Некоторые свойства действительных функций

Положим

Интегрируема ли функция

Пусть функция $f(x)$ (см. также 169, VIII 240) определена следующим образом:

Показать, что она непрерывна в каждой иррациональной точке, разрывна в каждой рациональной и в каждом интервале собственно интегрируема.

Пусть $f(x), \varphi (x)$ собственно интегрируемы в интервале $a \leqslant x \leqslant b$; далее,

Показать, что при стремлении максимальной длины интервала разбиения $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n-1}, x_{n}$ к нулю

Пусть $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $a \leqslant x \leqslant b$, $\varphi (x)$ собственно интегрируема в интервале $[a, b+d]$ и пусть $d>0$. Тогда

Пусть функция $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $a \leqslant x \leqslant b$. Для любого $\varepsilon >0$ можно указать две такие кусочно-постоянные¹ функции $\psi (x), \Psi (x)$, что

во всем интервале $[a, b]$ и

В частности, можно добиться того, чтобы точки разрыва функций $\psi (x)$ и $\Psi (x)$ были равноотстоящими.

(Продолжение.) Если $f(x)$ имеет ограниченное изменение, то можно $\psi (x)$ и $\Psi (x)$ определить так, чтобы их полные изменения не превосходили полного изменения функции $f(x)$.

Положим

Тогда для любой функции $f(x)$, собственно интегрируемой в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$, имеет место предельное соотношение

($n$ — целое).

Если $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $[a, b]$, то

(Продолжение.) Показать, что

Функция $\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right) x^{\alpha }$, где $\alpha \geqslant 0$, собственно интегрируема в интервале $(0,1]$.

Если $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $[a, b]$, то точки непрерывности функции $f(x)$ в интервале $[a, b]$ образуют всюду плотное множество.

Если $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $[a, b]$, то равенство

имеет место тогда и только тогда, когда $f(\xi )=0$ во всех точках $\xi$ непрерывности функции $f(x)$, лежащих внутри данного интервала.

Пусть функция $y=f(x)$ собственно интегрируема в интервале $a \leqslant x \leqslant b$, причем там $m \leqslant f(x) \leqslant M$; пусть, далее, $\varphi (y)$ непрерывна для $m \leqslant y \leqslant M$. Тогда $\varphi [f(x)]$ также собственно интегрируема в интервале $a \leqslant x \leqslant b$.

Если $f(x)$ и $\varphi (y)$ собственно интегрируемы, то $\varphi [f(x)]$, вообще говоря, уже не является собственно интегрируемой [98, 99].

Если $f(x)$ монотонна в интервале $0<x \leqslant 1$ и $\int_{0}^{1} x^{a} f(x) d x$ существует, то

Если $f(x)$ монотонна в интервале $1 \leqslant x<\infty$ и $\int_{1}^{\infty } x^{a} f(x) d x$ существует, то

Для каких действительных $\alpha , \beta$ интеграл

сходится и для каких расходится?

Построить функцию $f(x)$, принимающую положительные значения, ограниченную и интегрируемую в любом конечном подынтервале промежутка $[0, \infty )$ и такую, что интеграл

сходится при $\alpha = 1$, но расходится при любом вещественном значении $\alpha$, отличном от $1$.

Построить функцию $f(x)$, принимающую положительные значения, ограниченную и интегрируемую в любом конечном подынтервале промежутка $[0, \infty )$ и такую, что интеграл

сходится при $\alpha = 1$, но расходится при любом вещественном значении $\alpha$, отличном от $1$.

Пусть

— функции, собственно интегрируемые в любом конечном интервале и удовлетворяющие следующим условиям:

Тогда

Доказать 58 с помощью VI 31.

Если ряд Дирихле [VIII, гл. 1, § 5]

сходится для $s=\sigma$, $\sigma >0$, то, полагая

будем иметь при $s>\sigma$:

Если $f(x)$ собственно интегрируема в любом конечном интервале и $\int_{-\infty }^{+\infty }\left|f(x)\right| d x$ существует, то

Существуют такие рациональные функции $R(x)$, что для произвольной функции $f(x)$ вещественного переменного $x$

при условии, что интеграл в правой части существует. Показать, что этим свойством обладают те и только те рациональные функции, которые имеют вид

где $\varepsilon = +1$ или $-1$, числа $\alpha , \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ вещественны, а $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}$ положительны; $n \geq 0$. (Случай $n=0$ следует понимать в том смысле, что $R(x) = \varepsilon (x-\alpha )$.)

Существуют такие рациональные функции $R(x)$, что для произвольной функции $f(x)$ вещественного переменного $x$

при условии, что интеграл в правой части существует. Показать, что этим свойством обладают те и только те рациональные функции, которые имеют вид

где $\varepsilon = +1$ или $-1$, числа $\alpha , \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ вещественны, а $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}$ положительны; $n \geq 0$. (Случай $n=0$ следует понимать в том смысле, что $R(x) = \varepsilon (x-\alpha )$.)

Существуют ли вообще функции от трех переменных? Точнее говоря: можно ли или нельзя всякую действительную функцию $f(x, y, z)$ трех переменных выразить через две функции $\varphi (x, y)$ и $\psi (u, z)$ двух переменных следующим образом:

Ответить на этот вопрос в предположениях:

1. что функции $f(x, y, z), \varphi (x, y), \psi (u, z)$ определены для всех действительных значений аргументов и

2. что эти функции для всех действительных значений аргументов непрерывны.

Пусть $f(x)$ имеет непрерывную производную в интервале $a<x<b$. Можно ли для каждой лежащей в этом интервале точки $\xi$ указать две другие точки $x_{1}, x_{2}$ из этого интервала, такие, что

Пусть $f(x)$ дифференцируема в интервале $a \leqslant x \leqslant b$, причем $f(a)=f(b)=0$. Тогда в $[a, b]$ существует по крайней мере одна точка $\xi$, в которой выполняется неравенство

Если функция $f(x)$ дважды дифференцируема, то существует точка $\xi$, $x_{0}-r<\xi <x_{0}+r$, в которой имеет место равенство

Когда среднее значение функции в интервале есть простое среднее тех двух значений, которые функция принимает на концах интервала?

Предположим, что $f(x)$ определена, ограничена и интегрируема в интервале $\left[a,b\right]$. Введем обозначения

и определим наиболее общую функцию $f(x)$, удовлетворяющую условию

при всех $u$ и $v$, подчиненных условию

Когда среднее значение функции в интервале есть простое среднее тех двух значений, которые функция принимает на концах интервала?

Предположим, что $f(x)$ определена, ограничена и интегрируема в интервале $\left[a,b\right]$. Введем обозначения

и определим наиболее общую функцию $f(x)$, удовлетворяющую условию

при всех $u$ и $v$, подчиненных условию

(Продолжение.) Аналогичный вопрос для

предполагается, что $f(x) > 0$ при $a \leq x \leq b$.

(Продолжение.) Аналогичный вопрос для

предполагается, что $f(x) > 0$ при $a \leq x \leq b$.

(Продолжение.) Аналогичный вопрос для

предполагается, что $f(x) > 0$ при $a \leq x \leq b$.

(Продолжение.) Аналогичный вопрос для

предполагается, что $f(x) > 0$ при $a \leq x \leq b$.

Если $p_{0}, p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}, \ldots$ — неотрицательные числа, из которых по меньшей мере два положительны, то логарифм ряда

будет выпуклой снизу функцией от $x$ в любом интервале сходимости ряда.

Ограниченная выпуклая функция (стр. 75) всюду непрерывна и имеет производные слева и справа.

Пусть действительная функция $f(x)$ имеет в некотором конечном или бесконечном интервале непрерывную производную $f^{\prime }(x)$. Рассмотрим точки пересечения всех горизонтальных касательных кривой $y=f(x)$ с осью ординат, т. е. множество $M$ всех тех значений $y=f(x)$, для которых $f^{\prime }(x)=0$. Доказать, что точки множества $M$ не могут заполнять никакого интервала. (Эта теорема допускает значительное усиление.)

Если монотонная последовательность непрерывных функций сходится в некотором замкнутом интервале к непрерывной же функции, то сходимость будет равномерной.

Доказать следующую теорему, напоминающую 126. Если последовательность монотонных (непрерывных или разрывных) функций сходится в замкнутом интервале к некоторой непрерывной функции, то сходимость будет равномерной.

Пусть непрерывные в интервале $[a, b]$ функции

удовлетворяют условиям

Тогда все члены последовательности

содержатся между наименьшим и наибольшим значениями непрерывной функции $f(t)$. (См. I 65, I 79, I 83.)

Пусть $x$ — некоторая фиксированная точка интервала $[a, b]$ предыдущей задачи. Для того чтобы для каждой непрерывной в $[a, b]$ функции $f(t)$ выполнялось предельное соотношение

необходимо и достаточно, чтобы имело место предельное соотношение

для всех положительных $\varepsilon$, удовлетворяющих условию $a<x-\varepsilon <x+\varepsilon <b$; в случае $x=a$ или $x=b$ первый или соответственно второй интеграл под знаком $\lim$ отпадает. (См. I 66, I 80, I 84.)

Показать, что

в предположении, что интеграл в левой части и предел в правой существуют.

Если интеграл

сходится при $\lambda =\alpha$ и $\lambda =\beta$, $\alpha <\beta$, то он сходится во всем интервале $\alpha \leqslant \lambda \leqslant \beta$ и представляет в этом интервале непрерывную функцию от $\lambda$.

Пусть функции

двух переменных $x$ и $t$ непрерывны при $a \leqslant x \leqslant b$, $a \leqslant t \leqslant b$, причем для каждого $n$

Показать, что функции

где $f(t)$ — некоторая непрерывная функция, заключены между наименьшим и наибольшим значениями $f(t)$ для всех $x$.

Далее, показать, что

при $a<x<b$, если для каждого фиксированного положительного $\varepsilon$ выполняется предельное соотношение

равномерно для $a+\varepsilon \leqslant x \leqslant b-\varepsilon$. Сходимость равномерна в любом замкнутом интервале, содержащемся в $a<x<b$.

Пусть $f(x)$ непрерывна в интервале $[0,1]$. Показать, что

и притом равномерно в любом фиксированном интервале $\varepsilon \leqslant x \leqslant 1-\varepsilon$, где $0<\varepsilon <\frac{1}{2}$.

Если $f(t)$ — непрерывная периодическая функция с периодом $2 \pi$, то

и притом равномерно для всех $x$.

Каждая функция, непрерывная в интервале $a \leqslant x \leqslant b$, может быть равномерно приближена в этом интервале полиномами с любой степенью точности (теорема Вейерштрасса).

Каждая непрерывная периодическая функция с периодом $2 \pi$ может быть равномерно приближена тригонометрическими полиномами [VI, § 2] с любой степенью точности (теорема Вейерштрасса).

Пусть $f(x)$ — любая функция, собственно интегрируемая в $[a, b]$ (соответственно в $[0,2 \pi ]$). Каково бы ни было число $\varepsilon$, можно указать два полинома (тригонометрических полинома) $p(x)$ и $P(x)$, удовлетворяющих одновременно неравенствам

во всем интервале $a \leqslant x \leqslant b$ $(0 \leqslant x<2 \pi )$, а также неравенству

Если у функции $f(x)$, непрерывной в конечном интервале $a \leqslant x \leqslant b$, все «моменты» равны нулю:

то $f(x) \equiv 0$.

Если у функции $f(x)$, собственно интегрируемой в конечном интервале $a \leqslant x \leqslant b$, все «моменты» равны нулю:

то $f(\xi )=0$ во всех точках непрерывности $\xi$.

Если $n$ первых «моментов» функции $f(x)$, непрерывной в некотором конечном или бесконечном интервале $a<x<b$, равны нулю:

то эта функция меняет знак в интервале $a<x<b$ по меньшей мере $n$ раз (V, гл. 1, § 2), если только она не равна тождественно нулю.

Если равны нулю $2 n+1$ первых «тригонометрических моментов» (коэффициентов Фурье, см. VI, § 4) непрерывной периодической функции $f(x)$ с периодом $2 \pi$:

то $f(x)$ в любом интервале длины, превосходящей $2 \pi$, меняет знак по меньшей мере $2 n+2$ раза (V, гл. 1, § 2), если только она не равна тождественно нулю.

Пусть $\varphi (x)$ непрерывна для всех $x \geqslant 0$. Если интеграл

сходится для $k=k_{0}$ и обращается в нуль для значений $k$, образующих возрастающую арифметическую прогрессию:

то $\varphi (x) \equiv 0$.

Доказать, исходя из представления гамма-функции

что она не имеет нулей.

Вычислить полиномы $K_{n}(x)$, $n=0,1,2, \ldots$, для

Пусть $x$ — произвольная точка интервала $0 \leqslant x \leqslant 1$ и

где $\Sigma^{\mathrm{I}}$ распространяется на индексы, удовлетворяющие неравенству $\left|v-n x\right| \leqslant n^{\frac{3}{4}}$, а $\Sigma^{\mathrm{II}}$ — на индексы, удовлетворяющие неравенству $\left|v-n x\right|>n^{\frac{3}{4}}$ $(n \geqslant 1)$. Тогда

Полиномы $K_{n}(x)$, образованные для непрерывной в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$ функции $f(x)$, равномерно сходятся к ней в этом интервале. (Новое доказательство теоремы Вейерштрасса, 135.)