Характеризации интегрируемости по Риману и по Лебегу

Докажите, что произведение риманово интегрируемых функций на замкнутом ограниченном интервале риманово интегрируемо, и что произведение ограниченных лебегово интегрируемых функций на множестве конечной меры лебегово интегрируемо.

Пусть $E$ измеримо, и множество точек, в которых $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ не является непрерывной, имеет меру нуль. Покажите, что $f$ измерима.