Суммы, произведения и композиции

Пусть $A$ и $B$ — измеримые множества. Верно ли, что $f: A \cup B \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна тогда и только тогда, когда её ограничения на $A$ и $B$ непрерывны?

Покажите, что если $h: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, то при любом $\alpha$ функция $\alpha \cdot h: E \rightarrow \mathbb {R}$ также измерима.

Приведите пример функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, которая не измерима, в то время как обе функции $\left|f\right|$ и $f^{2}$ измеримы.

Пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — последовательность измеримых функций. Определим $E_{0}$ как множество точек $x$ в $E$, в которых $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ сходится к вещественному числу. Измеримо ли множество $E_{0}$?

Пусть $E$ измеримо, а $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна всюду, кроме счётного числа точек. Покажите, что $f$ измерима.

Если $E$ измеримо и функция $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ обладает свойством, что $f^{-1}(c)$ измеримо для каждого числа $c$, обязательно ли $f$ измерима?

Если функция $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ обладает свойством, что $\left\{ x \in E \mid f(x) > c\right\}$ является измеримым множеством для каждого рационального числа $c$, обязательно ли $f$ измерима?

Покажите, что $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима тогда и только тогда, когда функция $\hat{f}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, где $\hat{f}(x) = f(x)$ при $x \in E$ и $\hat{f}(x) = 0$ при $x \notin E$.

Покажите, что $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима тогда и только тогда, когда для каждого борелевского множества $A$ множество $f^{-1}(A)$ измеримо.

Функция $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ называется борелевски измеримой, если её область определения $E$ является борелевским множеством и для каждого $c$ множество $\left\{ x \in E \mid f(x) < c\right\}$ является борелевским множеством. Проверьте, что Предложение 1 и Теорема 5 остаются верными, если заменить «(лебегово) измеримое множество» на «борелевское множество».

Предложение 1 (Глава 3): Если $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, то для каждого интервала $I$ вещественных чисел $f^{-1}(I)$ измеримо. Теорема 5 (Глава 3): Если $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ и $g: E \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримые функции, то при любых $\alpha$ и $\beta$ функция $\alpha f + \beta g: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима (линейность), а $f \cdot g: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима (произведения). Проверьте следующее:

Предположим, что $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, а $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Обязательно ли композиция $f \circ g$ измерима?

Предположим, что $f:[a, b] \rightarrow R$ — строго возрастающая непрерывная функция, имеющая липшицеву обратную. Покажите, что $g \circ f:[a, b] \rightarrow R$ измерима всякий раз, когда $g: R \rightarrow R$ измерима.