3

Неприводимость многочленов

[14/93%]
Показать
LaTeX
Задача 8.116

Всякий приводимый целочисленный полином может быть представлен в виде произведения целочисленных же полиномов низших степеней.

?
Примечание.
?

Gauss. См. Hecke, стр. 14, 781.

Footnotes

  1. Гекке, стр. 19 и 82. ↩

Задача 8.117

Целочисленный полином f(x)f(x) не может обращаться в нуль ни в одной целой точке, если f(0)f(0) и f(1)f(1) — нечетные числа.

?
Примечание.
?

Gauss. См. Nouv. Ann. de math., серия 1, т. 15, стр. 383, 1856. Решение — De Rochas и др., там же, серия 1, т. 16, стр. 9, 10, 71, 1857.

Задача 8.118

Целочисленный полином P(x)P(x) nn-й степени, принимающий в nn различных целых точках значения, отличные от нуля и по абсолютной величине меньшие, чем (n−[n2])!2n−[n2]\frac{\left(n-\left[\frac{n}{2}\right]\right)!}{2^{n-\left[\frac{n}{2}\right]}}, неприводим.

?
Примечание.
?

L. c. 90.

Задача 8.119

Пусть dd — наименьшее расстояние между целыми точками, указанными в задаче 118. Тогда приведенную в этой задаче границу можно заменить следующей:

(d2)n−[n2](n−[n2])!. \left(\frac{d}{2}\right)^{n-\left[\frac{n}{2}\right]}\left(n-\left[\frac{n}{2}\right]\right)! .
?
Примечание.
?

L. c. 90.

Задача 8.120

Если целочисленный полином P(x)P(x) при бесконечном множестве целых xx принимает значения, являющиеся простыми числами, то он должен быть неприводимым и наибольший общий делитель совокупности его коэффициентов должен быть равен единице. Это очевидное положение не может быть обращено: полином

x(x−(n!+1))(x−2(n!+1))…(x−(n−1)(n!+1))+n!=xn+… x(x-(n!+1))(x-2(n!+1)) \ldots (x-(n-1)(n!+1))+n!=x^{n}+\ldots

неприводим и, однако, если n⩾3n \geqslant 3, не равен простому числу ни при каком целом значении xx.

?
Примечание.
?

P. Stäckel, J. für Math., т. 148, стр. 104, 1918; G. Pólya, l. c. 90.

Задача 8.121

Полином

(x−a1)(x−a2)…(x−an)−1, \left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \ldots \left(x-a_{n}\right)-1,

где a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} — различные целые числа, всегда неприводим.

?
Примечание.
?

I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 13, стр. 367, 1908. Решение — W. Flügel, там же, серия 3, т. 15, стр. 271--272, 1909.

Задача 8.122

В каких случаях полином

(x−a1)(x−a2)…(x−an)+1 \left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \ldots \left(x-a_{n}\right)+1

будет приводимым?

?
Примечание.
?

Продолжение задачи 121: a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} — различные целые числа. L. c. 121.

Задача 8.123

Полином

(x−a1)2(x−a2)2…(x−an)2+1 \left(x-a_{1}\right)^{2}\left(x-a_{2}\right)^{2} \ldots \left(x-a_{n}\right)^{2}+1

неприводим.

?
Примечание.
?

Продолжение задачи 121: a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} — различные целые числа. I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 15, стр. 259, 1909.

Задача 8.124

Полином

(x−a1)4(x−a2)4…(x−an)4+1 \left(x-a_{1}\right)^{4}\left(x-a_{2}\right)^{4} \ldots \left(x-a_{n}\right)^{4}+1

также неприводим.

?
Примечание.
?

Продолжение задачи 121: a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} — различные целые числа. I. Schur, задача, l. c. 123. Решение — A. и R. Brauer'ы.

Задача 8.125

Если F(z)=z4+Az3+Bz2+Az+1F(z)=z^{4}+A z^{3}+B z^{2}+A z+1 есть положительно определенный неприводимый целочисленный полином, то полином

F((x−a1)(x−a2)…(x−an)) F\left(\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \ldots \left(x-a_{n}\right)\right)

приводим лишь в том случае, если F(z)=z4−z2+1F(z)=z^{4}-z^{2}+1 (12-й полином деления круга) и

(x−a1)(x−a2)…(x−an)=(x−α)(x−α−1)(x−α−2) \left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \ldots \left(x-a_{n}\right)=(x-\alpha )(x-\alpha -1)(x-\alpha -2)

с целым α\alpha.

?
Примечание.
?

Продолжение задачи 121: a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} — различные целые числа.

Задача 8.126

Полином

A(x−a1)4(x−a2)4…(x−an)4+1, A\left(x-a_{1}\right)^{4}\left(x-a_{2}\right)^{4} \ldots \left(x-a_{n}\right)^{4}+1,

где AA — целое положительное число, приводим лишь в том случае, если A4\frac{A}{4} является четвертой степенью целого числа.

?
Примечание.
?

Продолжение задачи 121: a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} — различные целые числа.

Задача 8.127

Пусть P(x)P(x) — целочисленный полином и пусть существует целое число nn, удовлетворяющее следующим трем условиям:

?
(1)

нули полинома P(x)P(x) лежат в полуплоскости ℜx<n−12\Re x<n-\frac{1}{2},

(2)

P(n−1)≠0P(n-1) \neq 0,

(3)

P(n)P(n) есть простое число.

Тогда полином P(x)P(x) неприводим.

Задача 8.128

Пусть

p=a0a1…am=a010m+a110m−1+…+am p=a_{0} a_{1} \ldots a_{m}=a_{0} 10^{m}+a_{1} 10^{m-1}+\ldots +a_{m}

— простое число, записанное по десятичной системе (0⩽aν⩽90 \leqslant a_{\nu } \leqslant 9, ν=0,1,…,m\nu =0,1, \ldots , m; a0⩾1a_{0} \geqslant 1). Показать, что полином

a0xm+a1xm−1+…+am−1x+am a_{0} x^{m}+a_{1} x^{m-1}+\ldots +a_{m-1} x+a_{m}

неприводим.

?
Задача 8.129

Пусть rr и ss — нечетные простые числа, удовлетворяющие соотношениям

r≡1( mod 8) и (rs)=(sr)=1. r \equiv 1(\bmod 8) \text{ и }\left(\frac{r}{s}\right)=\left(\frac{s}{r}\right)=1 .

Такими простыми числами являются, например, r=41r=41 и s=5s=5. Тогда полином

(x−r−s)(x−r+s)(x+r−s)(x+r+s)==x4−2(r+s)x2+(r−s)2==(x2+r−s)2−4rx2==(x2−r+s)2−4sx2==(x2−r−s)2−4rs \begin{align} (x-\sqrt{r}-\sqrt{s})(x & -\sqrt{r}+\sqrt{s})(x+\sqrt{r}-\sqrt{s})(x+\sqrt{r}+\sqrt{s})= \\ & =x^{4}-2(r+s) x^{2}+(r-s)^{2}= \\ & =\left(x^{2}+r-s\right)^{2}-4 r x^{2}= \tag {1} \\ & =\left(x^{2}-r+s\right)^{2}-4 s x^{2}= \tag {2} \\ & =\left(x^{2}-r-s\right)^{2}-4 r s \tag {3} \end{align}

в обычном смысле неприводим, однако, как можно элементарно показать с помощью формул (1), (2) и (3), «приводим» (именно, может быть разложен на два множителя второй степени) по любому модулю mm.

?