Банк задач по математике

Задача 1b.1

Предположим, что $X_{1}, X_{2}$ и $X_{3}$ — случайные величины с общим средним $\mu$ и матрицей дисперсий

\operatorname {Var}\left[\mathbf{X}\right] = \sigma ^{2}\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{4} & 1 \end{smallmatrix}\right]

Найдите $\mathbb {E}\left[X_{1}^{2}+2 X_{1} X_{2}-4 X_{2} X_{3}+X_{3}^{2}\right]$ .

?

Задача 1b.2

Если $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые случайные величины с общим средним $\mu$ и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \ldots , \sigma_{n}^{2}$ , докажите, что $\sum_{i}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} /[n(n-1)]$ является несмещённой оценкой $\operatorname {Var}\left[\bar{X}\right]$ .

?

Задача 1b.3

(a)(b)

Предположим, что в упражнении 2 дисперсии известны. Пусть $\bar{X}_{w} = \sum_{i} w_{i} X_{i}$ — несмещённая оценка $\mu$ (т.е. $\sum_{i} w_{i} = 1$ ).

?

(a)

Докажите, что $\operatorname {Var}\left[\bar{X}_{w}\right]$ минимизируется, когда $w_{i} \propto 1 / \sigma_{i}^{2}$ . Найдите эту минимальную дисперсию $v_{\text{min }}$ .

(b)

Пусть $S_{w}^{2} = \sum_{i} w_{i}\left(X_{i}-\bar{X}_{w}\right)^{2} /(n-1)$ . Если $w_{i} \sigma_{i}^{2} = a(i = 1,2, \ldots , n)$ , докажите, что $\mathbb {E}\left[S_{w}^{2}\right]$ является несмещённой оценкой $v_{\text{min }}$ .

Задача 1b.4

(a)(b)

Случайные величины $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ имеют общее ненулевое среднее $\mu$ , общую дисперсию $\sigma^{2}$ , и корреляция между любой парой случайных величин равна $\rho$ .

?

(a)

Найдите $\operatorname {Var}\left[\bar{X}\right]$ и тем самым докажите, что $-1 /(n-1) \leq \rho \leq 1$ .

(b)

Если

Q = a \sum _{i = 1}^{n} X_{i}^{2}+b\left(\sum _{i = 1}^{n} X_{i}\right)^{2}

является несмещённой оценкой $\sigma^{2}$ , найдите $a$ и $b$ . Покажите тем самым, что в этом случае

Q = \sum _{i = 1}^{n} \frac{\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{(1-\rho )(n-1)}

Задача 1b.5

(a)(b)(c)

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ независимо распределены как $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$ . Определим

S^{2} = \frac{1}{n-1} \sum _{i = 1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}

и

Q = \frac{1}{2(n-1)} \sum _{i = 1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_{i}\right)^{2}

?

(a)

Докажите, что $\operatorname {Var}\left[S^{2}\right] = 2 \sigma^{4} /(n-1)$ .

(b)

Покажите, что $Q$ является несмещённой оценкой $\sigma^{2}$ .

(c)

Найдите дисперсию $Q$ и тем самым покажите, что при $n \rightarrow \infty$ эффективность $Q$ относительно $S^{2}$ равна $\frac{2}{3}$ .

1.5 Среднее и дисперсия квадратичных форм