Измеримые по Лебегу функции

Пусть $A$ и $B$ — измеримые множества. Верно ли, что $f: A \cup B \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна тогда и только тогда, когда её ограничения на $A$ и $B$ непрерывны?

Покажите, что если $h: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, то при любом $\alpha$ функция $\alpha \cdot h: E \rightarrow \mathbb {R}$ также измерима.

Приведите пример функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, которая не измерима, в то время как обе функции $\left|f\right|$ и $f^{2}$ измеримы.

Пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — последовательность измеримых функций. Определим $E_{0}$ как множество точек $x$ в $E$, в которых $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ сходится к вещественному числу. Измеримо ли множество $E_{0}$?

Пусть $E$ измеримо, а $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна всюду, кроме счётного числа точек. Покажите, что $f$ измерима.

Если $E$ измеримо и функция $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ обладает свойством, что $f^{-1}(c)$ измеримо для каждого числа $c$, обязательно ли $f$ измерима?

Если функция $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ обладает свойством, что $\left\{ x \in E \mid f(x) > c\right\}$ является измеримым множеством для каждого рационального числа $c$, обязательно ли $f$ измерима?

Покажите, что $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима тогда и только тогда, когда функция $\hat{f}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, где $\hat{f}(x) = f(x)$ при $x \in E$ и $\hat{f}(x) = 0$ при $x \notin E$.

Покажите, что $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима тогда и только тогда, когда для каждого борелевского множества $A$ множество $f^{-1}(A)$ измеримо.

Функция $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ называется борелевски измеримой, если её область определения $E$ является борелевским множеством и для каждого $c$ множество $\left\{ x \in E \mid f(x) < c\right\}$ является борелевским множеством. Проверьте, что Предложение 1 и Теорема 5 остаются верными, если заменить «(лебегово) измеримое множество» на «борелевское множество».

Предложение 1 (Глава 3): Если $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, то для каждого интервала $I$ вещественных чисел $f^{-1}(I)$ измеримо. Теорема 5 (Глава 3): Если $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ и $g: E \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримые функции, то при любых $\alpha$ и $\beta$ функция $\alpha f + \beta g: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима (линейность), а $f \cdot g: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима (произведения). Проверьте следующее:

Предположим, что $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, а $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Обязательно ли композиция $f \circ g$ измерима?

Предположим, что $f:[a, b] \rightarrow R$ — строго возрастающая непрерывная функция, имеющая липшицеву обратную. Покажите, что $g \circ f:[a, b] \rightarrow R$ измерима всякий раз, когда $g: R \rightarrow R$ измерима.

Пусть $\left\{ f_{n}:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — возрастающая последовательность непрерывных функций, которая поточечно сходится к непрерывной функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$. Покажите, что сходимость равномерна на $[a, b]$.

Вещественнозначная измеримая функция называется полупростой, если она принимает лишь счётное число значений. Пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима. Покажите, что существует последовательность полупростых функций, равномерно сходящаяся к $f$ на $E$.

Предположим, что $m(E) < \infty$, и пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима. Покажите, что для каждого $\epsilon > 0$ существует измеримое подмножество $E_{0}$ множества $E$ такое, что $f$ ограничена на $E_{0}$ и $m\left(E \sim E_{0}\right) < \epsilon$.

Предположим, что $m(E) < \infty$, и пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима. Покажите, что для каждого $\epsilon > 0$ существует измеримое подмножество $E_{0}$ множества $E$ и последовательность $\left\{ \varphi : E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ простых функций, для которых $\left\{ \varphi_{n}\right\} \rightarrow f$ равномерно на $E_{0}$ и $m\left(E \sim E_{0}\right) < \epsilon$.

Пусть $E$ — измеримое подмножество $[a, b]$, и определим $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ равенством $f = \chi_{E}$. Для каждого $\epsilon > 0$ покажите, что существует измеримое подмножество $E_{0} \subseteq [a, b]$ и ступенчатая функция $h:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, для которых

Пусть $A$ и $B$ — произвольные множества. Покажите, что

Для последовательности $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ измеримых функций покажите, что функции $\inf \left\{ f_{n}\right\}$ и $\sup \left\{ f_{n}\right\}$ измеримы.

Для измеримой функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ положим $E_{+} = \left\{ x \in E \mid f(x) \geq 0\right\}$ и $E_{-} = \left\{ x \in E \mid f(x) < 0\right\}$. Рассматривая ограничение $f$ на $E_{+}$ и $E_{-}$, докажите общую теорему о простой аппроксимации, опираясь на частный случай неотрицательной измеримой функции.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает. Покажите, что $f$ измерима, сначала показав, что при каждом $n$ строго возрастающая функция $x \mapsto f(x)+x / n$ измерима, а затем перейдя к поточечным пределам.

Проверьте непрерывность функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, определённой в доказательстве Леммы 10.

Лемма 10: Если $F$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}$, а $f: F \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция, то она имеет непрерывное продолжение до $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$. Доказательство строит это продолжение следующим образом: $\mathbb {R} \sim F$ открыто, поэтому $\mathbb {R} \sim F = \bigcup_{n=1}^{\infty } I_{n}$ — счётное дизъюнктное объединение открытых интервалов. Если $I_{n} = (a_{n}, b_{n})$ ограничен, определим $f$ на $\left[a_{n}, b_{n}\right]$ как любую непрерывную функцию, совпадающую с $f$ в концевых точках. Если $I_{n}$ неограничен, определим $f$ на $I_{n}$ как постоянную функцию, совпадающую с $f$ в конечной концевой точке $I_{n}$.

Для функции $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ и множества $F$ из формулировки теоремы Лузина покажите, что ограничение $f$ на $F$ непрерывно. Обязательно ли существуют точки в $E$, в которых $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна?

Покажите, что заключение теоремы Егорова может не выполняться, если отказаться от предположения, что область определения имеет конечную меру.

Покажите, что теорема Егорова продолжает выполняться, если $f$ и каждая $f_{n}$ — расширенная вещественнозначная функция, конечная почти всюду, а сходимость поточечная почти всюду на $E$.

Пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — последовательность измеримых функций, поточечно сходящаяся на $E$ к $f: E \rightarrow \mathbb {R}$. Покажите, что $E = \bigcup_{k = 1}^{\infty } E_{k}$, где каждое $E_{k}$ измеримо, и $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно сходится к $f$ на каждом $E_{k}$ при $k > 1$, а $m\left(E_{1}\right) = 0$.

Покажите, что в Следствии 11, если $f$ ограничена, то последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ можно выбрать равномерно ограниченной.

Следствие 11: Если $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция, то существует последовательность непрерывных функций $\left\{ f_{n}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\right\}$, поточечно сходящаяся почти всюду на $E$ к $f$.