Равномерная интегрируемость и плотность: теоремы Витали о сходимости

Покажите, что теорема о мажорируемой сходимости следует из теоремы Витали о сходимости.

Покажите, что Теорема 5 неверна без предположения о том, что $f_{n}$ неотрицательны.

Теорема 5: Предположим, что $m(E) < \infty$. Если $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность неотрицательных интегрируемых функций, поточечно сходящаяся на $E$ к $f \equiv 0$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{E} f_{n} \, dm = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ равномерно интегрируема.

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность интегрируемых функций на $E$. Покажите, что $\mathcal{F}$ равномерно интегрируема на $E$ тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для каждой $f \in \mathcal{F}$,

Покажите, что конечная совокупность интегрируемых функций плотна.

Докажите Теорему 7.

Теорема 7: Если $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность неотрицательных интегрируемых функций, поточечно сходящаяся на $E$ к $f \equiv 0$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{E} f_{n} \, dm = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ равномерно интегрируема и плотна.

Пусть последовательности функций $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ и $\left\{ g_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ равномерно интегрируемы и плотны. Покажите, что при любых $\alpha$ и $\beta$ последовательность $\left\{ \alpha f_{n}+\beta g_{n}\right\}$ также равномерно интегрируема и плотна.

Покажите, что последовательность $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ равномерно интегрируема и плотна тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ существует измеримое подмножество $E_{0}$ множества $E$ конечной меры и $\delta > 0$ такие, что для каждого измеримого подмножества $A$ множества $E$ и каждого $n$,