Поточечные пределы последовательностей и простая аппроксимация

Пусть $\left\{ f_{n}:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — возрастающая последовательность непрерывных функций, которая поточечно сходится к непрерывной функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$. Покажите, что сходимость равномерна на $[a, b]$.

Вещественнозначная измеримая функция называется полупростой, если она принимает лишь счётное число значений. Пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима. Покажите, что существует последовательность полупростых функций, равномерно сходящаяся к $f$ на $E$.

Предположим, что $m(E) < \infty$, и пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима. Покажите, что для каждого $\epsilon > 0$ существует измеримое подмножество $E_{0}$ множества $E$ такое, что $f$ ограничена на $E_{0}$ и $m\left(E \sim E_{0}\right) < \epsilon$.

Предположим, что $m(E) < \infty$, и пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ измерима. Покажите, что для каждого $\epsilon > 0$ существует измеримое подмножество $E_{0}$ множества $E$ и последовательность $\left\{ \varphi : E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ простых функций, для которых $\left\{ \varphi_{n}\right\} \rightarrow f$ равномерно на $E_{0}$ и $m\left(E \sim E_{0}\right) < \epsilon$.

Пусть $E$ — измеримое подмножество $[a, b]$, и определим $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ равенством $f = \chi_{E}$. Для каждого $\epsilon > 0$ покажите, что существует измеримое подмножество $E_{0} \subseteq [a, b]$ и ступенчатая функция $h:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, для которых

Пусть $A$ и $B$ — произвольные множества. Покажите, что

Для последовательности $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ измеримых функций покажите, что функции $\inf \left\{ f_{n}\right\}$ и $\sup \left\{ f_{n}\right\}$ измеримы.

Для измеримой функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ положим $E_{+} = \left\{ x \in E \mid f(x) \geq 0\right\}$ и $E_{-} = \left\{ x \in E \mid f(x) < 0\right\}$. Рассматривая ограничение $f$ на $E_{+}$ и $E_{-}$, докажите общую теорему о простой аппроксимации, опираясь на частный случай неотрицательной измеримой функции.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает. Покажите, что $f$ измерима, сначала показав, что при каждом $n$ строго возрастающая функция $x \mapsto f(x)+x / n$ измерима, а затем перейдя к поточечным пределам.