Геометрия комплексной плоскости и нули многочленов

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — произвольные конечные точки комплексной плоскости и в каждой из них сосредоточена соответственно неотрицательная масса $m_{1}, m_{2}, \ldots , m_{n}$, где $m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n}=1$. Показать, что при каждом линейном преобразовании комплексной плоскости, оставляющем бесконечно удаленную точку неподвижной, центр тяжести $\zeta$ этих масс также подвергается тому же преобразованию. Иными словами: если сосредоточить массы $m_{\nu }$ в соответствующих точках $z_{\nu }^{\prime }$, в которые перешли при преобразовании старые точки $z_{\nu }$, то центр тяжести этого нового распределения масс попадает как раз в ту точку $\zeta^{\prime }$, в которую переходит при преобразовании старый центр тяжести $\zeta$.

Пусть даны точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, z$, причем $z$ отлично от всех $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$, в то время как среди последних могут быть и совпадающие. Пусть, далее, даны массы

Требуется найти такую точку $\zeta$, чтобы при линейном преобразовании плоскости, переводящем $n+2$ точки

соответственно в точки

центр тяжести масс $m_{\nu }$, сосредоточенных в точках $z_{\nu }^{\prime }$ ($\nu =1,2, \ldots , n$), попал как раз в $\zeta^{\prime }$.

Существует бесчисленное множество линейных преобразований, переводящих $z$ в бесконечность. Однако точка $\zeta$ не зависит от выбора преобразования.

Будем брать в фиксированных точках $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ самые различные распределения масс с общей суммой 1. Показать, что центры тяжести $\zeta_{z}$ всех таких распределений, взятые относительно некоторой точки $z$, не совпадающей ни с одной из $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$, заполнят некоторую область $\mathfrak {K}_{z}$, ограниченную дугами «окружностей».

Пусть $\mathfrak {K}_{z}$ — определенный в предыдущей задаче «круговой» полигон и $w_{1}, w_{2}$ — две его точки. Рассмотрим «окружность», проходящую через $w_{1}, w_{2}$ и $z$. Показать, что та из двух дуг $w_{1}, w_{2}$, которая не проходит через $z$, содержится в $\mathfrak {K}_{z}$, иными словами, что область $\mathfrak {K}_{z}$ «выпукла» относительно $z$. (Мы будем называть $\mathfrak {K}_{z}$ наименьшей «выпуклой» относительно $z$ областью, содержащей точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$.)

Если все точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ содержатся в некоторой круговой области $K$, а точка $z$ — вне $K$, то «круговой» полигон $\mathfrak {K}_{z}$ задачи 103 целиком содержится внутри $K$.

Пусть $\zeta_{z}$ — центр тяжести точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ относительно точки $z$. Показать, что каждая «окружность», проходящая через $z$ и $\zeta_{z}$, разделяет точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ между собой, т. е. либо каждая из двух круговых областей, определяемых рассматриваемой «окружностью», содержит внутри хотя бы одну из точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$, либо все эти точки лежат на самой «окружности».

(Продолжение.) Пусть все точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ содержатся в некоторой круговой области $K$. Показать, что точки $z$ и $\zeta_{z}$ не могут одновременно лежать вне $K$. Если одна из них, например $z$, лежит вне $K$, то тогда другая, $\zeta_{z}$, будет находиться внутри $K$, за исключением того случая, когда все точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ лежат на границе $K$: в этом случае и $\zeta_{z}$ будет находиться на той же «окружности».

Рассмотрим все возможные системы чисел $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$, могущих принимать лишь $k$ различных фиксированных значений $w_{1}, w_{2}, \ldots , w_{k}$. Показать, что центры тяжести всех таких систем, взятые относительно точки $z$, не совпадающей ни с одной из точек $w_{1}, w_{2}, \ldots , w_{k}$, лежат всюду плотно в наименьшей области, «выпуклой» относительно $z$, содержащей точки $w_{1}, w_{2}, \ldots , w_{k}$.

Пусть точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ фиксированы, а переменная точка $z$ стремится к $z_{1}$. К какому предельному положению стремится центр тяжести $\zeta_{z}$ системы точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ относительно точки $z$?

Центр тяжести $\zeta_{z}$ системы конечных фиксированных точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ относительно переменной точки $z$ может быть разложен для достаточно больших $z$ по убывающим степеням $z$. Вычислить первые два члена разложения.

Под центром тяжести $\zeta$ целой рациональной функции понимают центр тяжести ее нулей. Выразить центр тяжести $f(z)$ относительно переменной точки $z$: 1) через $f(z)$ и $f^{\prime }(z)$ и 2) через коэффициенты $f(z)$. Рассмотреть случаи $z=\infty$ и $f(z)=z^{n}$.

Пусть $\zeta$ — центр тяжести $f(z)$ относительно $z$. Для того чтобы $f(z)$ имела лишь вещественные нули, необходимо и достаточно, чтобы при всех значениях $z$ мнимые части $z$ и $\zeta$ имели противоположные знаки, либо обе одновременно исчезали ($z=\infty$ причисляем к вещественным нулям).

Относительно какой точки $z$ плоскости бесконечно удаленная точка является центром тяжести функции $f(z)$? Что означают для этой точки теоремы 106 и 107?

Пусть $f(z)$ — полином точной степени $n$, $K$ — круговая область, содержащая нули полинома $f(z)$, и $c \neq 0$. Показать, что нули производной от трансцендентной функции $e^{-z / c} f(z)$ лежат либо в $K$, либо в $K+n c$, т. е. в круговой области, получаемой из $K$ параллельным смещением на вектор $n c$.

Пусть $z_{1}$ — один из нулей полинома $n$-й степени $f(z)$, далее $x$ $\left(x \neq z_{1}\right)$ конечно и $f^{\prime }(x)=0$. Тогда $f(z)$ имеет в каждом круге, проходящем через точки $x$ и $x-(n-1)\left(z_{1}-x\right)$, по меньшей мере один нуль.

Пусть $f(z)$ — полином $n$-й степени, все нули которого по модулю $\geqslant 1$. Пусть, далее, $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ — такие положительные числа, что $n \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}} \neq 1$. Тогда все нули функции $\alpha_{1} z f^{\prime }(z)-\alpha_{2} f(z)$ по модулю $\geqslant \operatorname {Min}\left(1,\left|1-n \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}\right|^{-1}\right)$.

Пусть $f(z)$ — полином $n$-й степени, все нули которого лежат в круговом кольце $r \leqslant \left|z\right| \leqslant R$. Пусть, далее, $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ — любые положительные числа, для которых $n \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}} \neq 1$. Тогда все нули функции $\alpha_{1} z f^{\prime }(z)-\alpha_{2} f(z)$ лежат в круговом кольце

Пусть $z_{1}$ — один из конечных нулей целой рациональной функции $n$-й степени $f(z)$. Показать, что центр тяжести остальных $n-1$ нулей $f(z)$, взятый относительно $z_{1}$, равен

Как нужно изменить эту формулу, если $z_{1}$ — бесконечно удаленная точка?

Полином Эрмита $n$-го порядка удовлетворяет дифференциальному уравнению

[VI 100, решение ж)]. Показать, основываясь на 118, что полиномы Эрмита имеют лишь вещественные нули [VI 100, решение и)].

Полином $n$-й степени, удовлетворяющий дифференциальному уравнению

(полином Лежандра $n$-го порядка, см. VI 90), имеет лишь вещественные нули. (VI 97.)

Теорема Гаусса [III 31] равносильна следующей: если все нули полинома $f(z)$ лежат в круге $K$, то и нули его производной $f^{\prime }(z)$ лежат в $K$ [113]. Установить, верна или неверна следующая теорема: если все нули полинома $f(z)$ лежат в двух кругах $K_{1}, K_{2}$, то и нули производной лежат в $K_{1}$ или $K_{2}$.

Пусть $K_{1}$ и $K_{2}$ — два круга с центрами соответственно $z_{1}^{(0)}$ и $z_{2}^{(0)}$ и радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$. Показать, что тогда

будет тоже кругом, центр которого $z^{(0)}$ и радиус $r$ определяются равенствами

Круги $K_{1}, K_{2}$ и $K$ имеют общий центр подобия.

Пусть $K_{1}$ и $K_{2}$ — полуплоскости с параллельными краями, одна из которых содержит другую. Тогда «средняя область»

тоже будет полуплоскостью, край которой параллелен краям плоскостей $K_{1}$ и $K_{2}$ и делит расстояние между ними в отношении $n_{1}: n_{2}$.

Пусть $f(z)=f_{1}(z) f_{2}(z)$, где $f_{1}(z)$ — полином $n_{1}$-й степени, а $f_{2}(z)$ — полином $n_{2}$-й степени. Пусть, далее, все нули полинома $f_{1}(z)$ лежат в круговой области $K_{1}$, а все нули полинома $f_{2}(z)$ — в круговой области $K_{2}$. Тогда нули производной $f^{\prime }(z)$ лежат либо в $K_{1}$, либо в $K_{2}$, либо в «средней области»

(Здесь под степенями полиномов $f_{1}(z)$ и $f_{2}(z)$ понимаются их точные степени.)

Пусть $f(z)$ — дробно-рациональная функция, числитель и знаменатель которой — взаимно простые. Пусть, далее, ее нули (полюсы) в числе $n_{1}$ лежат в круговой области $K_{1}$, а полюсы (нули) в числе $n_{2}$ — в круговой области $K_{2}$. (Мы рассматриваем лишь конечные нули и полюсы.) Пусть, наконец, $n_{1} \neq n_{2}$. Тогда нули производной $f^{\prime }(z)$ лежат или в $K_{1}$, или в $K_{2}$, или в области $K$, образованной точками

где $z_{1}$ и $z_{2}$ пробегают независимо друг от друга соответственно $K_{1}$ и $K_{2}$; в символическом обозначении:

Если $n_{1}=n_{2}$ и круговые области $K_{1}$ и $K_{2}$ не пересекаются, то все нули производной $f^{\prime }(z)$ лежат либо в $K_{1}$, либо в $K_{2}$.

Пусть все корни уравнения

где $f(z)$ — данный полином, лежат в некотором овале¹ $O_{1}$. Показать, что все точки $a$, для которых это будет иметь место, также будут находиться в некотором овале $O_{2}$.

Пусть $f(z)$ — некоторый полином, пусть, далее, его $a$-точки (нули полинома $f(z)-a$) лежат в круговой области $K_{1}$, а его $b$-точки — в круговой области $K_{2}$. Пусть, наконец,

где $n_{1}$ и $n_{2}$ — положительные числа. Показать, что $c$-точки полинома $f(z)$, не лежащие ни в $K_{1}$, ни в $K_{2}$, лежат в «средней области»

Пусть коэффициенты функции

будут

Как запишутся $n$ коэффициентов функции $\frac{A_{\zeta } f(z)}{n}$?

Показать, что операция $A_{\zeta } f(z)$, где $\zeta$ произвольно, линейна: если $f_{1}(z)$ и $f_{2}(z)$ — два полинома $n$-й степени, а $c_{1}$ и $c_{2}$ — произвольные постоянные коэффициенты, то

Пусть $f(z)=g(z) h(z)$ — разложение полинома $f(z)$ $n$-й степени на два множителя $g(z)$ и $h(z)$ соответственно степеней $k$ и $l$, $k+l=n$. Показать, что при всех значениях $\zeta$

Пусть $f(z)$ — полином $n$-й степени, $\zeta_{1}$ и $\zeta_{2}$ — произвольные постоянные. Показать, что операции $A_{\zeta_{1}} f(z)$ и $A_{\zeta_{2}} f(z)$ перестановочны; иными словами,

Показать, что $A_{\zeta } f(z) \equiv 0$ тогда и только тогда, когда все нули полинома $f(z)$ совпадают с $\zeta$.

Если $\zeta$ конечно, то в производной системе относительно точки $\zeta$ содержатся вообще точки четырех родов:

1. Конечные отличные от $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \zeta$ точки, относительно которых центром тяжести системы $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ служит как раз $\zeta$.

2. Отличные от $\zeta$ кратные конечные нули функции $f(z)$, каждый уменьшенной на единицу кратности.

3. Само $\zeta$ лишь в том случае, когда оно является нулем $f(z)$, и тогда с той же кратностью.

4. Точка $\infty$, либо если она является по меньшей мере двукратным нулем $f(z)$, либо если она совсем не является нулем $f(z)$, но зато $\zeta$ является обыкновенным, т. е. взятым относительно точки $\infty$, центром тяжести $f(z)$.

Всякая круговая область, граница которой проходит через точку $\zeta$ и одну из точек производной системы, содержит и точки первоначальной системы.

Всякая круговая область, содержащая точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ и не содержащая точки $\zeta$, содержит также все точки производной системы системы точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ относительно $\zeta$.

Производная система системы точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ относительно точки $\zeta$ заключается в наименьшем выпуклом относительно $\zeta$ круговом полигоне, содержащем $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$. (Обобщение теоремы III 31.)

Если $f(z)$ $n$-й степени, то $\left(A_{\zeta }\right)^{n-1} f(z)$ будет первой степени. Вычислить единственный нуль функции $\left(A_{\zeta }\right)^{n-1} f(z)$.

Пусть

— произвольный полином $n$-й степени и $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$ — произвольные точки комплексной плоскости. Показать, что выражение

представляет собой симметрическую функцию переменных $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$, линейную относительно каждой из переменных; именно: $A\left(\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}\right) f(z)=a_{0} \Sigma_{0}+a_{1} \Sigma_{1}+a_{2} \Sigma_{2}+\ldots +a_{n-1} \Sigma_{n-1}+a_{n} \Sigma_{n}$, где $\Sigma_{0}, \Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \ldots , \Sigma_{n-1}, \Sigma_{n}$ — элементарные симметрические функции от $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$:

Если из чисел $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$, скажем, $k$ последних (и только они) лежат в бесконечности, то нужно положить

Пусть

— произвольный полином $n$-й степени с нулями $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ и

— произвольный полином $n$-й степени с нулями $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$. Вычислить $A\left(\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}\right) f(z)$ и $A\left(z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}\right) g(z)$.

Истолковать геометрически аполярность $z_{1}$ и $\zeta_{1}$, а также $z_{1}, z_{2}$ и $\zeta_{1}, \zeta_{2}$.

Найти системы $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$, аполярные к системе корней двучленного уравнения $z^{n}-1=0$.

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — произвольная система точек. Существует $n$ систем совпадающих точек $\zeta , \zeta , \ldots , \zeta$, аполярных к заданной системе. Определить их.

Полином $n$-й степени

аполярен к любой системе чисел, сумма которых равна $n$, а произведение — нулю.

Пусть $f(z)$ — любой полином $n$-й степени, все нули которого лежат в круговой области $K$. Пусть, далее, $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{k}$ $(k<n)$ — любые точки, лежащие вне $K$. Показать, что все нули полинома $(n-k)$-й степени $A_{\zeta_{1}} A_{\zeta_{2}} \ldots A_{\zeta_{k}} f(z)$ также лежат в $K$.

Пусть полиномы $n$-й степени $f(z)$ и $g(z)$ взаимно аполярны. Показать, что каждая круговая область, содержащая все нули одного полинома, содержит по крайней мере один нуль другого.

Пусть полиномы $n$-й степени $f(z)$ и $g(z)$ взаимно аполярны. Показать, что наименьшие выпуклые полигоны, содержащие соответственно все нули $f(z)$ или $g(z)$, имеют по меньшей мере одну общую точку. Вообще: всякие два наименьших «выпуклых» относительно одной и той же точки круговых полигона, содержащих соответственно все нули $f(z)$ или $g(z)$, имеют по крайней мере одну общую точку.

Полином

всегда имеет нуль в круге $\left|z\right| \leqslant 2$.

Полином

всегда имеет нуль в круге $\left|z-1\right| \leqslant 1$.

Показать, что $(k+1)$-членный полином

всегда имеет нуль в круге

и, значит, в круге $\left|z\right| \leqslant k$. (Обобщение теоремы 147.)

Если полином $n$-й степени в двух точках $a$ и $b$ $(a \neq b)$ принимает одинаковые значения, то его производная имеет по меньшей мере один нуль в круге, имеющем центром середину отрезка $a b$ и радиусом $\frac{\left|a-b\right|}{2} \operatorname {ctg} \frac{\pi }{n}$. (Аналог теоремы Ролля для комплексной области.)

Пусть

— полином $n$-й степени, все нули которого лежат в круговой области $K$, далее

— полином $n$-й степени с нулями $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots , \beta_{n}$. Показать, что каждый нуль $\gamma$ составленного путем их «композиции» полинома

имеет вид

где $v$ — надлежаще выбранный индекс, а $k$ — надлежаще выбранная точка в $K$ (при этом полагаем $\infty \cdot \infty =\infty$ и $0 \cdot \infty =$ неопределенности).

Пусть нули полиномов $n$-й степени $f(z)$ и $g(z)$ лежат все в единичном круге $\left|z\right| \leqslant 1$ и притом по крайней мере у одного — в $\left|z\right|<1$. Тогда и у полинома, полученного из этих двух посредством композиции [151], все нули будут лежать внутри круга $\left|z\right|<1$.

Пусть все нули полинома $n$-й степени $f(z)$ лежат в некоторой выпуклой замкнутой области $K$, содержащей начало координат. Пусть, далее, полином той же степени $g(z)$ имеет лишь вещественные нули, лежащие в интервале $\left[-1, 0\right]$. Тогда и у полинома $n$-й степени $h(z)$, составленного посредством композиции [151] из $f(z)$ и $g(z)$, все нули будут содержаться в области $K$.

Если все нули полинома $n$-й степени

лежат в вещественном интервале $-a, a$, все же нули полинома $n$-й степени

— в интервале $-b, 0$ (или $0, b$), то нули полинома $n$-й степени

лежат все в интервале $-a b, a b$ ($a$, $b$ — положительные числа).

Пусть все нули полинома $n$-й степени

— вещественные, а все нули полинома $n$-й степени

— вещественные и одинакового знака. Тогда все нули полинома

точно так же вещественные ($z=\infty$ причисляется к вещественным нулям).

При сохранении предположений задачи 155 все нули полинома

также вещественные.