Многочлены с целыми коэффициентами и целочисленные функции

Полином

— целозначный, однако не целочисленный, если $m \geqslant 2$.

Каждый полином $P(x)$ степени $m$ можно представить в форме

Полином $P(x)$ является целозначным тогда и только тогда, когда все коэффициенты $b_{0}, b_{1}, \ldots , b_{m-1}, b_{m}$ — целые числа.

Если полином $P(x)$ степени $m$ — целозначный, то полином $m! P(x)$ — целочисленный.

Если целая рациональная функция степени $m$ принимает целые значения для $m+1$ последовательных целых значений переменной, то она принимает целые значения для всех вообще целых значений переменной.

Каждый нечетный полином $P(x)$ степени $2 m-1$ можно представить в форме

Полином $P(x)$ тогда и только тогда целозначный, когда все коэффициенты $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{m-1}, c_{m}$ — целые числа.

Каждый четный полином $P(x)$ степени $2 m$ можно представить в форме

Полином $P(x)$ тогда и только тогда целозначный, когда все коэффициенты $d_{0}, d_{1}, d_{2}, \ldots , d_{m-1}, d_{m}$ — целые числа.

Целочисленные полиномы степени $m$, абсолютное значение которых равно единице при $m+1$ целых значениях, существуют, если $m \leqslant 3$, и не существуют, если $m \geqslant 4$.

Если целая рациональная функция степени $m$ принимает рациональные значения при $m+1$ целых значениях $x$, то все ее коэффициенты рациональны.

Если дробная рациональная функция во всех положительных целых точках принимает рациональные значения, то она представляет собой отношение двух взаимно простых целочисленных полиномов.

Рациональная функция, принимающая целые значения для бесчисленного множества целых значений аргумента, является целой рациональной функцией.

В числовой последовательности

все члены — попарно взаимно простые. (Отсюда, между прочим, вытекает, что число простых чисел бесконечно.)

В арифметической прогрессии

где $a$ и $d$ — целые числа, $d \neq 0$, содержится бесконечное множество членов, имеющих одни и те же простые множители.

Каждый член последовательности

обладает простым множителем, который $\equiv -1(\bmod 6)$.

Пусть $P(x)$ — целозначный полином. Могут ли все члены последовательности

представлять собой простые числа? (Как заметил Эйлер, в случае полинома $P(x)=x^{2}-x+41$ простыми оказываются первые 40 членов.)

Полином $x^{2}+1$ имеет простыми делителями числа $2, 5, 13, 17, \ldots$, т. е. 2 и нечетные простые числа вида $4 n+1$. Ни одно простое число вида $4 n+3$ не может служить простым делителем указанного полинома.

Определить простые делители полинома $x^{2}+15$.

Каков бы ни был заданный неприводимый полином второй степени, существует бесчисленное множество простых чисел, не являющихся его простыми делителями.

Если целозначный полином, не равный тождественно нулю, имеет рациональный нуль, то все простые числа, за исключением, быть может, нескольких, являются его простыми делителями.

Все простые числа служат простыми делителями полинома $x^{6}-11 x^{4}+36 x^{2}-36$, не обладающего вовсе рациональными нулями.

Нечетные простые делители $m$-го полинома деления круга $K_{m}(x)$ [36] либо делят $m$, либо $\equiv 1(\bmod m)$.

Если простое число $p$ ($p>2$) не делит $m$ и

то $a$ — взаимно простое с $p$ и принадлежит $(\bmod p)$ показателю $m$.

Существует бесконечное множество простых чисел вида $6 n-1$.

Существует бесконечное множество простых чисел вида $4 n-1$.

Целозначная функция $a b^{x}+c$, где $a, b, c$ — целые числа, $a \neq 0, b \geqslant 2, c \neq 0$, имеет бесконечное множество простых делителей.

Целозначный полином $P(x)$, не тождественно постоянный, обладает бесконечным множеством простых делителей.

Утверждению, содержащемуся в теореме 108, можно придать такой вид: если $P(x)$ — целозначный не тождественно постоянный полином, то все члены последовательности

нельзя составить из конечного числа простых чисел. Может ли какая-нибудь бесконечная часть этой последовательности быть составлена из конечного числа простых чисел?

Пусть $m$ — целое положительное число. В арифметической прогрессии

содержится бесконечное множество простых чисел¹.

Пусть целозначные полиномы $P(x)$ и $Q(x)$ взаимно просты. Тогда существуют произвольно большие целые числа $n$, обладающие тем свойством, что наименьшее общее кратное чисел $P(n)$ и $Q(n)$ содержит простые множители, не входящие в их наибольший общий делитель.

Пусть $P(x)$ — неприводимый целозначный полином (определение неприводимости см. в начале § 3 настоящей главы). Тогда существуют произвольно большие целые числа $n$, обладающие тем свойством, что в $P(n)$ по крайней мере один простой множитель $p$ входит в первой степени, т. е.

Пусть $P(x)$ — целозначный полином, наименьшая кратность нулей которого равна $m$. (Все простые множители, входящие в $P(n)$, за исключением, быть может, нескольких, должны тогда входить по меньшей мере в $m$-й степени, $n=0,1,2, \ldots$). Существуют произвольно большие целые числа $n$, обладающие тем свойством, что по крайней мере один простой делитель входит в $P(n)$ не более чем в $m$-й степени.

Если целая рациональная функция $P(x)$ для каждого целого положительного значения $x$ принимает значение, равное квадрату целого числа, то $P(x)$ представляет собой квадрат целой рациональной функции. (Аналогичная теорема имеет место и для высших степеней.)

Пусть $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{k}$ — различные целые положительные числа ($0<b_{1}<b_{2}<\ldots <b_{k}$) и $P_{1}(x), P_{2}(x), \ldots , P_{k}(x)$ — целочисленные полиномы. Показать, что функция

имеет бесконечное множество простых делителей.

Всякий приводимый целочисленный полином может быть представлен в виде произведения целочисленных же полиномов низших степеней.

Целочисленный полином $f(x)$ не может обращаться в нуль ни в одной целой точке, если $f(0)$ и $f(1)$ — нечетные числа.

Целочисленный полином $P(x)$ $n$-й степени, принимающий в $n$ различных целых точках значения, отличные от нуля и по абсолютной величине меньшие, чем $\frac{\left(n-\left[\frac{n}{2}\right]\right)!}{2^{n-\left[\frac{n}{2}\right]}}$, неприводим.

Пусть $d$ — наименьшее расстояние между целыми точками, указанными в задаче 118. Тогда приведенную в этой задаче границу можно заменить следующей:

Если целочисленный полином $P(x)$ при бесконечном множестве целых $x$ принимает значения, являющиеся простыми числами, то он должен быть неприводимым и наибольший общий делитель совокупности его коэффициентов должен быть равен единице. Это очевидное положение не может быть обращено: полином

неприводим и, однако, если $n \geqslant 3$, не равен простому числу ни при каком целом значении $x$.

Полином

где $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ — различные целые числа, всегда неприводим.

В каких случаях полином

будет приводимым?

Полином

неприводим.

Полином

также неприводим.

Если $F(z)=z^{4}+A z^{3}+B z^{2}+A z+1$ есть положительно определенный неприводимый целочисленный полином, то полином

приводим лишь в том случае, если $F(z)=z^{4}-z^{2}+1$ (12-й полином деления круга) и

с целым $\alpha$.

Полином

где $A$ — целое положительное число, приводим лишь в том случае, если $\frac{A}{4}$ является четвертой степенью целого числа.

Пусть $P(x)$ — целочисленный полином и пусть существует целое число $n$, удовлетворяющее следующим трем условиям:

Пусть

— простое число, записанное по десятичной системе ($0 \leqslant a_{\nu } \leqslant 9$, $\nu =0,1, \ldots , m$; $a_{0} \geqslant 1$). Показать, что полином

неприводим.

Пусть $r$ и $s$ — нечетные простые числа, удовлетворяющие соотношениям

Такими простыми числами являются, например, $r=41$ и $s=5$. Тогда полином

в обычном смысле неприводим, однако, как можно элементарно показать с помощью формул (1), (2) и (3), «приводим» (именно, может быть разложен на два множителя второй степени) по любому модулю $m$.