4

Особые интегралы. Теорема Вейерштрасса о приближении

[19/89%]
Показать
LaTeX
Задача 2.128

Пусть непрерывные в интервале [a,b][a, b] функции

p1(t),p2(t),…,pn(t),… p_{1}(t), \quad p_{2}(t), \ldots , p_{n}(t), \ldots

удовлетворяют условиям

pn(t)⩾0,∫abpn(t)dt=1(n=1,2,3,…). p_{n}(t) \geqslant 0, \quad \int _{a}^{b} p_{n}(t) d t=1 \quad (n=1,2,3, \ldots ) .

Тогда все члены последовательности

∫abp1(t)f(t)dt,∫abp2(t)f(t)dt,…,∫abpn(t)f(t)dt,… \int _{a}^{b} p_{1}(t) f(t) d t, \quad \int _{a}^{b} p_{2}(t) f(t) d t, \ldots , \quad \int _{a}^{b} p_{n}(t) f(t) d t, \ldots

содержатся между наименьшим и наибольшим значениями непрерывной функции f(t)f(t). (См. I 65, I 79, I 83.)

?
Задача 2.129

Пусть xx — некоторая фиксированная точка интервала [a,b][a, b] предыдущей задачи. Для того чтобы для каждой непрерывной в [a,b][a, b] функции f(t)f(t) выполнялось предельное соотношение

lim⁡n→∞∫abpn(t)f(t)dt=f(x), \lim _{n \rightarrow \infty } \int _{a}^{b} p_{n}(t) f(t) d t=f(x),

необходимо и достаточно, чтобы имело место предельное соотношение

lim⁡n→∞(∫ax−εpn(t)dt+∫x+εbpn(t)dt)=0 \lim _{n \rightarrow \infty }\left(\int _{a}^{x-\varepsilon } p_{n}(t) d t+\int _{x+\varepsilon }^{b} p_{n}(t) d t\right)=0

для всех положительных ε\varepsilon, удовлетворяющих условию a<x−ε<x+ε<ba<x-\varepsilon <x+\varepsilon <b; в случае x=ax=a или x=bx=b первый или соответственно второй интеграл под знаком lim⁡\lim отпадает. (См. I 66, I 80, I 84.)

?
Задача 2.130

Показать, что

lim⁡ε→+0ε∫0∞e−εtf(t)dt=lim⁡t→∞f(t), \lim _{\varepsilon \rightarrow +0} \varepsilon \int _{0}^{\infty } e^{-\varepsilon t} f(t) d t=\lim _{t \rightarrow \infty } f(t),

в предположении, что интеграл в левой части и предел в правой существуют.

?
Задача 2.131

Если интеграл

∫0∞tλf(t)dt \int _{0}^{\infty } t^{\lambda } f(t) d t

сходится при λ=α\lambda =\alpha и λ=β\lambda =\beta, α<β\alpha <\beta, то он сходится во всем интервале α⩽λ⩽β\alpha \leqslant \lambda \leqslant \beta и представляет в этом интервале непрерывную функцию от λ\lambda.

?
Задача 2.132

Пусть функции

p1(x,t),p2(x,t),…,pn(x,t),… p_{1}(x, t), p_{2}(x, t), \ldots , p_{n}(x, t), \ldots

двух переменных xx и tt непрерывны при a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant b, a⩽t⩽ba \leqslant t \leqslant b, причем для каждого nn

pn(x,t)⩾0,∫abpn(x,t)dt=1. p_{n}(x, t) \geqslant 0, \quad \int _{a}^{b} p_{n}(x, t) d t=1 .

Показать, что функции

fn(x)=∫abpn(x,t)f(t)dt(n=1,2,3,…), f_{n}(x)=\int _{a}^{b} p_{n}(x, t) f(t) d t \quad (n=1,2,3, \ldots ),

где f(t)f(t) — некоторая непрерывная функция, заключены между наименьшим и наибольшим значениями f(t)f(t) для всех xx.

Далее, показать, что

lim⁡n→∞fn(x)=f(x) \lim _{n \rightarrow \infty } f_{n}(x)=f(x)

при a<x<ba<x<b, если для каждого фиксированного положительного ε\varepsilon выполняется предельное соотношение

lim⁡n→∞(∫ax−εpn(x,t)dt+∫x+εbpn(x,t)dt)=0 \lim _{n \rightarrow \infty }\left(\int _{a}^{x-\varepsilon } p_{n}(x, t) d t+\int _{x+\varepsilon }^{b} p_{n}(x, t) d t\right)=0

равномерно для a+ε⩽x⩽b−εa+\varepsilon \leqslant x \leqslant b-\varepsilon. Сходимость равномерна в любом замкнутом интервале, содержащемся в a<x<ba<x<b.

?
Задача 2.133

Пусть f(x)f(x) непрерывна в интервале [0,1][0,1]. Показать, что

lim⁡n→∞12⋅32⋅54…2n+12n∫01f(t)[1−(x−t)2]ndt=f(x) \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \ldots \frac{2 n+1}{2 n} \int _{0}^{1} f(t)\left[1-(x-t)^{2}\right]^{n} d t=f(x)

и притом равномерно в любом фиксированном интервале ε⩽x⩽1−ε\varepsilon \leqslant x \leqslant 1-\varepsilon, где 0<ε<120<\varepsilon <\frac{1}{2}.

?
Задача 2.134

Если f(t)f(t) — непрерывная периодическая функция с периодом 2π2 \pi, то

lim⁡n→∞12nπ∫02πf(t)(sin⁡nx−t2sin⁡x−t2)2dt=f(x) \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2 n \pi } \int _{0}^{2 \pi } f(t)\left(\frac{\sin n \frac{x-t}{2}}{\sin \frac{x-t}{2}}\right)^{2} d t=f(x)

и притом равномерно для всех xx.

?
Задача 2.135

Каждая функция, непрерывная в интервале a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant b, может быть равномерно приближена в этом интервале полиномами с любой степенью точности (теорема Вейерштрасса).

?
Задача 2.136

Каждая непрерывная периодическая функция с периодом 2π2 \pi может быть равномерно приближена тригонометрическими полиномами [VI, § 2] с любой степенью точности (теорема Вейерштрасса).

?
Задача 2.137

Пусть f(x)f(x) — любая функция, собственно интегрируемая в [a,b][a, b] (соответственно в [0,2π][0,2 \pi ]). Каково бы ни было число ε\varepsilon, можно указать два полинома (тригонометрических полинома) p(x)p(x) и P(x)P(x), удовлетворяющих одновременно неравенствам

p(x)⩽f(x)⩽P(x) p(x) \leqslant f(x) \leqslant P(x)

во всем интервале a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant b (0⩽x<2π)(0 \leqslant x<2 \pi ), а также неравенству

∫abP(x)dx−∫abp(x)dx<ε(∫02πP(x)dx−∫02πp(x)dx<ε). \int _{a}^{b} P(x) d x-\int _{a}^{b} p(x) d x<\varepsilon \quad \left(\int _{0}^{2 \pi } P(x) d x-\int _{0}^{2 \pi } p(x) d x<\varepsilon \right) .
?
Задача 2.138

Если у функции f(x)f(x), непрерывной в конечном интервале a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant b, все «моменты» равны нулю:

∫abf(x)xndx=0(n=0,1,2,…), \int _{a}^{b} f(x) x^{n} d x=0 \quad (n=0,1,2, \ldots ),

то f(x)≡0f(x) \equiv 0.

?
Задача 2.139

Если у функции f(x)f(x), собственно интегрируемой в конечном интервале a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant b, все «моменты» равны нулю:

∫abf(x)xndx=0(n=0,1,2,…), \int _{a}^{b} f(x) x^{n} d x=0 \quad (n=0,1,2, \ldots ),

то f(ξ)=0f(\xi )=0 во всех точках непрерывности ξ\xi.

?
Задача 2.140

Если nn первых «моментов» функции f(x)f(x), непрерывной в некотором конечном или бесконечном интервале a<x<ba<x<b, равны нулю:

∫abf(x)dx=∫abf(x)xdx=∫abf(x)x2dx=…=∫abf(x)xn−1dx=0, \int _{a}^{b} f(x) d x=\int _{a}^{b} f(x) x d x=\int _{a}^{b} f(x) x^{2} d x=\ldots =\int _{a}^{b} f(x) x^{n-1} d x=0,

то эта функция меняет знак в интервале a<x<ba<x<b по меньшей мере nn раз (V, гл. 1, § 2), если только она не равна тождественно нулю.

?
Задача 2.141

Если равны нулю 2n+12 n+1 первых «тригонометрических моментов» (коэффициентов Фурье, см. VI, § 4) непрерывной периодической функции f(x)f(x) с периодом 2π2 \pi:

∫02πf(x)dx=∫02πf(x)cos⁡xdx=∫02πf(x)sin⁡xdx=……=∫02πf(x)cos⁡nxdx=∫02πf(x)sin⁡nxdx=0, \begin{aligned} \int _{0}^{2 \pi } f(x) d x=\int _{0}^{2 \pi } f(x) \cos x d x & =\int _{0}^{2 \pi } f(x) \sin x d x=\ldots \\ \ldots & =\int _{0}^{2 \pi } f(x) \cos n x d x=\int _{0}^{2 \pi } f(x) \sin n x d x=0, \end{aligned}

то f(x)f(x) в любом интервале длины, превосходящей 2π2 \pi, меняет знак по меньшей мере 2n+22 n+2 раза (V, гл. 1, § 2), если только она не равна тождественно нулю.

?
Задача 2.142

Пусть φ(x)\varphi (x) непрерывна для всех x⩾0x \geqslant 0. Если интеграл

J(k)=∫0∞e−kxφ(x)dx J(k)=\int _{0}^{\infty } e^{-k x} \varphi (x) d x

сходится для k=k0k=k_{0} и обращается в нуль для значений kk, образующих возрастающую арифметическую прогрессию:

J(k0)=J(k0+α)=J(k0+2α)=…=J(k0+nα)=…=0(α>0), J\left(k_{0}\right)=J\left(k_{0}+\alpha \right)=J\left(k_{0}+2 \alpha \right)=\ldots =J\left(k_{0}+n \alpha \right)=\ldots =0 \quad (\alpha >0),

то φ(x)≡0\varphi (x) \equiv 0.

?
Задача 2.143

Доказать, исходя из представления гамма-функции

Γ(s)=lim⁡n→∞nsn!s(s+1)…(s+n), \Gamma (s)=\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{n^{s} n!}{s(s+1) \ldots (s+n)},

что она не имеет нулей.

?
Задача 2.144

Вычислить полиномы Kn(x)K_{n}(x), n=0,1,2,…n=0,1,2, \ldots, для

f(x)=1,f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=ex. f(x)=1, \quad f(x)=x, \quad f(x)=x^{2}, \quad f(x)=e^{x} .
?
Задача 2.145

Пусть xx — произвольная точка интервала 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 и

1=∑v=0n(nv)xv(1−x)n−v=ΣI+ΣII, 1=\sum _{v=0}^{n}\binom {n}{v} x^{v}(1-x)^{n-v}=\Sigma ^{\mathrm{I}}+\Sigma ^{\mathrm{II}},

где ΣI\Sigma^{\mathrm{I}} распространяется на индексы, удовлетворяющие неравенству ∣v−nx∣⩽n34\left|v-n x\right| \leqslant n^{\frac{3}{4}}, а ΣII\Sigma^{\mathrm{II}} — на индексы, удовлетворяющие неравенству ∣v−nx∣>n34\left|v-n x\right|>n^{\frac{3}{4}} (n⩾1)(n \geqslant 1). Тогда

ΣII<14n−12. \Sigma ^{\mathrm{II}}<\frac{1}{4} n^{-\frac{1}{2}} .
?
Задача 2.146

Полиномы Kn(x)K_{n}(x), образованные для непрерывной в интервале 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 функции f(x)f(x), равномерно сходятся к ней в этом интервале. (Новое доказательство теоремы Вейерштрасса, 135.)

?