Банк задач по математике

Задача 8.238

Треугольник, вершины которого являются целыми точками плоской квадратной решетки, не может быть равносторонним.

?

Задача 8.238.1

Многоугольник равноуголен, имеет $n$ сторон, и все его вершины — целые точки. Тогда $n$ равно либо 4, либо 8.

?

Задача 8.238.2

Правильный многоугольник имеет $n$ сторон, и все его вершины — целые точки. Тогда $n=4$ .

?

Задача 8.239

До какой толщины должны вырасти стволы в правильно засаженном лесе, имеющем форму круга, чтобы они полностью заслонили вид из центра?

Пусть $s$ — заданное целое положительное число. Опишем возле каждой целой точки $p, q$ , удовлетворяющей неравенствам $1 \leqslant p^{2}+q^{2} \leqslant s^{2}$ , как из центра, окружность радиуса $r$ . Если $r$ достаточно мало, то имеются выходящие из нулевой точки лучи, не пересекающие ни одного из описанных кругов (лес имеет «просветы»); таких лучей уже больше не существует, когда $r$ достаточно велико (при $r=\frac{1}{2}$ круги соприкасаются). Пусть $r=\rho$ — значение, разделяющее эти два случая (граница «просвечиваемости»). Тогда

\frac{1}{\sqrt{s^{2}+1}} \leqslant \rho <\frac{1}{s} .

?

Задача 8.240

Проведем в плоской квадратной точечной решетке максимально широкую прямую бесконечную «дорогу», составляющую с осью ординат угол $\operatorname {arctg} x$ . Обозначая ширину этой дороги через $\varphi (x)$ , определить $f(x)=\varphi (x) \sqrt{1+x^{2}}$ .

?

Задача 8.241

Две целые точки $x, y$ и $x^{\prime }, y^{\prime }$ называются сравнимыми по модулю $n$ , если

x \equiv x^{\prime }(\bmod n), \quad y \equiv y^{\prime }(\bmod n) .

Среди любых $k n^{2}+1$ различных целых точек всегда существует $k+1$ сравнимых между собой по модулю $n$ .

?

Задача 8.242

Пусть в плоскости, на которую нанесена плоская квадратная решетка со сторонами квадратов, равными единице, лежит область с (жордановой) площадью $F$ . Если даже область эта не содержит ни одной целой точки, то тем не менее ее всегда можно так передвинуть параллельно самой себе, чтобы на ней оказалось $\left[F\right]+1$ целых точек.

?

Задача 8.243

(1)(2)

Целые точки, лежащие в замкнутом первом квадранте, образуют счетное множество, т. е. существует функция $f(x, y)$ , определенная для целых неотрицательных значений $x$ и $y$ и обладающая следующими двумя свойствами:

?

(1)

$f(x, y)$ принимает значения $1,2,3,4,5, \ldots$

(2)

$f(x, y)$ — инъективная, т. е. если $x, y, x^{\prime }, y^{\prime }$ — целые числа, $x \geqslant 0, y \geqslant 0, x^{\prime } \geqslant 0, y^{\prime } \geqslant 0$ , $\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+\left(y-y^{\prime }\right)^{2}>0$ , то $f(x, y) \neq f\left(x^{\prime }, y^{\prime }\right)$ .

Существует даже целая рациональная функция $f(x, y)$ , перенумеровывающая целые точки, т. е. обладающая свойствами 1), 2), а именно функция

f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^{2}+2 x y+y^{2}+3 x+y+2\right)=\binom {x+y+1}{2}+x+1,

а также функция, получающаяся из нее, если поменять местами $x$ и $y$ [указанная функция последовательно перенумеровывает целые точки на прямолинейных отрезках

x+y=0, x+y=1, x+y=2, \ldots , x \geqslant 0, y \geqslant 0] .

Пусть $f(x, y)$ — целая рациональная функция степени $m$ ,

f(x, y)=\varphi _{0}(x, y)+\varphi _{1}(x, y)+\ldots +\varphi _{m}(x, y),

где $\varphi_{\mu }(x, y)$ обозначает однородную целую рациональную функцию степени $\mu$ . Если $f(x, y)$ перенумеровывает целые точки, то, очевидно, $\varphi_{m}(x, y) \geqslant 0$ при $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ . Если $\varphi_{m}(x, y)>0$ при $x \geqslant 0, y \geqslant 0, x+y>0$ и $f(x, y)$ перенумеровывает целые точки, то функция $f(x, y)$ имеет степень $m=2$ .

Задача 8.244

Будем рассматривать квадрат $\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant n+\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2} \leqslant y \leqslant n+\frac{1}{2}$ как шахматную доску с $n^{2}$ полями, т. е. разделим его прямыми, параллельными осям, на $n^{2}$ равных квадратов (полей) каждый площадью, равной единице. «Проблема $n$ ферзей» состоит в следующем: из $n^{2}$ целых точек, образующих центры $n^{2}$ полей, требуется выбрать $n$ целых точек $\left(x_{1}, y_{1}\right), \left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots , \left(x_{n}, y_{n}\right)$ , удовлетворяющих $2 n(n-1)$ неравенствам

\begin{gathered} x_{\mu } \neq x_{\nu }, \quad y_{\mu } \neq y_{\nu }, \quad x_{\mu }-x_{\nu } \neq y_{\mu }-y_{\nu }, \quad x_{\mu }-x_{\nu } \neq -\left(y_{\mu }-y_{\nu }\right) \quad (\mu \neq \nu ) ; \\ \mu , \nu =1,2, \ldots , n . \end{gathered}

Заменяя неравенства более ограничительными условиями — «несравнениями»

x_{\mu } \not\equiv x_{\nu }, \quad y_{\mu } \not\equiv y_{\nu }, \quad x_{\mu }-x_{\nu } \not\equiv y_{\mu }-y_{\nu }, \quad x_{\mu }-x_{\nu } \not\equiv -\left(y_{\mu }-y_{\nu }\right) \quad (\bmod n),

показать, что эти последние тогда и только тогда имеют решение, когда $n$ — взаимно простое с 6.

?

Задача 8.244.1

Правильный многоугольник имеет $n$ сторон, и все его вершины — целые точки. Тогда $n$ равно 3, 4 или 6.

?

Задача 8.244.2

(Продолжение.) Привести примеры, показывающие, что все три случая $n=3,4$ и 6 действительно могут иметь место.

?

Задача 8.244.3

Все вершины правильного многогранника — целые точки. Тогда этот многогранник есть либо куб, либо тетраэдр, либо октаэдр.

?

Задача 8.244.4

(Продолжение.) Привести примеры, показывающие, что все три упомянутых выше случая действительно могут иметь место.

?

Целые точки на плоскости и в пространстве