Глава 8.5

Разные задачи

[41/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

1 · Целые точки на плоскости и в пространстве[13/100%]

Задача 8.238

Треугольник, вершины которого являются целыми точками плоской квадратной решетки, не может быть равносторонним.

Задача 8.238.1

Многоугольник равноуголен, имеет $n$ сторон, и все его вершины — целые точки. Тогда $n$ равно либо 4, либо 8.

Задача 8.238.1

Многоугольник равноуголен, имеет $n$ сторон, и все его вершины — целые точки. Тогда $n$ равно либо 4, либо 8.

Задача 8.238.2

Правильный многоугольник имеет $n$ сторон, и все его вершины — целые точки. Тогда $n=4$ .

Задача 8.238.2

Правильный многоугольник имеет $n$ сторон, и все его вершины — целые точки. Тогда $n=4$ .

Задача 8.239

До какой толщины должны вырасти стволы в правильно засаженном лесе, имеющем форму круга, чтобы они полностью заслонили вид из центра?

Пусть $s$ — заданное целое положительное число. Опишем возле каждой целой точки $p, q$ , удовлетворяющей неравенствам $1 \leqslant p^{2}+q^{2} \leqslant s^{2}$ , как из центра, окружность радиуса $r$ . Если $r$ достаточно мало, то имеются выходящие из нулевой точки лучи, не пересекающие ни одного из описанных кругов (лес имеет «просветы»); таких лучей уже больше не существует, когда $r$ достаточно велико (при $r=\frac{1}{2}$ круги соприкасаются). Пусть $r=\rho$ — значение, разделяющее эти два случая (граница «просвечиваемости»). Тогда

\frac{1}{\sqrt{s^{2}+1}} \leqslant \rho <\frac{1}{s} .

Задача 8.240

Проведем в плоской квадратной точечной решетке максимально широкую прямую бесконечную «дорогу», составляющую с осью ординат угол $\operatorname {arctg} x$ . Обозначая ширину этой дороги через $\varphi (x)$ , определить $f(x)=\varphi (x) \sqrt{1+x^{2}}$ .

Задача 8.241

Две целые точки $x, y$ и $x^{\prime }, y^{\prime }$ называются сравнимыми по модулю $n$ , если

x \equiv x^{\prime }(\bmod n), \quad y \equiv y^{\prime }(\bmod n) .

Среди любых $k n^{2}+1$ различных целых точек всегда существует $k+1$ сравнимых между собой по модулю $n$ .

Задача 8.242

Пусть в плоскости, на которую нанесена плоская квадратная решетка со сторонами квадратов, равными единице, лежит область с (жордановой) площадью $F$ . Если даже область эта не содержит ни одной целой точки, то тем не менее ее всегда можно так передвинуть параллельно самой себе, чтобы на ней оказалось $\left[F\right]+1$ целых точек.

Задача 8.243

(1)(2)

Целые точки, лежащие в замкнутом первом квадранте, образуют счетное множество, т. е. существует функция $f(x, y)$ , определенная для целых неотрицательных значений $x$ и $y$ и обладающая следующими двумя свойствами:

(1)

$f(x, y)$ принимает значения $1,2,3,4,5, \ldots$

(2)

$f(x, y)$ — инъективная, т. е. если $x, y, x^{\prime }, y^{\prime }$ — целые числа, $x \geqslant 0, y \geqslant 0, x^{\prime } \geqslant 0, y^{\prime } \geqslant 0$ , $\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+\left(y-y^{\prime }\right)^{2}>0$ , то $f(x, y) \neq f\left(x^{\prime }, y^{\prime }\right)$ .

Существует даже целая рациональная функция $f(x, y)$ , перенумеровывающая целые точки, т. е. обладающая свойствами 1), 2), а именно функция

f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^{2}+2 x y+y^{2}+3 x+y+2\right)=\binom {x+y+1}{2}+x+1,

а также функция, получающаяся из нее, если поменять местами $x$ и $y$ [указанная функция последовательно перенумеровывает целые точки на прямолинейных отрезках

x+y=0, x+y=1, x+y=2, \ldots , x \geqslant 0, y \geqslant 0] .

Пусть $f(x, y)$ — целая рациональная функция степени $m$ ,

f(x, y)=\varphi _{0}(x, y)+\varphi _{1}(x, y)+\ldots +\varphi _{m}(x, y),

где $\varphi_{\mu }(x, y)$ обозначает однородную целую рациональную функцию степени $\mu$ . Если $f(x, y)$ перенумеровывает целые точки, то, очевидно, $\varphi_{m}(x, y) \geqslant 0$ при $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ . Если $\varphi_{m}(x, y)>0$ при $x \geqslant 0, y \geqslant 0, x+y>0$ и $f(x, y)$ перенумеровывает целые точки, то функция $f(x, y)$ имеет степень $m=2$ .

Задача 8.244

Будем рассматривать квадрат $\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant n+\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2} \leqslant y \leqslant n+\frac{1}{2}$ как шахматную доску с $n^{2}$ полями, т. е. разделим его прямыми, параллельными осям, на $n^{2}$ равных квадратов (полей) каждый площадью, равной единице. «Проблема $n$ ферзей» состоит в следующем: из $n^{2}$ целых точек, образующих центры $n^{2}$ полей, требуется выбрать $n$ целых точек $\left(x_{1}, y_{1}\right), \left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots , \left(x_{n}, y_{n}\right)$ , удовлетворяющих $2 n(n-1)$ неравенствам

\begin{gathered} x_{\mu } \neq x_{\nu }, \quad y_{\mu } \neq y_{\nu }, \quad x_{\mu }-x_{\nu } \neq y_{\mu }-y_{\nu }, \quad x_{\mu }-x_{\nu } \neq -\left(y_{\mu }-y_{\nu }\right) \quad (\mu \neq \nu ) ; \\ \mu , \nu =1,2, \ldots , n . \end{gathered}

Заменяя неравенства более ограничительными условиями — «несравнениями»

x_{\mu } \not\equiv x_{\nu }, \quad y_{\mu } \not\equiv y_{\nu }, \quad x_{\mu }-x_{\nu } \not\equiv y_{\mu }-y_{\nu }, \quad x_{\mu }-x_{\nu } \not\equiv -\left(y_{\mu }-y_{\nu }\right) \quad (\bmod n),

показать, что эти последние тогда и только тогда имеют решение, когда $n$ — взаимно простое с 6.

Задача 8.244.1

Правильный многоугольник имеет $n$ сторон, и все его вершины — целые точки. Тогда $n$ равно 3, 4 или 6.

Задача 8.244.1

Правильный многоугольник имеет $n$ сторон, и все его вершины — целые точки. Тогда $n$ равно 3, 4 или 6.

Задача 8.244.2

(Продолжение.) Привести примеры, показывающие, что все три случая $n=3,4$ и 6 действительно могут иметь место.

Задача 8.244.2

(Продолжение.) Привести примеры, показывающие, что все три случая $n=3,4$ и 6 действительно могут иметь место.

Задача 8.244.3

Все вершины правильного многогранника — целые точки. Тогда этот многогранник есть либо куб, либо тетраэдр, либо октаэдр.

Задача 8.244.3

Задача 8.244.4

(Продолжение.) Привести примеры, показывающие, что все три упомянутых выше случая действительно могут иметь место.

Задача 8.244.4

2 · Разные задачи[28/100%]

Задача 8.245

Пусть $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{q}$ и $s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{q}$ — две полные системы вычетов $\bmod q$ , где $q$ — нечетное простое число. Тогда $q$ чисел $r_{1} s_{1}, r_{2} s_{2}, \ldots , r_{q} s_{q}$ не могут образовывать полной системы вычетов $\bmod q$ .

Задача 8.246

Пусть $p^{\alpha }$ , где $\alpha \geqslant 1$ , — наивысшая степень, в которой нечетное простое число $p$ входит в число $n$ . Показать, что

1^{\lambda }+2^{\lambda }+3^{\lambda }+\ldots +n^{\lambda } \equiv -\frac{n}{p} \text{ или } 0\left(\bmod p^{\alpha }\right),

смотря по тому, делится ли $\lambda$ на $p-1$ или нет $(\lambda =1,2,3, \ldots )$ .

Задача 8.247

Пусть $p$ — наименьшее простое число, входящее в $n$ . Тогда существуют две такие полные системы вычетов $\bmod n$

\begin{array}{ll} r_{1}, & r_{2}, \ldots , r_{n}, \\ s_{1}, & s_{2}, \ldots , s_{n}, \end{array}

что каждая из $p-2$ строк

\begin{array}{llll} r_{1}+s_{1}, & r_{2}+s_{2}, & \ldots , & r_{n}+s_{n}, \\ r_{1}+2 s_{1}, & r_{2}+2 s_{2}, & \ldots , & r_{n}+2 s_{n}, \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ r_{1}+(p-2) s_{1}, & r_{2}+(p-2) s_{2}, & \ldots , & r_{n}+(p-2) s_{n} \end{array}

также представляет собой полную систему вычетов. Что касается системы

r_{1}+(p-1) s_{1}, \quad r_{2}+(p-1) s_{2}, \ldots , r_{n}+(p-1) s_{n},

то она никак не может быть полной системой вычетов $\bmod n$ .

Задача 8.247.1

Если $p$ — простое число, то числа

\binom p1, \quad \binom p2, \quad \binom p3, \quad \ldots , \quad \binom {p}{p-1} ,

s_2^p, \quad s_3^p, \quad \ldots , \quad s_{p-1}^p ,

S_2^p, \quad S_3^p, \quad \ldots , \quad S_{p-1}^p

делятся на $p$ . (Определения чисел $s_k^n$ и $S_k^n$ см. соответственно во введениях к задачам I 197 и I 186.)

Задача 8.247.1

Если $p$ — простое число, то числа

\binom p1, \quad \binom p2, \quad \binom p3, \quad \ldots , \quad \binom {p}{p-1} ,

s_2^p, \quad s_3^p, \quad \ldots , \quad s_{p-1}^p ,

S_2^p, \quad S_3^p, \quad \ldots , \quad S_{p-1}^p

делятся на $p$ . (Определения чисел $s_k^n$ и $S_k^n$ см. соответственно во введениях к задачам I 197 и I 186.)

Задача 8.247.2

Если $p$ — нечетное простое число, то коэффициенты полинома Чебышева $T_p(x)$ (определенного в начале отдела шестого) все делятся на $p$ , за исключением старшего коэффициента, равного $2^{p-1}$ .

Задача 8.247.2

Задача 8.248

Каждая степень может быть представлена в виде суммы стольких последовательных нечетных чисел, сколько единиц содержится в ее основании.

Задача 8.249

Число из ряда $2,3,4, \ldots , n(n>2)$ тогда и только тогда — взаимно простое со всеми остальными, когда оно представляет собой простое число, превосходящее $\frac{n}{2}$ .

Примечание.

Что такое число всегда существует при $n>2$ , было доказано Чебышевым. См. Собр. соч., т. I, стр. 63, СПб, 1899.

Задача 8.250

Частичные суммы

\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}

гармонического ряда не могут быть целыми при $n>1$ . Это сразу же получается из теоремы Чебышева [249], но может быть доказано и без нее.

Задача 8.251

Сумма двух или большего числа последовательных членов гармонического ряда, т. е. сумма вида

\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots +\frac{1}{m} \quad (n=1,2,3, \ldots ; n<m),

не может быть целым числом; если представить ее в виде несократимой дроби, то знаменатель будет четный, числитель — нечетный.

Задача 8.252

Если целое положительное число $n$ делится на все числа, меньшие или равные $\sqrt{n}$ , то $n$ есть либо 24, либо делитель этого числа.

Доказать элементарными средствами более общую теорему: каково бы ни было $\alpha$ , $0<\alpha <1$ , имеется лишь конечное число целых положительных чисел $n$ , делящихся на все числа $1,2,3, \ldots , \left[n^{\alpha }\right]$ .

Примечание.

G. Pólya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 23, стр. 289, 1915. Решение — S. Sidon, там же, серия 3, т. 24, стр. 284, 1916; излагаемое ниже решение принадлежит A. Fleck'у.

Задача 8.253

Пусть $Q$ — простое число, не являющееся делителем $10 P$ . Среднее арифметическое цифр в периоде десятичной дроби, в которую разлагается $\frac{P}{Q}$ , будет тогда и только тогда равно 4,5, когда длина периода представляет собой четное число.

Примечание.

L. Kollros.

Задача 8.254

Число $n=2^{h}+1(h \geqslant 2)$ в том и только том случае является простым, когда

3^{\frac{n-1}{2}} \equiv -1 \quad (\bmod n) .

Примечание.

E. Lucas; см. A. Hurwitz, Interméd. des math., т. 3, стр. 214, 1896.

Задача 8.255

Доказать справедливость следующей теоремы, высказанной Эйлером в качестве предположения:

Диофантово уравнение

4 x y z-x-y-t^{2}=0

не имеет решений в положительных целых числах $x, y, z, t$ .

Примечание.

Euler, Opera Postuma, т. 1, стр. 220, Petropoli, 1862; G. Pólya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 24, стр. 84, 1916. Решение — G. Szegö, там же, серия 3, т. 25, стр. 340, 1917.

Задача 8.256

Если $q$ — простое число $\geqslant 11$ , то существуют положительные нечетные простые числа $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ , все меньшие, чем $q$ , но не обязательно различные, удовлетворяющие соответственно условиям

\begin{array}{ll} \left(\frac{p_{1}}{q}\right)=+1, & \left(\frac{p_{2}}{q}\right)=-1, \\ \left(\frac{q}{p_{3}}\right)=+1, & \left(\frac{q}{p_{4}}\right)=-1 . \end{array}

Примечание.

$\left(\frac{p_{1}}{q}\right)$ и т. д. — символы Лежандра.

Задача 8.257

Десятичная дробь

0,23571113171923 \ldots

(все простые числа выписаны одно за другим) иррациональна.

Примечание.

G. Pólya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 21, стр. 288, 1913. Решение — O. Szász, G. Szegö, L. Neder, там же, серия 3, т. 22, стр. 366, 1914. См. W. H. Young and Grace Chisholm Young, The theory of sets of points, стр. 3, Cambridge, University Press, 1906.

Задача 8.258

Число

e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots

иррационально.

Задача 8.259

Число $e$ не только иррационально, но и не является квадратической иррациональностью, т. е. не может удовлетворять никакому уравнению вида

a e+b e^{-1}+c=0,

где $a, b, c$ — целые числа, не все равные нулю.

Задача 8.260

Если бы постоянная Эйлера-Маскерони $C=-\Gamma^{\prime }(1)$ была рациональным числом, то $\Gamma^{\prime }(n+1)$ должно было бы быть целым числом при всех достаточно больших целых $n$ .

Примечание.

A. Hurwitz.

Задача 8.260.1

Число

\lambda = \frac{\log 3}{\log 2}

иррационально.

Задача 8.260.1

Число

\lambda = \frac{\log 3}{\log 2}

иррационально.

Задача 8.260.2

Числа $a$ и $b$ положительны; $a$ может быть рациональным или иррациональным, и то же самое верно для $b$ , так что возможны четыре случая. Показать на примерах, что $a^b$ может быть рациональным или иррациональным в каждом из этих четырех случаев (требуется восемь примеров).

Задача 8.260.2

Задача 8.261

Неизвестно, обладает ли число $\pi$ тем свойством, что среднее арифметическое первых $n$ его десятичных знаков стремится к 4,5. Однако, если $\pi$ обладает этим свойством, то им обладает также $4-\pi$ .

Задача 8.262

Пусть $q_{n}$ обозначает знаменатель $n$ -го числа Бернулли $B_{n}$ [182]. Показать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{\frac{q_{1} q_{2} q_{3} \ldots q_{n}}{(2 n)!}}=\frac{1}{2} .

Примечание.

G. Pólya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27, стр. 161, 1918.

Задача 8.262.1

Если $\zeta (s)$ обозначает дзета-функцию Римана, определенную во введении к 39, то

\lim _{n\to \infty } \left(\zeta (2)+\zeta (3)+\cdots +\zeta (n+1)-n\right) = 1 .

Задача 8.262.1

Если $\zeta (s)$ обозначает дзета-функцию Римана, определенную во введении к 39, то

\lim _{n\to \infty } \left(\zeta (2)+\zeta (3)+\cdots +\zeta (n+1)-n\right) = 1 .

Задача 8.262.2

\lim _{n\to \infty } \left(\frac12\zeta (2)+\frac13\zeta (3)+\cdots +\frac1n\zeta (n)-\log n\right) = 0 .

Задача 8.262.2

\lim _{n\to \infty } \left(\frac12\zeta (2)+\frac13\zeta (3)+\cdots +\frac1n\zeta (n)-\log n\right) = 0 .

Задача 8.263

Пусть теоретико-числовая функция $f(n)$ мультипликативна и стремится к нулю, когда $n$ стремится к бесконечности по простым числам и их степеням. В таком случае

\lim _{n \rightarrow \infty } f(n)=0,

если $n$ стремится к бесконечности по всем вообще целым положительным числам.

Примечание.

Теоретико-числовая функция $f(n)$ называется мультипликативной, если $f(n) f(m)=f(n m)$ для всех взаимно простых $n$ и $m$ ; определение дано в списке теоретико-числовых функций, открывающем § 5 настоящей главы.

Задача 8.264

При всяком положительном $\delta$

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{n^{1-\delta }}{\varphi (n)}=0, \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\tau (n)}{n^{\delta }}=0 .

Задача 8.265

Пусть целочисленный квадратный трехчлен $a x^{2}+b x+c$ представлен целой точкой $a, b, c$ в трехмерной кубической числовой решетке. Обозначим число целых точек, содержащихся в кубе

-n \leqslant a \leqslant n, \quad -n \leqslant b \leqslant n, \quad -n \leqslant c \leqslant n

и представляющих приводимый трехчлен, через $r_{n}$ . Доказать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{r_{n}}{(2 n+1)^{3}}=0

(Неприводимость квадратного трехчлена представляет в некотором смысле «нормальный случай».)

Задача 8.266

«Вероятность» того, что целочисленный полином заданной степени приводим, равна нулю. Точнее говоря: пусть $h$ — целое число, $h \geqslant 2$ , и $r_{n}$ обозначает число целых точек $(h+1)$ -мерного пространства, лежащих в кубе

-n \leqslant a_{0} \leqslant n, \quad -n \leqslant a_{1} \leqslant n, \quad \ldots , \quad -n \leqslant a_{h} \leqslant n

и представляющих приводимые полиномы $a_{0} x^{h}+a_{1} x^{h-1}+\ldots +a_{h}$ . Тогда

r_{n}=O\left(n^{h} \ln ^{2} n\right) .

(Обобщение и уточнение теоремы 265.)