1.6 Производящие функции моментов и независимость

Если $X$ и $Y$ — случайные величины с одинаковой дисперсией, докажите, что $\operatorname {Cov}\left[ X+Y, X-Y \right] = 0$. Приведите контрпример, показывающий, что нулевая ковариация не обязательно означает независимость.

Пусть $X$ и $Y$ — дискретные случайные величины, принимающие только значения 0 или 1, и пусть $\operatorname {pr}(X = i, Y = j) = p_{i j}(i = 1,0 ; j = 1,0)$. Докажите, что $X$ и $Y$ независимы тогда и только тогда, когда $\operatorname {Cov}\left[ X, Y \right] = 0$.

Если $X$ — случайная величина с плотностью, симметричной относительно нуля, и нулевым средним, докажите, что $\operatorname {Cov}\left[ X, X^{2} \right] = 0$.

Если $X, Y$ и $Z$ имеют совместную плотность

докажите, что они попарно независимы, но не независимы в совокупности.