Целые коэффициенты и целочисленные многочлены

Полином

— целозначный, однако не целочисленный, если $m \geqslant 2$.

Каждый полином $P(x)$ степени $m$ можно представить в форме

Полином $P(x)$ является целозначным тогда и только тогда, когда все коэффициенты $b_{0}, b_{1}, \ldots , b_{m-1}, b_{m}$ — целые числа.

Если полином $P(x)$ степени $m$ — целозначный, то полином $m! P(x)$ — целочисленный.

Если целая рациональная функция степени $m$ принимает целые значения для $m+1$ последовательных целых значений переменной, то она принимает целые значения для всех вообще целых значений переменной.

Каждый нечетный полином $P(x)$ степени $2 m-1$ можно представить в форме

Полином $P(x)$ тогда и только тогда целозначный, когда все коэффициенты $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{m-1}, c_{m}$ — целые числа.

Каждый четный полином $P(x)$ степени $2 m$ можно представить в форме

Полином $P(x)$ тогда и только тогда целозначный, когда все коэффициенты $d_{0}, d_{1}, d_{2}, \ldots , d_{m-1}, d_{m}$ — целые числа.

Целочисленные полиномы степени $m$, абсолютное значение которых равно единице при $m+1$ целых значениях, существуют, если $m \leqslant 3$, и не существуют, если $m \geqslant 4$.

Если целая рациональная функция степени $m$ принимает рациональные значения при $m+1$ целых значениях $x$, то все ее коэффициенты рациональны.

Если дробная рациональная функция во всех положительных целых точках принимает рациональные значения, то она представляет собой отношение двух взаимно простых целочисленных полиномов.

Рациональная функция, принимающая целые значения для бесчисленного множества целых значений аргумента, является целой рациональной функцией.