Разные задачи

Пусть $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{q}$ и $s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{q}$ — две полные системы вычетов $\bmod q$, где $q$ — нечетное простое число. Тогда $q$ чисел $r_{1} s_{1}, r_{2} s_{2}, \ldots , r_{q} s_{q}$ не могут образовывать полной системы вычетов $\bmod q$.

Пусть $p^{\alpha }$, где $\alpha \geqslant 1$, — наивысшая степень, в которой нечетное простое число $p$ входит в число $n$. Показать, что

смотря по тому, делится ли $\lambda$ на $p-1$ или нет $(\lambda =1,2,3, \ldots )$.

Пусть $p$ — наименьшее простое число, входящее в $n$. Тогда существуют две такие полные системы вычетов $\bmod n$

что каждая из $p-2$ строк

также представляет собой полную систему вычетов. Что касается системы

то она никак не может быть полной системой вычетов $\bmod n$.

Если $p$ — простое число, то числа

делятся на $p$. (Определения чисел $s_k^n$ и $S_k^n$ см. соответственно во введениях к задачам I 197 и I 186.)

Если $p$ — нечетное простое число, то коэффициенты полинома Чебышева $T_p(x)$ (определенного в начале отдела шестого) все делятся на $p$, за исключением старшего коэффициента, равного $2^{p-1}$.

Каждая степень может быть представлена в виде суммы стольких последовательных нечетных чисел, сколько единиц содержится в ее основании.

Число из ряда $2,3,4, \ldots , n(n>2)$ тогда и только тогда — взаимно простое со всеми остальными, когда оно представляет собой простое число, превосходящее $\frac{n}{2}$.

Частичные суммы

гармонического ряда не могут быть целыми при $n>1$. Это сразу же получается из теоремы Чебышева [249], но может быть доказано и без нее.

Сумма двух или большего числа последовательных членов гармонического ряда, т. е. сумма вида

не может быть целым числом; если представить ее в виде несократимой дроби, то знаменатель будет четный, числитель — нечетный.

Если целое положительное число $n$ делится на все числа, меньшие или равные $\sqrt{n}$, то $n$ есть либо 24, либо делитель этого числа.

Доказать элементарными средствами более общую теорему: каково бы ни было $\alpha$, $0<\alpha <1$, имеется лишь конечное число целых положительных чисел $n$, делящихся на все числа $1,2,3, \ldots , \left[n^{\alpha }\right]$.

Пусть $Q$ — простое число, не являющееся делителем $10 P$. Среднее арифметическое цифр в периоде десятичной дроби, в которую разлагается $\frac{P}{Q}$, будет тогда и только тогда равно 4,5, когда длина периода представляет собой четное число.

Число $n=2^{h}+1(h \geqslant 2)$ в том и только том случае является простым, когда

Доказать справедливость следующей теоремы, высказанной Эйлером в качестве предположения:

Диофантово уравнение

не имеет решений в положительных целых числах $x, y, z, t$.

Если $q$ — простое число $\geqslant 11$, то существуют положительные нечетные простые числа $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$, все меньшие, чем $q$, но не обязательно различные, удовлетворяющие соответственно условиям

Десятичная дробь

(все простые числа выписаны одно за другим) иррациональна.

Число

иррационально.

Число $e$ не только иррационально, но и не является квадратической иррациональностью, т. е. не может удовлетворять никакому уравнению вида

где $a, b, c$ — целые числа, не все равные нулю.

Если бы постоянная Эйлера-Маскерони $C=-\Gamma^{\prime }(1)$ была рациональным числом, то $\Gamma^{\prime }(n+1)$ должно было бы быть целым числом при всех достаточно больших целых $n$.

Число

иррационально.

Числа $a$ и $b$ положительны; $a$ может быть рациональным или иррациональным, и то же самое верно для $b$, так что возможны четыре случая. Показать на примерах, что $a^b$ может быть рациональным или иррациональным в каждом из этих четырех случаев (требуется восемь примеров).

Неизвестно, обладает ли число $\pi$ тем свойством, что среднее арифметическое первых $n$ его десятичных знаков стремится к 4,5. Однако, если $\pi$ обладает этим свойством, то им обладает также $4-\pi$.

Пусть $q_{n}$ обозначает знаменатель $n$-го числа Бернулли $B_{n}$ [182]. Показать, что

Если $\zeta (s)$ обозначает дзета-функцию Римана, определенную во введении к 39, то

Пусть теоретико-числовая функция $f(n)$ мультипликативна и стремится к нулю, когда $n$ стремится к бесконечности по простым числам и их степеням. В таком случае

если $n$ стремится к бесконечности по всем вообще целым положительным числам.

При всяком положительном $\delta$

Пусть целочисленный квадратный трехчлен $a x^{2}+b x+c$ представлен целой точкой $a, b, c$ в трехмерной кубической числовой решетке. Обозначим число целых точек, содержащихся в кубе

и представляющих приводимый трехчлен, через $r_{n}$. Доказать, что

(Неприводимость квадратного трехчлена представляет в некотором смысле «нормальный случай».)

«Вероятность» того, что целочисленный полином заданной степени приводим, равна нулю. Точнее говоря: пусть $h$ — целое число, $h \geqslant 2$, и $r_{n}$ обозначает число целых точек $(h+1)$-мерного пространства, лежащих в кубе

и представляющих приводимые полиномы $a_{0} x^{h}+a_{1} x^{h-1}+\ldots +a_{h}$. Тогда

(Обобщение и уточнение теоремы 265.)