1.1 Обозначения, 1.2 Статистические модели, 1.3 Модели линейной регрессии, 1.4 Операторы математического ожидания и ковариации

Докажите, что если a — вектор констант той же размерности, что и случайный вектор $\mathbf{X}$, то

Если $\operatorname {Var}\left[\mathbf{X}\right] = \mathbf{\Sigma } = \left(\sigma_{i j}\right)$, выведите, что

Если $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Y}$ — векторы случайных величин размера $m \times 1$ и $n \times 1$, а $\mathbf{a}$ и b — векторы констант размера $m \times 1$ и $n \times 1$, докажите, что

Пусть $\mathbf{X} = \left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right)^{T}$ — вектор случайных величин, и пусть $Y_{1} = X_{1}, Y_{i} = X_{i}-X_{i-1}(i = 2,3, \ldots , n)$. Если $Y_{i}$ взаимно независимы, каждая с единичной дисперсией, найдите $\operatorname {Var}\left[\mathbf{X}\right]$.

Если $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — случайные величины, удовлетворяющие $X_{i+1} = \rho X_{i} \quad (i = 1,2, \ldots , n-1$), где $\rho$ — константа, и $\operatorname {Var}\left[X_{1}\right] = \sigma^{2}$, найдите $\operatorname {Var}\left[\mathbf{X}\right]$.