докажите, что $\sum_{i}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} /[n(n-1)]$ является несмещённой оценкой $\operatorname {Var}\left[\bar{X}\right]$.

Предположим, что в упражнении 2 дисперсии известны. Пусть $\bar{X}_{w} = \sum_{i} w_{i} X_{i}$ — несмещённая оценка $\mu$ (т.е. $\sum_{i} w_{i} = 1$).

Случайные величины $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ имеют общее ненулевое среднее $\mu$, общую дисперсию $\sigma^{2}$, и корреляция между любой парой случайных величин равна $\rho$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ независимо распределены как $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$. Определим

и

Если $X$ и $Y$ — случайные величины с одинаковой дисперсией, докажите, что $\operatorname {Cov}\left[ X+Y, X-Y \right] = 0$. Приведите контрпример, показывающий, что нулевая ковариация не обязательно означает независимость.

Пусть $X$ и $Y$ — дискретные случайные величины, принимающие только значения 0 или 1, и пусть $\operatorname {pr}(X = i, Y = j) = p_{i j}(i = 1,0 ; j = 1,0)$. Докажите, что $X$ и $Y$ независимы тогда и только тогда, когда $\operatorname {Cov}\left[ X, Y \right] = 0$.

Если $X$ — случайная величина с плотностью, симметричной относительно нуля, и нулевым средним, докажите, что $\operatorname {Cov}\left[ X, X^{2} \right] = 0$.

Если $X, Y$ и $Z$ имеют совместную плотность

докажите, что они попарно независимы, но не независимы в совокупности.