Центр тяжести системы точек относительно точки

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — произвольные конечные точки комплексной плоскости и в каждой из них сосредоточена соответственно неотрицательная масса $m_{1}, m_{2}, \ldots , m_{n}$, где $m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n}=1$. Показать, что при каждом линейном преобразовании комплексной плоскости, оставляющем бесконечно удаленную точку неподвижной, центр тяжести $\zeta$ этих масс также подвергается тому же преобразованию. Иными словами: если сосредоточить массы $m_{\nu }$ в соответствующих точках $z_{\nu }^{\prime }$, в которые перешли при преобразовании старые точки $z_{\nu }$, то центр тяжести этого нового распределения масс попадает как раз в ту точку $\zeta^{\prime }$, в которую переходит при преобразовании старый центр тяжести $\zeta$.

Пусть даны точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, z$, причем $z$ отлично от всех $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$, в то время как среди последних могут быть и совпадающие. Пусть, далее, даны массы

Требуется найти такую точку $\zeta$, чтобы при линейном преобразовании плоскости, переводящем $n+2$ точки

соответственно в точки

центр тяжести масс $m_{\nu }$, сосредоточенных в точках $z_{\nu }^{\prime }$ ($\nu =1,2, \ldots , n$), попал как раз в $\zeta^{\prime }$.

Существует бесчисленное множество линейных преобразований, переводящих $z$ в бесконечность. Однако точка $\zeta$ не зависит от выбора преобразования.

Будем брать в фиксированных точках $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ самые различные распределения масс с общей суммой 1. Показать, что центры тяжести $\zeta_{z}$ всех таких распределений, взятые относительно некоторой точки $z$, не совпадающей ни с одной из $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$, заполнят некоторую область $\mathfrak {K}_{z}$, ограниченную дугами «окружностей».

Пусть $\mathfrak {K}_{z}$ — определенный в предыдущей задаче «круговой» полигон и $w_{1}, w_{2}$ — две его точки. Рассмотрим «окружность», проходящую через $w_{1}, w_{2}$ и $z$. Показать, что та из двух дуг $w_{1}, w_{2}$, которая не проходит через $z$, содержится в $\mathfrak {K}_{z}$, иными словами, что область $\mathfrak {K}_{z}$ «выпукла» относительно $z$. (Мы будем называть $\mathfrak {K}_{z}$ наименьшей «выпуклой» относительно $z$ областью, содержащей точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$.)

Если все точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ содержатся в некоторой круговой области $K$, а точка $z$ — вне $K$, то «круговой» полигон $\mathfrak {K}_{z}$ задачи 103 целиком содержится внутри $K$.

Пусть $\zeta_{z}$ — центр тяжести точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ относительно точки $z$. Показать, что каждая «окружность», проходящая через $z$ и $\zeta_{z}$, разделяет точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ между собой, т. е. либо каждая из двух круговых областей, определяемых рассматриваемой «окружностью», содержит внутри хотя бы одну из точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$, либо все эти точки лежат на самой «окружности».

(Продолжение.) Пусть все точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ содержатся в некоторой круговой области $K$. Показать, что точки $z$ и $\zeta_{z}$ не могут одновременно лежать вне $K$. Если одна из них, например $z$, лежит вне $K$, то тогда другая, $\zeta_{z}$, будет находиться внутри $K$, за исключением того случая, когда все точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ лежат на границе $K$: в этом случае и $\zeta_{z}$ будет находиться на той же «окружности».

Рассмотрим все возможные системы чисел $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$, могущих принимать лишь $k$ различных фиксированных значений $w_{1}, w_{2}, \ldots , w_{k}$. Показать, что центры тяжести всех таких систем, взятые относительно точки $z$, не совпадающей ни с одной из точек $w_{1}, w_{2}, \ldots , w_{k}$, лежат всюду плотно в наименьшей области, «выпуклой» относительно $z$, содержащей точки $w_{1}, w_{2}, \ldots , w_{k}$.

Пусть точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ фиксированы, а переменная точка $z$ стремится к $z_{1}$. К какому предельному положению стремится центр тяжести $\zeta_{z}$ системы точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ относительно точки $z$?

Центр тяжести $\zeta_{z}$ системы конечных фиксированных точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ относительно переменной точки $z$ может быть разложен для достаточно больших $z$ по убывающим степеням $z$. Вычислить первые два члена разложения.