Интегрирование по Лебегу: дополнительные темы

Покажите, что теорема о мажорируемой сходимости следует из теоремы Витали о сходимости.

Покажите, что Теорема 5 неверна без предположения о том, что $f_{n}$ неотрицательны.

Теорема 5: Предположим, что $m(E) < \infty$. Если $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность неотрицательных интегрируемых функций, поточечно сходящаяся на $E$ к $f \equiv 0$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{E} f_{n} \, dm = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ равномерно интегрируема.

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность интегрируемых функций на $E$. Покажите, что $\mathcal{F}$ равномерно интегрируема на $E$ тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для каждой $f \in \mathcal{F}$,

Покажите, что конечная совокупность интегрируемых функций плотна.

Докажите Теорему 7.

Теорема 7: Если $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность неотрицательных интегрируемых функций, поточечно сходящаяся на $E$ к $f \equiv 0$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{E} f_{n} \, dm = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ равномерно интегрируема и плотна.

Пусть последовательности функций $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ и $\left\{ g_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ равномерно интегрируемы и плотны. Покажите, что при любых $\alpha$ и $\beta$ последовательность $\left\{ \alpha f_{n}+\beta g_{n}\right\}$ также равномерно интегрируема и плотна.

Покажите, что последовательность $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ равномерно интегрируема и плотна тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ существует измеримое подмножество $E_{0}$ множества $E$ конечной меры и $\delta > 0$ такие, что для каждого измеримого подмножества $A$ множества $E$ и каждого $n$,

В последовательности $\left\{ I_{n}\right\}$ интервалов, построенной в примере после Предложения 10, при $k \geq 2$, каков индекс $n_{k}$ интервала $(0,1 / k)$?

Пример: рассмотрим последовательность $\left\{ I_{n}\right\}$ открытых подынтервалов $(0,1)$, определённую следующим образом. Пусть первые два члена — два дизъюнктных открытых подынтервала $(0,1)$ длины $1/2$, занумерованные слева направо; пусть следующие три члена — три дизъюнктных открытых подынтервала $(0,1)$ длины $1/3$, занумерованные слева направо; и так далее. Это строит последовательность $\left\{ I_{n}\right\}$ открытых подынтервалов $(0,1)$, для которой каждая точка $(0,1)$ принадлежит бесконечно многим членам и не принадлежит бесконечно многим членам, и $\lim_{n \rightarrow \infty } \ell (I_{n}) = 0$. Для каждого $k$ интервал $(0, 1/k)$ является членом последовательности $\left\{ I_{n}\right\}$, и его индекс обозначается $n_{k}$.

Пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — последовательность измеримых функций, а $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима. При $p > 0$ предположим, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{E}\left|f_{n}-f\right|^{p} d m = 0$. Покажите, что некоторая подпоследовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ поточечно сходится почти всюду на $E$ к $f$.

Покажите, что лемма Фату, теорема о монотонной сходимости, теорема о мажорируемой сходимости и теорема Витали о сходимости выполняются, если предположение о поточечной сходимости заменить предположением о сходимости по мере.

Покажите, что Предложение 9 не выполняется, если $m(E) = \infty$.

Предложение 9: Предположим, что $m(E) < \infty$. Если последовательность измеримых функций $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ поточечно сходится к $f: E \rightarrow \mathbb {R}$, то она сходится по мере.

Предположим, что $m(E) < \infty$. Пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — последовательность измеримых функций, а $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ по мере тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность, в свою очередь, имеет дальнейшую подпоследовательность, сходящуюся к $f$ поточечно почти всюду на $E$.

Предположим, что $m(E) < \infty$. Покажите, что линейные комбинации последовательностей, сходящихся по мере, также сходятся по мере. Покажите, что произведения последовательностей, сходящихся по мере, также сходятся по мере.

Предположим, что $m(E) < \infty$. Для двух измеримых функций $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ и $g: E \rightarrow \mathbb {R}$ определим

Покажите, что $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\} \rightarrow f$ по мере тогда и только тогда, когда $\lim_{n \rightarrow \infty } \rho \left(f_{n}, f\right) = 0$.

Предположим, что $m(E) < \infty$. Последовательность $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ измеримых функций называется фундаментальной по мере, если для каждых $\eta > 0$ и $\epsilon > 0$ существует индекс $N$ такой, что для всех $m, n \geq N$,

Покажите, что если $\left\{ f_{n}\right\}$ фундаментальна по мере, то существует измеримая функция $f: E \rightarrow \mathbb {R}$, к которой последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится по мере.

Докажите, что произведение риманово интегрируемых функций на замкнутом ограниченном интервале риманово интегрируемо, и что произведение ограниченных лебегово интегрируемых функций на множестве конечной меры лебегово интегрируемо.

Пусть $E$ измеримо, и множество точек, в которых $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ не является непрерывной, имеет меру нуль. Покажите, что $f$ измерима.