Производная многочлена относительно точки. Теорема Грейса

Пусть коэффициенты функции

будут

Как запишутся $n$ коэффициентов функции $\frac{A_{\zeta } f(z)}{n}$?

Показать, что операция $A_{\zeta } f(z)$, где $\zeta$ произвольно, линейна: если $f_{1}(z)$ и $f_{2}(z)$ — два полинома $n$-й степени, а $c_{1}$ и $c_{2}$ — произвольные постоянные коэффициенты, то

Пусть $f(z)=g(z) h(z)$ — разложение полинома $f(z)$ $n$-й степени на два множителя $g(z)$ и $h(z)$ соответственно степеней $k$ и $l$, $k+l=n$. Показать, что при всех значениях $\zeta$

Пусть $f(z)$ — полином $n$-й степени, $\zeta_{1}$ и $\zeta_{2}$ — произвольные постоянные. Показать, что операции $A_{\zeta_{1}} f(z)$ и $A_{\zeta_{2}} f(z)$ перестановочны; иными словами,

Показать, что $A_{\zeta } f(z) \equiv 0$ тогда и только тогда, когда все нули полинома $f(z)$ совпадают с $\zeta$.

Если $\zeta$ конечно, то в производной системе относительно точки $\zeta$ содержатся вообще точки четырех родов:

1. Конечные отличные от $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \zeta$ точки, относительно которых центром тяжести системы $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ служит как раз $\zeta$.

2. Отличные от $\zeta$ кратные конечные нули функции $f(z)$, каждый уменьшенной на единицу кратности.

3. Само $\zeta$ лишь в том случае, когда оно является нулем $f(z)$, и тогда с той же кратностью.

4. Точка $\infty$, либо если она является по меньшей мере двукратным нулем $f(z)$, либо если она совсем не является нулем $f(z)$, но зато $\zeta$ является обыкновенным, т. е. взятым относительно точки $\infty$, центром тяжести $f(z)$.

Всякая круговая область, граница которой проходит через точку $\zeta$ и одну из точек производной системы, содержит и точки первоначальной системы.

Всякая круговая область, содержащая точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ и не содержащая точки $\zeta$, содержит также все точки производной системы системы точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ относительно $\zeta$.

Производная система системы точек $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ относительно точки $\zeta$ заключается в наименьшем выпуклом относительно $\zeta$ круговом полигоне, содержащем $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$. (Обобщение теоремы III 31.)

Если $f(z)$ $n$-й степени, то $\left(A_{\zeta }\right)^{n-1} f(z)$ будет первой степени. Вычислить единственный нуль функции $\left(A_{\zeta }\right)^{n-1} f(z)$.

Пусть

— произвольный полином $n$-й степени и $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$ — произвольные точки комплексной плоскости. Показать, что выражение

представляет собой симметрическую функцию переменных $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$, линейную относительно каждой из переменных; именно: $A\left(\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}\right) f(z)=a_{0} \Sigma_{0}+a_{1} \Sigma_{1}+a_{2} \Sigma_{2}+\ldots +a_{n-1} \Sigma_{n-1}+a_{n} \Sigma_{n}$, где $\Sigma_{0}, \Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \ldots , \Sigma_{n-1}, \Sigma_{n}$ — элементарные симметрические функции от $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$:

Если из чисел $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$, скажем, $k$ последних (и только они) лежат в бесконечности, то нужно положить

Пусть

— произвольный полином $n$-й степени с нулями $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ и

— произвольный полином $n$-й степени с нулями $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$. Вычислить $A\left(\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}\right) f(z)$ и $A\left(z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}\right) g(z)$.

Истолковать геометрически аполярность $z_{1}$ и $\zeta_{1}$, а также $z_{1}, z_{2}$ и $\zeta_{1}, \zeta_{2}$.

Найти системы $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{n}$, аполярные к системе корней двучленного уравнения $z^{n}-1=0$.

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — произвольная система точек. Существует $n$ систем совпадающих точек $\zeta , \zeta , \ldots , \zeta$, аполярных к заданной системе. Определить их.

Полином $n$-й степени

аполярен к любой системе чисел, сумма которых равна $n$, а произведение — нулю.

Пусть $f(z)$ — любой полином $n$-й степени, все нули которого лежат в круговой области $K$. Пусть, далее, $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots , \zeta_{k}$ $(k<n)$ — любые точки, лежащие вне $K$. Показать, что все нули полинома $(n-k)$-й степени $A_{\zeta_{1}} A_{\zeta_{2}} \ldots A_{\zeta_{k}} f(z)$ также лежат в $K$.

Пусть полиномы $n$-й степени $f(z)$ и $g(z)$ взаимно аполярны. Показать, что каждая круговая область, содержащая все нули одного полинома, содержит по крайней мере один нуль другого.

Пусть полиномы $n$-й степени $f(z)$ и $g(z)$ взаимно аполярны. Показать, что наименьшие выпуклые полигоны, содержащие соответственно все нули $f(z)$ или $g(z)$, имеют по меньшей мере одну общую точку. Вообще: всякие два наименьших «выпуклых» относительно одной и той же точки круговых полигона, содержащих соответственно все нули $f(z)$ или $g(z)$, имеют по крайней мере одну общую точку.

Полином

всегда имеет нуль в круге $\left|z\right| \leqslant 2$.

Полином

всегда имеет нуль в круге $\left|z-1\right| \leqslant 1$.

Показать, что $(k+1)$-членный полином

всегда имеет нуль в круге

и, значит, в круге $\left|z\right| \leqslant k$. (Обобщение теоремы 147.)

Если полином $n$-й степени в двух точках $a$ и $b$ $(a \neq b)$ принимает одинаковые значения, то его производная имеет по меньшей мере один нуль в круге, имеющем центром середину отрезка $a b$ и радиусом $\frac{\left|a-b\right|}{2} \operatorname {ctg} \frac{\pi }{n}$. (Аналог теоремы Ролля для комплексной области.)

Пусть

— полином $n$-й степени, все нули которого лежат в круговой области $K$, далее

— полином $n$-й степени с нулями $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots , \beta_{n}$. Показать, что каждый нуль $\gamma$ составленного путем их «композиции» полинома

имеет вид

где $v$ — надлежаще выбранный индекс, а $k$ — надлежаще выбранная точка в $K$ (при этом полагаем $\infty \cdot \infty =\infty$ и $0 \cdot \infty =$ неопределенности).

Пусть нули полиномов $n$-й степени $f(z)$ и $g(z)$ лежат все в единичном круге $\left|z\right| \leqslant 1$ и притом по крайней мере у одного — в $\left|z\right|<1$. Тогда и у полинома, полученного из этих двух посредством композиции [151], все нули будут лежать внутри круга $\left|z\right|<1$.

Пусть все нули полинома $n$-й степени $f(z)$ лежат в некоторой выпуклой замкнутой области $K$, содержащей начало координат. Пусть, далее, полином той же степени $g(z)$ имеет лишь вещественные нули, лежащие в интервале $\left[-1, 0\right]$. Тогда и у полинома $n$-й степени $h(z)$, составленного посредством композиции [151] из $f(z)$ и $g(z)$, все нули будут содержаться в области $K$.

Если все нули полинома $n$-й степени

лежат в вещественном интервале $-a, a$, все же нули полинома $n$-й степени

— в интервале $-b, 0$ (или $0, b$), то нули полинома $n$-й степени

лежат все в интервале $-a b, a b$ ($a$, $b$ — положительные числа).

Пусть все нули полинома $n$-й степени

— вещественные, а все нули полинома $n$-й степени

— вещественные и одинакового знака. Тогда все нули полинома

точно так же вещественные ($z=\infty$ причисляется к вещественным нулям).

При сохранении предположений задачи 155 все нули полинома

также вещественные.