3

Преобразования последовательностей в функции. Теорема Чезаро

[9/100%]
Показать
LaTeX
Задача 1.83

Пусть функции

φ0(t),φ1(t),φ2(t),…,φn(t),… \varphi _{0}(t), \varphi _{1}(t), \varphi _{2}(t), \ldots , \varphi _{n}(t), \ldots

неотрицательны в интервале 0<t<10<t<1, причем выполняется тождество

φ0(t)+φ1(t)+φ2(t)+…+φn(t)+…=1. \varphi _{0}(t)+\varphi _{1}(t)+\varphi _{2}(t)+\ldots +\varphi _{n}(t)+\ldots =1 .

Образуем с помощью ограниченной числовой последовательности s0,s1,s2,…,sn,…s_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}, \ldots функцию

Φ(t)=s0φ0(t)+s1φ1(t)+s2φ2(t)+…+snφn(t)+… \Phi (t)=s_{0} \varphi _{0}(t)+s_{1} \varphi _{1}(t)+s_{2} \varphi _{2}(t)+\ldots +s_{n} \varphi _{n}(t)+\ldots

Тогда значения Φ(t)\Phi (t) будут заключены между нижней и верхней гранями последовательности s0,s1,s2,…,sn,…s_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}, \ldots.

?
Задача 1.84

(Продолжение.) Пусть для каждой сходящейся числовой последовательности s0,s1,s2,…,sn,…s_{0}, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}, \ldots имеем:

lim⁡t→1−0{s0φ0(t)+s1φ1(t)+s2φ2(t)+…+snφn(t)+…}=lim⁡n→∞sn. \lim _{t \rightarrow 1-0}\left\{ s_{0} \varphi _{0}(t)+s_{1} \varphi _{1}(t)+s_{2} \varphi _{2}(t)+\ldots +s_{n} \varphi _{n}(t)+\ldots \right\} =\lim _{n \rightarrow \infty } s_{n} .

Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы для каждого фиксированного vv

lim⁡t→1−0φv(t)=0. \lim _{t \rightarrow 1-0} \varphi _{v}(t)=0 .
?
Задача 1.85

Пусть даны две числовые последовательности:

a0,a1,a2,…,an,…;b0,b1,b2,…,bn,… a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots ; \quad b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}, \ldots

Показать, что из трех условий

bn>0(n=0,1,2,…),b0+b1t+b2t2+…+bntn+…{ сходится при ∣t∣<1, расходится при t=1,lim⁡n→∞anbn=s \begin{gathered} b_{n}>0 \quad (n=0,1,2, \ldots ), \\ b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}+\ldots +b_{n} t^{n}+\ldots \begin{cases} \text{ сходится при } \left|t\right|<1, \\ \text{ расходится при } t=1, \end{cases} \\ \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=s \end{gathered}

вытекает, что ряд

a0+a1t+a2t2+…+antn+… a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots

также сходится при ∣t∣<1\left|t\right|<1 и

lim⁡t→1−0a0+a1t+a2t2+…+antn+…b0+b1t+b2t2+…+bntn+…=s. \lim _{t \rightarrow 1-0} \frac{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots }{b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}+\ldots +b_{n} t^{n}+\ldots }=s .

(Эта теорема принадлежит Чезаро; ниже она находит многочисленные применения.)

?
Задача 1.86

Если ряд

a0+a1+a2+…+an+… a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}+\ldots

сходится и имеет сумму ss, то

lim⁡t→1−0(a0+a1t+a2t2+…+antn+…)=s. \lim _{t \rightarrow 1-0}\left(a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots \right)=s .
?
Примечание.
?

N. H. Abel, l. c. 47, т. 1, стр. 223.

Задача 1.87

Положим

sn=a0+a1+a2+…+an(n=0,1,2,…). s_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} \quad (n=0,1,2, \ldots ) .

Если существует

lim⁡n→∞s0+s1+s2+…+snn+1=s, \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{s_{0}+s_{1}+s_{2}+\ldots +s_{n}}{n+1}=s,

то

lim⁡t→1−0(a0+a1t+a2t2+…+antn+…)=s. \lim _{t \rightarrow 1-0}\left(a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots \right)=s .

(Эта теорема утверждает нечто новое по сравнению с 86 лишь в том случае, когда ряд a0+a1+a2+…+an+…a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}+\ldots расходится [67].)

?
Примечание.
?

G. Frobenius, J. für Math., т. 89, стр. 262--264, 1880.

Задача 1.88

Если выполняются условия

bn>0,∑n=0∞bn расходится, lim⁡n→∞a0+a1+a2+…+anb0+b1+b2+…+bn=s, \begin{gathered} b_{n}>0, \quad \sum _{n=0}^{\infty } b_{n} \text{ расходится, } \\ \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}=s, \end{gathered}

то

lim⁡t→1−0a0+a1t+a2t2+…+antn+…b0+b1t+b2t2+…+bntn+…=s \lim _{t \rightarrow 1-0} \frac{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots }{b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}+\ldots +b_{n} t^{n}+\ldots }=s

в предположении, что ряд в знаменателе сходится при ∣t∣<1\left|t\right|<1.

?
Задача 1.89

Если α\alpha положительно, то

lim⁡t→1−0(1−t)α(1α−1t+2α−1t2+3α−1t3+…+nα−1tn+…) \lim _{t \rightarrow 1-0}(1-t)^{\alpha }\left(1^{\alpha -1} t+2^{\alpha -1} t^{2}+3^{\alpha -1} t^{3}+\ldots +n^{\alpha -1} t^{n}+\ldots \right)

существует и отличен от нуля.

?
Задача 1.90

Если 0<k<10<k<1 и kk стремится к единице, то

∫01dx(1−x2)(1−k2x2)∼12ln⁡11−k \int _{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-k^{2} x^{2}\right)}} \sim \frac{1}{2} \ln \frac{1}{1-k}

[II 202].

?
Задача 1.91

Пусть AnA_{n} и BnB_{n} — соответственно числитель и знаменатель nn-й подходящей дроби для бесконечной непрерывной дроби

a∣∣1+a∣∣3+a∣∣5+…, \frac{a \mid }{\mid 1}+\frac{a \mid }{\mid 3}+\frac{a \mid }{\mid 5}+\ldots ,

так что

AnBn=a∣∣1+a∣∣3+a∣∣5+…+a∣∣2n−3(a>0). \frac{A_{n}}{B_{n}}=\frac{a \mid }{\mid 1}+\frac{a \mid }{\mid 3}+\frac{a \mid }{\mid 5}+\ldots +\frac{a \mid }{\mid 2 n-3} \quad (a>0) .

Вычислить значение этой непрерывной дроби (в предположении ее сходимости) с помощью рядов

F(x)=∑n=0∞Ann!xn,G(x)=∑n=0∞Bnn!xn, F(x)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{A_{n}}{n!} x^{n}, \quad G(x)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{B_{n}}{n!} x^{n},

основываясь на теореме 85.

?
Примечание.
?

Вследствие рекуррентной формулы, связывающей AnA_{n} и BnB_{n}, функции F(x)F(x) и G(x)G(x) удовлетворяют некоторому однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка.