4

Разное. (Глава 2)

[6/100%]
Показать
LaTeX
Задача 1.92

Если ряд

a11−σ+a22−σ+a33−σ+…+ann−σ+…, a_{1} 1^{-\sigma }+a_{2} 2^{-\sigma }+a_{3} 3^{-\sigma }+\ldots +a_{n} n^{-\sigma }+\ldots ,

где σ>0\sigma >0, сходится, то

lim⁡t→1−0(1−t)σ(a1t+a2t2+a3t3+…+antn+…)=0(75) \lim _{t \rightarrow 1-0}(1-t)^{\sigma }\left(a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots \right)=0 \tag {75}
?
Задача 1.93

Показать, что

lim⁡t→1−01−t∑n=1∞(tn2−2t2n2) \lim _{t \rightarrow 1-0} \sqrt{1-t} \sum _{n=1}^{\infty }\left(t^{n^{2}}-2 t^{2 n^{2}}\right)

существует и отрицателен.

?
Задача 1.94

Пусть даны две числовые последовательности:

a0,a1,a2,…,an,…;b0,b1,b2,…,bn,… a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots ; b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}, \ldots

Показать, что если они удовлетворяют условиям

bn>0, b_{n}>0,

∑n=0∞bntn\sum_{n=0}^{\infty } b_{n} t^{n} сходится для всех значений tt,

lim⁡n→∞anbn=s, \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=s,

то ряд

a0+a1t+a2t2+…+antn+… a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots

точно так же сходится для всех значений tt, и

lim⁡t→+∞a0+a1t+a2t2+…+antn+…b0+b1t+b2t2+…+bntn+…=s. (См. IV 72.)  \lim _{t \rightarrow +\infty } \frac{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots }{b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}+\ldots +b_{n} t^{n}+\ldots }=s . \quad \text{ (См. IV 72.) }
?
Задача 1.95

Показать, что если существует lim⁡n→∞sn=s\lim_{n \rightarrow \infty } s_{n}=s, то

lim⁡t→+∞(s0+s1t1!+s2t22!+…+sntnn!+…)e−t=s. \lim _{t \rightarrow +\infty }\left(s_{0}+s_{1} \frac{t}{1!}+s_{2} \frac{t^{2}}{2!}+\ldots +s_{n} \frac{t^{n}}{n!}+\ldots \right) e^{-t}=s .
?
Примечание.
?

Борелевское суммирование; Knopp, стр. 4711.

Footnotes

  1. *) См. по этому поводу также Е. Т. Уиттекер и Г. Н. Ватсон, Курс современного анализа, ч. I, стр. 196–198, Физматгиз, 1963. ↩

Задача 1.96

Пусть ряд

a0+a1+a2+…+an+… a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}+\ldots

сходится и имеет сумму ss. Положим

g(t)=a0+a1t1!+a2t22!+…+antnn!+… g(t)=a_{0}+a_{1} \frac{t}{1!}+a_{2} \frac{t^{2}}{2!}+\ldots +a_{n} \frac{t^{n}}{n!}+\ldots

Тогда

∫0∞e−tg(t)dt=s. \int _{0}^{\infty } e^{-t} g(t) d t=s .
?
Задача 1.97

Сумму ряда

J0(x)=1−11!1!(x2)2+12!2!(x2)4−…+(−1)mm!m!(x2)2m+… J_{0}(x)=1-\frac{1}{1!1!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2!2!}\left(\frac{x}{2}\right)^{4}-\ldots +\frac{(-1)^{m}}{m!m!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 m}+\ldots

называют бесселевой функцией нулевого порядка. Показать, что

∫0∞e−tJ0(t)dt=12. \int _{0}^{\infty } e^{-t} J_{0}(t) d t=\frac{1}{\sqrt{2}} .
?