Глава 1.2

Линейные преобразования рядов. Теорема Чезаро

[34/100%]
Показать
LaTeX
§
1 · Треугольные преобразования последовательностей в последовательности[15/100%]
Задача 1.65

Пусть в треугольной схеме

p00,p10,p11,p20,p21,p22,………… \begin{aligned} & p_{00}, \\ & p_{10}, p_{11}, \\ & p_{20}, p_{21}, p_{22}, \\ & \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}

все числа неотрицательны и сумма элементов любой строки равна единице (pnv⩾0,pn0+pn1+…+pnn=1;v=0,1,…,n;n=0,1,2,…)\left(p_{n v} \geqslant 0, p_{n 0}+p_{n 1}+\ldots +p_{n n}=1 ; v=0,1, \ldots , n ; n=0,1,2, \ldots \right). Образуем из заданной последовательности s0,s1,s2,…,sn,…s_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}, \ldots новую последовательность t0,t1,t2,…,tn,…t_{0}, t_{1}, t_{2}, \ldots , t_{n}, \ldots по следующему правилу:

tn=pn0s0+pn1s1+pn2s2+…+pnnsn. t_{n}=p_{n 0} s_{0}+p_{n 1} s_{1}+p_{n 2} s_{2}+\ldots +p_{n n} s_{n} .

Тогда tnt_{n} будет заключено между наименьшим и наибольшим из чисел s0,s1,s2,…,sns_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}.

?
Задача 1.66

(Продолжение.) Показать, что для того, чтобы из существования lim⁡n→∞sn=s\lim_{n \rightarrow \infty } s_{n}=s вытекало

lim⁡n→∞(pn0s0+pn1s1+…+pnnsn)=s, \lim _{n \rightarrow \infty }\left(p_{n 0} s_{0}+p_{n 1} s_{1}+\ldots +p_{n n} s_{n}\right)=s,

необходимо и достаточно, чтобы для каждого фиксированного vv было

lim⁡n→∞pnv=0. \lim _{n \rightarrow \infty } p_{n v}=0 .

(Приведенное условие может быть выражено следующим образом: числовая схема pnvp_{n v} сохраняет сходимость1. Частный случай одной важной теоремы O. Toeplitz'a, см. III, гл. 1, § 5.)

Footnotes

  1. 1){ }^{1)} В более общих рассмотрениях, где равенство обоих пределов заранее не обусловливается, оказывается удобнее называть такие схемы «регулярно сохраняющими сходимость». ↩

?
Задача 1.67

Из существования lim⁡n→∞sn\lim_{n \rightarrow \infty } s_{n} вытекает

lim⁡n→∞s0+s1+s2+…+snn+1=lim⁡n→∞sn. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{s_{0}+s_{1}+s_{2}+\ldots +s_{n}}{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty } s_{n} .
?
Задача 1.68

Если последовательность положительных чисел p0,p1,p2,…,pn,…p_{0}, p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}, \ldots стремится к положительному пределу pp, то также

lim⁡n→∞p0p1p2…pnn+1=p \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n+1]{p_{0} p_{1} p_{2} \ldots p_{n}}=p
?
Задача 1.68.1

Числа a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \ldots положительны и

lim⁡n→∞an+1an=p. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = p .

Тогда lim⁡n→∞ann\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{a_n} также существует и имеет то же значение pp.

?
Задача 1.68.1

Числа a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \ldots положительны и

lim⁡n→∞an+1an=p. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = p .

Тогда lim⁡n→∞ann\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{a_n} также существует и имеет то же значение pp.

?
Задача 1.69

Свести вычисление lim⁡n→∞nnn!n\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{\frac{n^{n}}{n!}} к вычислению lim⁡n→∞(1+1n)n\lim_{n \rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

?
Задача 1.70

Пусть даны две бесконечные последовательности

a0,a1,a2,…,an,…,b0,b1,b2,…,bn,… \begin{array}{lll} a_{0}, & a_{1}, & a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots , \\ b_{0}, & b_{1}, & b_{2}, \ldots , b_{n}, \ldots \end{array}

Показать, что из трех условий

bn>0(n=0,1,2,…),b0+b1+b2+…+bn+… расходится, lim⁡n→∞anbn=s \begin{gathered} b_{n}>0 \quad (n=0,1,2, \ldots ), \\ b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}+\ldots \text{ расходится, } \\ \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=s \end{gathered}

вытекает, что

lim⁡n→∞a0+a1+a2+…+anb0+b1+b2+…+bn=s. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}=s .
?
Задача 1.71

Свести вычисление

lim⁡n→∞1α−1+2α−1+3α−1+…+nα−1nα(α>0) \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1^{\alpha -1}+2^{\alpha -1}+3^{\alpha -1}+\ldots +n^{\alpha -1}}{n^{\alpha }} \quad (\alpha >0)

к вычислению

lim⁡n→∞(n+1)α−nαnα−1. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{(n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }}{n^{\alpha -1}} .

(Этот последний предел известен хотя бы из дифференциального исчисления.)

?
Задача 1.72

Пусть p0,p1,p2,…,pn,…p_{0}, p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}, \ldots — последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию

lim⁡n→∞pnp0+p1+p2+…+pn=0. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{p_{n}}{p_{0}+p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}}=0 .

Показать, что из существования lim⁡n→∞sn=s\lim_{n \rightarrow \infty } s_{n}=s вытекает

lim⁡n→∞s0pn+s1pn−1+s2pn−2+…+snp0p0+p1+p2+…+pn=s. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{s_{0} p_{n}+s_{1} p_{n-1}+s_{2} p_{n-2}+\ldots +s_{n} p_{0}}{p_{0}+p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}}=s .
?
Примечание.
?

По поводу задач 72--74 см. N. E. Nörlund, Lunds Universitets Årsskrift, N. F., Avd. 2, т. 16, № 3, 1919.

Задача 1.73

Пусть две последовательности положительных чисел

p0,p1,p2,…,pn,…;q0,q1,q2,…,qn,… p_{0}, p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}, \ldots ; q_{0}, q_{1}, q_{2}, \ldots , q_{n}, \ldots

удовлетворяют условиям

lim⁡n→∞pnp0+p1+p2+…+pn=0,lim⁡n→∞qnq0+q1+q2+…+qn=0. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{p_{n}}{p_{0}+p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}}=0, \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{q_{n}}{q_{0}+q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}}=0 .

Положим

rn=p0qn+p1qn−1+p2qn−2+…+pnq0(n=0,1,2,…). r_{n}=p_{0} q_{n}+p_{1} q_{n-1}+p_{2} q_{n-2}+\ldots +p_{n} q_{0} \quad (n=0,1,2, \ldots ) .

Тогда последовательность r0,r1,r2,…,rn,…r_{0}, r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots тоже будет удовлетворять условию

lim⁡n→∞rnr0+r1+r2+…+rn=0. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{r_{n}}{r_{0}+r_{1}+r_{2}+\ldots +r_{n}}=0 .
?
Задача 1.74

Пусть

p0,p1,p2,…,pn,…;q0,q1,q2,…,qn,… p_{0}, p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}, \ldots ; q_{0}, q_{1}, q_{2}, \ldots , q_{n}, \ldots

— последовательности предыдущей задачи и

s0,s1,s2,…,sn,… s_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}, \ldots

— произвольная последовательность. Показать, что если оба предела

lim⁡n→∞s0pn+s1pn−1+s2pn−2+…+snp0p0+p1+p2+…+pn,lim⁡n→∞s0qn+s1qn−1+s2qn−2+…+snq0q0+q1+q2+…+qn \begin{gathered} \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{s_{0} p_{n}+s_{1} p_{n-1}+s_{2} p_{n-2}+\ldots +s_{n} p_{0}}{p_{0}+p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}}, \\ \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{s_{0} q_{n}+s_{1} q_{n-1}+s_{2} q_{n-2}+\ldots +s_{n} q_{0}}{q_{0}+q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}} \end{gathered}

существуют, то они равны между собой. (Эта теорема представляет особенный интерес в том случае, когда lim⁡n→∞sn\lim_{n \rightarrow \infty } s_{n} не существует. При существовании lim⁡n→∞sn\lim_{n \rightarrow \infty } s_{n} вопрос разрешается в 72.)

?
Задача 1.75

Показать, что если ряд

a11−σ+a22−σ+a33−σ+…+ann−σ+…(σ>0) a_{1} 1^{-\sigma }+a_{2} 2^{-\sigma }+a_{3} 3^{-\sigma }+\ldots +a_{n} n^{-\sigma }+\ldots \quad (\sigma >0)

сходится, то

lim⁡n→∞(a1+a2+…+an)n−σ=0. \lim _{n \rightarrow \infty }\left(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}\right) n^{-\sigma }=0 .

(Ряды указанного вида носят название рядов Дирихле. См. VIII, гл. 1, § 5.)

?
Задача 1.76

Пусть p1>0,p2>0,p3>0,…p_{1}>0, p_{2}>0, p_{3}>0, \ldots, ряд p1+p2+…+pn+…p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}+\ldots расходящийся, p1+p2+…+pn=Pnp_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}=P_{n} и lim⁡n→∞pnPn−1=0\lim_{n \rightarrow \infty } p_{n} P_{n}^{-1}=0. Тогда

lim⁡n→∞p1P1−1+p2P2−1+…+pnPn−1ln⁡Pn=1. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{p_{1} P_{1}^{-1}+p_{2} P_{2}^{-1}+\ldots +p_{n} P_{n}^{-1}}{\ln P_{n}}=1 .

(Обобщение соотношения 1+12+13+…+1n∼ln⁡n1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n} \sim \ln n.)

?
Примечание.
?

E. Cesàro, Nouv. Ann., серия 3, т. 9, стр. 353--367, 1890.

Задача 1.77

Пусть p1,p2,…,pn,…p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}, \ldots и q1,q2,…,qn,…q_{1}, q_{2}, \ldots , q_{n}, \ldots — две последовательности положительных чисел и

lim⁡n→∞p1+p2+…+pnnpn=α,lim⁡n→∞q1+q2+…+qnnqn=β,α+β>0. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}}{n p_{n}}=\alpha , \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}}{n q_{n}}=\beta , \quad \alpha +\beta >0 .

Тогда

lim⁡n→∞p1q1+2p2q2+3p3q3+…+npnqnn2pnqn=αβα+β. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{p_{1} q_{1}+2 p_{2} q_{2}+3 p_{3} q_{3}+\ldots +n p_{n} q_{n}}{n^{2} p_{n} q_{n}}=\frac{\alpha \beta }{\alpha +\beta } .
?
Примечание.
?

I. Schur.

Задача 1.78

Если выражение

(a1−an)+(a2−an)+…+(an−1−an) \left(a_{1}-a_{n}\right)+\left(a_{2}-a_{n}\right)+\ldots +\left(a_{n-1}-a_{n}\right)

остается ограниченным при n→∞n \rightarrow \infty, то ряд a1+a2+a3+…a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots отнюдь не обязан еще сходиться. Но он будет сходиться, если добавить условия

a1⩾a2⩾a3⩾…,lim⁡n→∞an=0. a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant a_{3} \geqslant \ldots , \quad \lim _{n \rightarrow \infty } a_{n}=0 .
?
§
2 · Более общие преобразования последовательностей в последовательности[4/100%]
Задача 1.79

Пусть бесконечная двойная последовательность

p00,p01,p02,…p10,p11,p12,…p20,p21,p22,…………… \begin{gathered} p_{00}, p_{01}, p_{02}, \ldots \\ p_{10}, p_{11}, p_{12}, \ldots \\ p_{20}, p_{21}, p_{22}, \ldots \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \end{gathered}

состоящая из неотрицательных чисел, обладает тем свойством, что ряд, образованный каждой строкой, сходится и его сумма равна единице (pnv⩾0,pn0+pn1+pn2+…+pnv+…=1,n,v=0,1,2,…)\left(p_{n v} \geqslant 0, p_{n 0}+p_{n 1}+p_{n 2}+\ldots +p_{n v}+\ldots =1, n, v=0,1,2, \ldots \right). Образуем из ограниченной числовой последовательности s0,s1,s2,…,sn,…s_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}, \ldots новую числовую последовательность t0,t1,t2,…,tn,…t_{0}, t_{1}, t_{2}, \ldots , t_{n}, \ldots посредством равенств

tn=pn0s0+pn1s1+pn2s2+…+pnvsv+… t_{n}=p_{n 0} s_{0}+p_{n 1} s_{1}+p_{n 2} s_{2}+\ldots +p_{n v} s_{v}+\ldots

Тогда tnt_{n} будет заключено между нижней и верхней гранями последовательности s0,s1,s2,…,sn,…s_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}, \ldots

?
Задача 1.80

(Продолжение.) Для того чтобы из lim⁡n→∞sn=s\lim_{n \rightarrow \infty } s_{n}=s вытекало

lim⁡n→∞(pn0s0+pn1s1+pn2s2+…+pnvsv+…)=s, \lim _{n \rightarrow \infty }\left(p_{n 0} s_{0}+p_{n 1} s_{1}+p_{n 2} s_{2}+\ldots +p_{n v} s_{v}+\ldots \right)=s,

необходимо и достаточно, чтобы для каждого фиксированного vv имело место предельное соотношение

lim⁡n→∞pnv=0. \lim _{n \rightarrow \infty } p_{n v}=0 .

(Двойные последовательности pnvp_{n v}, удовлетворяющие этому условию, называются сохраняющими сходимость. См. III, гл. 1, § 5.)

?
Задача 1.81

Если ряд

c1+2c2+3c3+4c4+…+ncn+… c_{1}+2 c_{2}+3 c_{3}+4 c_{4}+\ldots +n c_{n}+\ldots

сходится, то сходится также ряд

cn+2cn+1+3cn+2+4cn+3+…=tn, c_{n}+2 c_{n+1}+3 c_{n+2}+4 c_{n+3}+\ldots =t_{n},

причем

lim⁡n→∞tn=0. \lim _{n \rightarrow \infty } t_{n}=0 .
?
Задача 1.82

Пусть степенной ряд

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn+… f(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}+\ldots

сходится при x=1x=1. Показать, что степенной ряд

f(α)+f′(α)1!h+f′′(α)2!h2+…+f(n)(α)n!hn+…, f(\alpha )+\frac{f^{\prime }(\alpha )}{1!} h+\frac{f^{\prime \prime }(\alpha )}{2!} h^{2}+\ldots +\frac{f^{(n)}(\alpha )}{n!} h^{n}+\ldots ,

где 0<α<10<\alpha <1, сходится при h=1−αh=1-\alpha.

?
Примечание.
?

G. H. Hardy and J. E. Littlewood, Palermo Rend., т. 41, стр. 50--51, 1916; см. также T. Carleman, Ark. för Mat., Astron. och Fys., т. 15, № 11, 1920.

§
3 · Преобразования последовательностей в функции. Теорема Чезаро[9/100%]
Задача 1.83

Пусть функции

φ0(t),φ1(t),φ2(t),…,φn(t),… \varphi _{0}(t), \varphi _{1}(t), \varphi _{2}(t), \ldots , \varphi _{n}(t), \ldots

неотрицательны в интервале 0<t<10<t<1, причем выполняется тождество

φ0(t)+φ1(t)+φ2(t)+…+φn(t)+…=1. \varphi _{0}(t)+\varphi _{1}(t)+\varphi _{2}(t)+\ldots +\varphi _{n}(t)+\ldots =1 .

Образуем с помощью ограниченной числовой последовательности s0,s1,s2,…,sn,…s_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}, \ldots функцию

Φ(t)=s0φ0(t)+s1φ1(t)+s2φ2(t)+…+snφn(t)+… \Phi (t)=s_{0} \varphi _{0}(t)+s_{1} \varphi _{1}(t)+s_{2} \varphi _{2}(t)+\ldots +s_{n} \varphi _{n}(t)+\ldots

Тогда значения Φ(t)\Phi (t) будут заключены между нижней и верхней гранями последовательности s0,s1,s2,…,sn,…s_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}, \ldots.

?
Задача 1.84

(Продолжение.) Пусть для каждой сходящейся числовой последовательности s0,s1,s2,…,sn,…s_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}, \ldots имеем:

lim⁡t→1−0{s0φ0(t)+s1φ1(t)+s2φ2(t)+…+snφn(t)+…}=lim⁡n→∞sn. \lim _{t \rightarrow 1-0}\left\{ s_{0} \varphi _{0}(t)+s_{1} \varphi _{1}(t)+s_{2} \varphi _{2}(t)+\ldots +s_{n} \varphi _{n}(t)+\ldots \right\} =\lim _{n \rightarrow \infty } s_{n} .

Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы для каждого фиксированного vv

lim⁡t→1−0φv(t)=0. \lim _{t \rightarrow 1-0} \varphi _{v}(t)=0 .
?
Задача 1.85

Пусть даны две числовые последовательности:

a0,a1,a2,…,an,…;b0,b1,b2,…,bn,… a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots ; \quad b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}, \ldots

Показать, что из трех условий

bn>0(n=0,1,2,…),b0+b1t+b2t2+…+bntn+…{ сходится при ∣t∣<1, расходится при t=1,lim⁡n→∞anbn=s \begin{gathered} b_{n}>0 \quad (n=0,1,2, \ldots ), \\ b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}+\ldots +b_{n} t^{n}+\ldots \begin{cases} \text{ сходится при } \left|t\right|<1, \\ \text{ расходится при } t=1, \end{cases} \\ \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=s \end{gathered}

вытекает, что ряд

a0+a1t+a2t2+…+antn+… a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots

также сходится при ∣t∣<1\left|t\right|<1 и

lim⁡t→1−0a0+a1t+a2t2+…+antn+…b0+b1t+b2t2+…+bntn+…=s. \lim _{t \rightarrow 1-0} \frac{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots }{b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}+\ldots +b_{n} t^{n}+\ldots }=s .

(Эта теорема принадлежит Чезаро; ниже она находит многочисленные применения.)

?
Задача 1.86

Если ряд

a0+a1+a2+…+an+… a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}+\ldots

сходится и имеет сумму ss, то

lim⁡t→1−0(a0+a1t+a2t2+…+antn+…)=s. \lim _{t \rightarrow 1-0}\left(a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots \right)=s .
?
Примечание.
?

N. H. Abel, l. c. 47, т. 1, стр. 223.

Задача 1.87

Положим

sn=a0+a1+a2+…+an(n=0,1,2,…). s_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} \quad (n=0,1,2, \ldots ) .

Если существует

lim⁡n→∞s0+s1+s2+…+snn+1=s, \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{s_{0}+s_{1}+s_{2}+\ldots +s_{n}}{n+1}=s,

то

lim⁡t→1−0(a0+a1t+a2t2+…+antn+…)=s. \lim _{t \rightarrow 1-0}\left(a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots \right)=s .

(Эта теорема утверждает нечто новое по сравнению с 86 лишь в том случае, когда ряд a0+a1+a2+…+an+…a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}+\ldots расходится [67].)

?
Примечание.
?

G. Frobenius, J. für Math., т. 89, стр. 262--264, 1880.

Задача 1.88

Если выполняются условия

bn>0,∑n=0∞bn расходится, lim⁡n→∞a0+a1+a2+…+anb0+b1+b2+…+bn=s, \begin{gathered} b_{n}>0, \quad \sum _{n=0}^{\infty } b_{n} \text{ расходится, } \\ \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}=s, \end{gathered}

то

lim⁡t→1−0a0+a1t+a2t2+…+antn+…b0+b1t+b2t2+…+bntn+…=s \lim _{t \rightarrow 1-0} \frac{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots }{b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}+\ldots +b_{n} t^{n}+\ldots }=s

в предположении, что ряд в знаменателе сходится при ∣t∣<1\left|t\right|<1.

?
Задача 1.89

Если α\alpha положительно, то

lim⁡t→1−0(1−t)α(1α−1t+2α−1t2+3α−1t3+…+nα−1tn+…) \lim _{t \rightarrow 1-0}(1-t)^{\alpha }\left(1^{\alpha -1} t+2^{\alpha -1} t^{2}+3^{\alpha -1} t^{3}+\ldots +n^{\alpha -1} t^{n}+\ldots \right)

существует и отличен от нуля.

?
Задача 1.90

Если 0<k<10<k<1 и kk стремится к единице, то

∫01dx(1−x2)(1−k2x2)∼12ln⁡11−k \int _{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-k^{2} x^{2}\right)}} \sim \frac{1}{2} \ln \frac{1}{1-k}

[II 202].

?
Задача 1.91

Пусть AnA_{n} и BnB_{n} — соответственно числитель и знаменатель nn-й подходящей дроби для бесконечной непрерывной дроби

a∣∣1+a∣∣3+a∣∣5+…, \frac{a \mid }{\mid 1}+\frac{a \mid }{\mid 3}+\frac{a \mid }{\mid 5}+\ldots ,

так что

AnBn=a∣∣1+a∣∣3+a∣∣5+…+a∣∣2n−3(a>0). \frac{A_{n}}{B_{n}}=\frac{a \mid }{\mid 1}+\frac{a \mid }{\mid 3}+\frac{a \mid }{\mid 5}+\ldots +\frac{a \mid }{\mid 2 n-3} \quad (a>0) .

Вычислить значение этой непрерывной дроби (в предположении ее сходимости) с помощью рядов

F(x)=∑n=0∞Ann!xn,G(x)=∑n=0∞Bnn!xn, F(x)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{A_{n}}{n!} x^{n}, \quad G(x)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{B_{n}}{n!} x^{n},

основываясь на теореме 85.

?
Примечание.
?

Вследствие рекуррентной формулы, связывающей AnA_{n} и BnB_{n}, функции F(x)F(x) и G(x)G(x) удовлетворяют некоторому однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка.

§
4 · Разное. (Глава 2)[6/100%]
Задача 1.92

Если ряд

a11−σ+a22−σ+a33−σ+…+ann−σ+…, a_{1} 1^{-\sigma }+a_{2} 2^{-\sigma }+a_{3} 3^{-\sigma }+\ldots +a_{n} n^{-\sigma }+\ldots ,

где σ>0\sigma >0, сходится, то

lim⁡t→1−0(1−t)σ(a1t+a2t2+a3t3+…+antn+…)=0(75) \lim _{t \rightarrow 1-0}(1-t)^{\sigma }\left(a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots \right)=0 \tag {75}
?
Задача 1.93

Показать, что

lim⁡t→1−01−t∑n=1∞(tn2−2t2n2) \lim _{t \rightarrow 1-0} \sqrt{1-t} \sum _{n=1}^{\infty }\left(t^{n^{2}}-2 t^{2 n^{2}}\right)

существует и отрицателен.

?
Задача 1.94

Пусть даны две числовые последовательности:

a0,a1,a2,…,an,…;b0,b1,b2,…,bn,… a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots ; b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}, \ldots

Показать, что если они удовлетворяют условиям

bn>0, b_{n}>0,

∑n=0∞bntn\sum_{n=0}^{\infty } b_{n} t^{n} сходится для всех значений tt,

lim⁡n→∞anbn=s, \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=s,

то ряд

a0+a1t+a2t2+…+antn+… a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots

точно так же сходится для всех значений tt, и

lim⁡t→+∞a0+a1t+a2t2+…+antn+…b0+b1t+b2t2+…+bntn+…=s. (См. IV 72.)  \lim _{t \rightarrow +\infty } \frac{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots }{b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}+\ldots +b_{n} t^{n}+\ldots }=s . \quad \text{ (См. IV 72.) }
?
Задача 1.95

Показать, что если существует lim⁡n→∞sn=s\lim_{n \rightarrow \infty } s_{n}=s, то

lim⁡t→+∞(s0+s1t1!+s2t22!+…+sntnn!+…)e−t=s. \lim _{t \rightarrow +\infty }\left(s_{0}+s_{1} \frac{t}{1!}+s_{2} \frac{t^{2}}{2!}+\ldots +s_{n} \frac{t^{n}}{n!}+\ldots \right) e^{-t}=s .
?
Примечание.
?

Борелевское суммирование; Knopp, стр. 4711.

Footnotes

  1. *) См. по этому поводу также Е. Т. Уиттекер и Г. Н. Ватсон, Курс современного анализа, ч. I, стр. 196–198, Физматгиз, 1963. ↩

Задача 1.96

Пусть ряд

a0+a1+a2+…+an+… a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}+\ldots

сходится и имеет сумму ss. Положим

g(t)=a0+a1t1!+a2t22!+…+antnn!+… g(t)=a_{0}+a_{1} \frac{t}{1!}+a_{2} \frac{t^{2}}{2!}+\ldots +a_{n} \frac{t^{n}}{n!}+\ldots

Тогда

∫0∞e−tg(t)dt=s. \int _{0}^{\infty } e^{-t} g(t) d t=s .
?
Задача 1.97

Сумму ряда

J0(x)=1−11!1!(x2)2+12!2!(x2)4−…+(−1)mm!m!(x2)2m+… J_{0}(x)=1-\frac{1}{1!1!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2!2!}\left(\frac{x}{2}\right)^{4}-\ldots +\frac{(-1)^{m}}{m!m!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 m}+\ldots

называют бесселевой функцией нулевого порядка. Показать, что

∫0∞e−tJ0(t)dt=12. \int _{0}^{\infty } e^{-t} J_{0}(t) d t=\frac{1}{\sqrt{2}} .
?