Банк задач по математике

Задача 2.98

Положим

\begin{aligned} g(x)=\sin ^{2} \pi x+\sin ^{2} \pi x \cos ^{2} \pi x+\sin ^{2} \pi x \cos ^{4} \pi x & +\ldots \\ & \ldots +\sin ^{2} \pi x \cos ^{2 k} \pi x+\ldots \end{aligned}

Интегрируема ли функция

G(x)=\lim _{n \rightarrow \infty } g(n! x)?

?

Задача 2.99

Пусть функция $f(x)$ (см. также 169, VIII 240) определена следующим образом:

f(x)= \begin{cases} 0 & \text{ для иррациональных } x, \\ \frac{1}{q} & \text{ для рациональных } x=\frac{p}{q},(p, q)=1, q \geqslant 1 . \end{cases}

Показать, что она непрерывна в каждой иррациональной точке, разрывна в каждой рациональной и в каждом интервале собственно интегрируема.

?

Задача 2.100

Пусть $f(x), \varphi (x)$ собственно интегрируемы в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ ; далее,

\begin{aligned} a & =x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b, \\ x_{v-1}<y_{v}<x_{v}, & \quad x_{v-1}<\eta _{v}<x_{v} \quad (v=1,2, \ldots , n) . \end{aligned}

Показать, что при стремлении максимальной длины интервала разбиения $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n-1}, x_{n}$ к нулю

\lim \sum _{v=1}^{n} f\left(y_{v}\right) \varphi \left(\eta _{v}\right)\left(x_{v}-x_{v-1}\right)=\int _{a}^{b} f(x) \varphi (x) d x .

?

Задача 2.101

Пусть $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ , $\varphi (x)$ собственно интегрируема в интервале $[a, b+d]$ и пусть $d>0$ . Тогда

\lim _{\delta \rightarrow +0} \int _{a}^{b} f(x) \varphi (x+\delta ) d x=\int _{a}^{b} f(x) \varphi (x) d x .

?

Задача 2.102

Пусть функция $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ . Для любого $\varepsilon >0$ можно указать две такие кусочно-постоянные¹ функции $\psi (x), \Psi (x)$ , что

\psi (x) \leqslant f(x) \leqslant \Psi (x)

во всем интервале $[a, b]$ и

\int _{a}^{b} \Psi (x) d x-\int _{a}^{b} \psi (x) d x<\varepsilon .

В частности, можно добиться того, чтобы точки разрыва функций $\psi (x)$ и $\Psi (x)$ были равноотстоящими.

*) То есть в каждом конечном интервале имеющие не более чем конечное число точек разрыва, а в промежутках между последними — постоянные. ↩

?

Задача 2.103

(Продолжение.) Если $f(x)$ имеет ограниченное изменение, то можно $\psi (x)$ и $\Psi (x)$ определить так, чтобы их полные изменения не превосходили полного изменения функции $f(x)$ .

?

Задача 2.104

Положим

4[x]-2[2 x]+1=s(x) .

Тогда для любой функции $f(x)$ , собственно интегрируемой в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$ , имеет место предельное соотношение

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{1} f(x) s(n x) d x=0

( $n$ — целое).

?

Задача 2.105

Если $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $[a, b]$ , то

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{a}^{b} f(x) \sin n x d x=0 .

?

Задача 2.106

(Продолжение.) Показать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{a}^{b} f(x)\left|\sin n x\right| d x=\frac{2}{\pi } \int _{a}^{b} f(x) d x .

?

Задача 2.107

Функция $\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right) x^{\alpha }$ , где $\alpha \geqslant 0$ , собственно интегрируема в интервале $(0,1]$ .

?

Задача 2.108

Если $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $[a, b]$ , то точки непрерывности функции $f(x)$ в интервале $[a, b]$ образуют всюду плотное множество.

?

Задача 2.109

Если $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $[a, b]$ , то равенство

\int _{a}^{b}[f(x)]^{2} d x=0

имеет место тогда и только тогда, когда $f(\xi )=0$ во всех точках $\xi$ непрерывности функции $f(x)$ , лежащих внутри данного интервала.

?

Задача 2.110

Пусть функция $y=f(x)$ собственно интегрируема в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ , причем там $m \leqslant f(x) \leqslant M$ ; пусть, далее, $\varphi (y)$ непрерывна для $m \leqslant y \leqslant M$ . Тогда $\varphi [f(x)]$ также собственно интегрируема в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ .

?

Задача 2.111

Если $f(x)$ и $\varphi (y)$ собственно интегрируемы, то $\varphi [f(x)]$ , вообще говоря, уже не является собственно интегрируемой [98, 99].

?

Собственные интегралы

Footnotes