Абстрактная мера

Докажите, что считающая мера, введённая в примере 5.1.4, является мерой на $\mathbb {P}(X)$.

Пример 5.1.4: Пусть $X$ — множество и $\mathfrak {M} = \mathbb {P}(X)$. Для $E \subset X$ определим $\mu (E) = n$, если $E$ содержит ровно $n$ элементов, и $\mu (E) = \infty$, если $E$ — бесконечное множество. Тогда $\mu$ называется считающей мерой на $X$.

Докажите, что мера Дирака, введённая в примере 5.1.5, является мерой на $\mathbb {P}(X)$.

Пример 5.1.5: Пусть $x_{0} \in X$ и пусть $\mu (E) = 1$, если $x_{0} \in E$, и $\mu (E) = 0$, если $x_{0} \notin E$. Это мера Дирака $\delta_{x_{0}}$.

Докажите утверждения, сделанные в примере 5.1.6.

Пример 5.1.6: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и пусть $E \in \mathfrak {M}$. Функция $\mu_{E}$ на $\mathfrak {M}$, определённая как $\mu_{E}(A) = \mu \left(E \cap A\right)$, является мерой. Кроме того, множество $\mathfrak {M}_{E} = \left\{ E \cap A : A \in \mathfrak {M}\right\}$ является $\sigma$-алгеброй. Следовательно, $(E, \mathfrak {M}_{E}, \mu_{E})$ — пространство с мерой.

Пусть $\mu$ — функция, определённая на $\mathbb {P}(\mathbb {R})$ формулой

Докажите или опровергните: $\mu$ является мерой.

Пусть $X=\left\{ x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ и предположим, что $\left\{ p_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ — последовательность неотрицательных чисел, такая что $\sum_{n=1}^{\infty } p_{n}=1$. Для любого множества $A \subset X$ определим $N_{A}=\left\{ k \in \mathbb {N} : x_{k} \in A\right\}$ и

Докажите, что $\mu$ является мерой на $\mathbb {P}(X)$.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ — последовательность мер на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ), для которой существует константа $M \geq 0$, такая что $\mu_{n}(X) \leq M$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Определим

Докажите, что $\mu$ является мерой на $\mathfrak {M}$.

Докажите теорему 5.1.9 (ii). Приведите пример, показывающий, что предположение $\mu \left(B_{1}\right)<\infty$ нельзя опустить.

Теорема 5.1.9 (ii) (Непрерывность меры): Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой. Если $\left\{ B_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — убывающая последовательность в $\mathfrak {M}$ и если $\mu \left(B_{1}\right) < \infty$, то $\mu \left(\cap_{n=1}^{\infty } B_{n}\right) = \lim_{n \rightarrow \infty } \mu \left(B_{n}\right)$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой. Докажите, что $\mu$ полуаддитивна на $\mathfrak {M}$.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность мер на $\sigma$-алгебре $\mathcal{A}$, и пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ сходится к функции $\mu$. Другими словами, предположим, что для каждого $A \in \mathcal{A}$, $\lim \mu_{n}(A)=\mu \left(A\right)$. Также предположим, что существует конечная мера $\nu$ на $\mathcal{A}$, такая что для каждого $n \in \mathbb {N}$ и для каждого множества $A \in \mathcal{A}, \mu_{n}(A) \leq \nu \left(A\right)$. Докажите, что $\mu$ является мерой на $\mathcal{A}$. Останется ли это верным, если такой меры $\nu$ не существует?

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и пусть $\left\{ E_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$. Докажите, что множество $A$ всех тех элементов $X$, которые принадлежат бесконечно многим множествам из последовательности $\left\{ E_{n}\right\}$, измеримо.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ — монотонная последовательность мер на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ) и пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ сходится к функции $\mu$. Докажите или опровергните: $\mu$ является мерой на $\mathfrak {M}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой. Пусть $\mathfrak {M}^{\prime }$ — совокупность всех $E \subset X$, для которых существуют $A, B \in \mathfrak {M}$, такие что $A \subset E \subset B$ и $\mu \left(B \backslash A\right)=0$. Для таких $E$ определим $\mu \left(E\right)=\mu \left(A\right)$. Докажите, что $\mathfrak {M}^{\prime }$ — $\sigma$-алгебра и что $\mu$ является мерой на $\mathfrak {M}^{\prime }$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное пространство с мерой и пусть $E \in \mathfrak {M}$, для которого $\mu \left(E\right) \neq 0$. Докажите, что существует измеримое множество $A \subset E$, для которого $0< \mu \left(A\right)<\infty$.

Определим $E=\left\{ x \in [0,1]:\left|x-\frac{p}{q}\right|<q^{-3} \text{ для бесконечно многих } p, q \in \mathbb {N}\right\}$. Докажите, что $m\left(E\right)=0$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и предположим, что существует $n \in \mathbb {N}$ и множество действительных чисел $A=\left\{ a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right\}$, такие что для всех $E \in \mathfrak {M}, \mu \left(E\right) \in A$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и пусть $\mathcal{A}$ — дизъюнктное семейство подмножеств $X$. Докажите, что среди множеств из $\mathcal{A}$ может быть лишь счётное число множеств положительной меры.

Пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$ и пусть $f: X \rightarrow Y$. Докажите или опровергните: если $\mu$ — мера на $X$, то $\lambda \left(E\right):=\mu \left(f^{-1}(E)\right)$ задаёт меру на $Y$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) — измеримое пространство и пусть $\mu$ — конечно-аддитивная мера. Предположим, что $\mu$ $\sigma$-полуаддитивна. Докажите, что $\mu$ является мерой.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) — измеримое пространство и пусть $\mu$ — конечно-аддитивная мера. Предположим, что $\mu$ обладает следующим свойством: если $\left\{ A_{n}\right\}$ — убывающая последовательность множеств в $\mathfrak {M}$, такая что $\cap_{n} A_{n}=\emptyset$, то $\lim_{n} \mu \left(A_{n}\right)=0$. Докажите, что $\mu$ является мерой.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой и пусть $\nu$ — конечно-аддитивная мера. Предположим, что $\nu$ обладает следующим свойством: если $\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$ таковы, что $\lim_{n} \mu \left(A_{n}\right)=0$, то $\lim_{n} \nu \left(A_{n}\right)=0$. Докажите, что $\nu$ является мерой.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и пусть $\mu$ — конечно-аддитивная мера. Предположим, что $\mu$ обладает следующим свойством: если $\left\{ A_{n}\right\}$ — возрастающая последовательность множеств в $\mathfrak {M}$, то $\mu \left(\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}\right)=\lim_{n \rightarrow \infty } \mu \left(A_{n}\right)$. Докажите, что $\mu$ является мерой.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой и пусть $\left\{ E_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$. Докажите, что

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой и пусть $\left\{ E_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $A, B$ — множества в $\mathfrak {M}$, такие что $\mu \left(A \triangle B\right)=0$. Докажите, что для любого $E \in \mathfrak {M}, \mu \left(E \cap A\right)=\mu \left(E \cap B\right)$.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — меры на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ), и определим $\lambda \left(E\right)=\min \left\{ \mu \left(E\right), \nu \left(E\right)\right\}$ и $\omega (E)=\max \left\{ \mu \left(E\right), \nu \left(E\right)\right\}$ для $E \in \mathfrak {M}$. Докажите или опровергните:

Пусть $\mu$ и $\nu$ — меры на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ), и пусть $\alpha \geq 0$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — вероятностное пространство, т.е. пространство с мерой, такое что $\mu \left(X\right)=1$, и пусть $\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$ независимы, то есть для любого $n \in \mathbb {N}$ и любых положительных целых чисел $1 \leq k_{1}<\cdots <k_{n}$,

Докажите, что последовательность $\left\{ A_{n}^{C}\right\}$ также независима.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — вероятностное пространство, т.е. пространство с мерой, такое что $\mu \left(X\right)=1$, и пусть $\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$. Докажите, что $\mu \left(\cap_{k=1}^{n} A_{k}\right) \geq \sum_{k=1}^{n} \mu \left(A_{k}\right)-(n-1)$.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — меры на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ) и предположим, что $\mu \geq \nu$. Докажите, что:

Пусть $X$ — непустое множество, пусть $x_{0} \in X$, и рассмотрим пространство с мерой $\left(X, \mathbb {P}(X), \delta_{x_{0}}\right)$. Докажите, что две функции $f, g: X \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ равны почти всюду тогда и только тогда, когда $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$.

Пусть $X$ — непустое множество, пусть $\mu$ — считающая мера на $X$, и рассмотрим пространство с мерой $(X, \mathbb {P}(X), \mu )$. Докажите, что две функции $f, g: X \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ равны почти всюду тогда и только тогда, когда $f(x)=g(x)$ для каждого $x \in X$.

Докажите, что $\mu^{*}$, определённая в примере 5.2.5, является внешней мерой.

Пример 5.2.5: Пусть $\mathfrak {E}$ — кольцо на $X$, и для $A \subset X$ пусть $\mu^{*}(A) := \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty } \mu (E_{k}) : \left\{ E_{k} : k \in \mathbb {N}\right\} \subset \mathfrak {E} \text{ и } A \subset \cup_{k=1}^{\infty } E_{k}\right\}$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и пусть $\left\{ \mu_{n}^{*}\right\}$ — последовательность внешних мер на $(X, \mathfrak {M})$. Докажите, что $\sum_{n} \mu_{n}^{*}$ и $\sup_{n} \mu_{n}^{*}$ также являются внешними мерами.

Пусть $\mathcal{A}$ — совокупность подмножеств $X$, включающая пустое множество, пусть $F: \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty ]$ такова, что $F(\emptyset )=0$, и пусть

Докажите, что $\mu^{*}$ является внешней мерой. В упражнениях 5.2.4--5.2.7 $X$ — множество и $\mu^{*}: \mathbb {P}(X) \rightarrow [0,+\infty ]$ задана. Докажите, что $\mu^{*}$ является внешней мерой, и определите $\sigma$-алгебру $\mathfrak {M}$ всех измеримых множеств.

$\mu^{*}(A)$ — это число точек в $A$, если $A$ — конечное множество, и $\mu^{*}(A)=\infty$, когда $A$ — бесконечное множество.

$\mu^{*}(\varnothing )=0$ и $\mu^{*}(E)=1$ для $E \neq \varnothing$.

$\mu^{*}(\varnothing )=0, \mu^{*}(X)=2$, и $\mu^{*}(E)=1$ для всех остальных подмножеств $X$.

$\mu^{*}(A)=0$, если $A$ — счётное множество, и $\mu^{*}(A)=1$, если $A$ — несчётное.

Пусть $X$ — бесконечное множество, пусть $\nu$ — считающая мера на $X$, и пусть $F: \mathbb {P}(X) \rightarrow [0,+\infty ]$ определена как $F(A)=\sqrt{\nu \left(A\right)}$.

Пусть $\mu$ — функция, определённая на подмножествах $\mathbb {R}$ так, что $\mu \left(A\right)$ — число целых чисел в $A$.

Пусть $X$ — непустое множество и пусть $\mu$ — функция, определённая на $\mathfrak {E}=\left\{ \varnothing , X\right\}$ формулами $\mu \left(\varnothing \right)=0$ и $\mu \left(X\right)=1$. Определите внешнюю меру $\mu^{*}$, порождённую $\mu$, и $\sigma$-алгебру измеримых множеств.

Пусть $X$ — множество не менее чем из 2 точек, пусть $A$ — собственное непустое подмножество $X$, и пусть $\mu$ — функция, определённая на $\mathfrak {E}=\left\{ A, X\right\}$ формулами $\mu \left(A\right)=1$ и $\mu \left(X\right)=2$. Определите внешнюю меру $\mu^{*}$, порождённую $\mu$, и $\sigma$-алгебру измеримых множеств.

Пусть $\mathfrak {E}=\left\{ \varnothing ,[0,1],[0,3],[2,3]\right\} \subset \mathbb {P}(\mathbb {R})$, и пусть $\mu$ — функция, определённая на $\mathfrak {E}$ формулами $\mu \left(\emptyset \right)=0, \mu \left([0,1]\right)=\mu \left([0,3]\right)=\mu \left([2,3]\right)=1$. Определите внешнюю меру $\mu^{*}$, порождённую $\mu$, и $\sigma$-алгебру измеримых множеств.

Докажите предложение 5.2.14. Останется ли результат верным, если $n$ заменить на $\infty$ ?

Предложение 5.2.14: Если $E_{1}, E_{2}, \ldots , E_{n}$ — попарно непересекающиеся множества в $\mathfrak {M}$ и $A$ — произвольное подмножество $X$, то $\mu^{*}\left(A \cap \left(\cup_{i=1}^{n} E_{i}\right)\right) = \sum_{i=1}^{n} \mu^{*}(A \cap E_{i})$. В частности, $\mu^{*}\left(\cup_{i=1}^{n} E_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n} \mu^{*}(E_{i})$.

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на множестве $X$, пусть $\left\{ A_{n}\right\}$ — последовательность подмножеств $X$, и пусть $\left\{ E_{n}\right\}$ — последовательность попарно непересекающихся измеримых подмножеств $X$, такая что $A_{n} \subset E_{n}$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера, и предположим, что она аддитивна. Докажите, что она счётно-аддитивна, следовательно является мерой.

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на множестве $X$ и пусть $A \subset X$ имеет внешнюю меру 0. Докажите, что

для любого множества $B \subset X$.

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на множестве $X$ и пусть $A \subset X$. Докажите, что $A$ измеримо тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon >0$ существует измеримое множество $E$, такое что $E \subset A$ и $\mu^{*}(A \backslash E)<\varepsilon$.

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на множестве $X$ и пусть $A \subset X$. Предположим, что для каждого $\varepsilon >0$ существует измеримое множество $E$, такое что $\mu^{*}(A \triangle E)<\varepsilon$. Докажите, что $A$ измеримо.

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на множестве $X$, пусть $A \subset X$, и пусть $E$ — измеримое подмножество $X$. Докажите, что

Пусть $\left(X, \mathfrak {M}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(X, \mathfrak {M}_{2}, \mu_{2}\right)$ — пространства с мерой. Докажите, что $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ порождают одну и ту же внешнюю меру на $X$ (в смысле примера 5.2.5) тогда и только тогда, когда одновременно $\mu_{1}=\mu_{2}^{*}$ на $\mathfrak {M}_{1}$ и $\mu_{2}=\mu_{1}^{*}$ на $\mathfrak {M}_{2}$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и $\mu^{*}$ — внешняя мера на $X$, определённая как в примере 5.2.5. Докажите, что если $E \subset X$, то существует измеримое множество $B$, содержащее $E$, для которого $\mu \left(B\right)=\mu^{*}(E)$.

Пусть $\mathfrak {E}$ — кольцо на $X$, пусть $\mu$ — мера на $\mathfrak {E}$, и пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на $X$, как в примере 5.2.5. Обозначим через $\mathfrak {E}_{\sigma }$ совокупность всех счётных объединений множеств из $\mathfrak {E}$, а через $\mathfrak {E}_{\sigma \delta }$ — совокупность всех счётных пересечений множеств из $\mathfrak {E}_{\sigma }$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, такое что $\mu \left(X\right)=1$, и $\mu^{*}$ — внешняя мера на $X$. Предположим, что $E \subset X$ и $\mu^{*}(E)=1$. Докажите, что если $A, B \in \mathfrak {M}$ и $A \cap E=B \cap E$, то $\mu \left(A\right)=\mu \left(B\right)$.

Докажите, что если $\mu^{*}(E)=0$, то $E \in \mathfrak {M}$ и $\mu \left(E\right)=0$.

Пусть $h:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная, непрерывная слева, возрастающая функция. Докажите, что существует $\sigma$-алгебра $\mathfrak {M} \subset \mathbb {P}([a, b])$ и мера $\mu$ на $\mathfrak {M}$, такие что $\mu \left([x, y\right))=h(y)-h(x)$ для всех $x<y$ в $[a, b]$. Замечание 5.2.19. Эта мера известна как мера Лебега--Стилтьеса, ассоциированная с $h$.

Приведите пример совокупности $\mathcal{A}$ подмножеств $X$ и мер $\mu , \nu$ на $\sigma (\mathcal{A})$, таких что $\mu \left(A\right)=\nu \left(A\right)$ для всех $A \in \mathcal{A}$, но существует множество $E \in \sigma (\mathcal{A})$, для которого $\mu \left(E\right) \neq \nu \left(E\right)$.

Пусть $E \subset X$ таково, что $E \cap A \in \mathfrak {M}$, когда $A \in \mathfrak {M}$ и $\mu \left(A\right)<\infty$. Докажите, что $E \in \mathfrak {M}$.

Докажите, что продолжение по Каратеодори меры $\mu^{\prime }$ единственно, если $\mu^{\prime }$ $\sigma$-конечна на $\mathfrak {E}$.

Пусть $\mathfrak {E}$ — кольцо, содержащее $X$, и предположим, что $\mu$ — конечная мера на $\mathfrak {E}$.

Пусть $\left\{ r_{n}\right\}$ — расположение $\mathbb {Q}$ в последовательность, пусть $\alpha_{n}(E)=1$, если $r_{n} \in E$, и $\alpha_{n}(E)=0$ иначе, и пусть $\mu$ — функция, определённая на подмножествах $\mathbb {R}$ формулой $\mu \left(E\right)=\sum_{n=1}^{\infty } 2^{-n} \alpha_{n}(E)$. Является ли $\mu$ аддитивной? Является ли она $\sigma$-аддитивной?

Для $E \subset \mathbb {N}$ пусть $\alpha_{k}(E)=1$, если $k \in E$, и $\alpha_{k}(E)=0$ иначе. Пусть $\mathfrak {M}$ — совокупность всех множеств, для которых существует $\mu \left(E\right)$, где

Пусть $\mathcal{A}$ — совокупность конечных объединений множеств вида $(a, b] \cap \mathbb {Q}$, где $-\infty \leq a \leq b \leq +\infty$, и определим $\mu \left(\varnothing \right)=0$ и $\mu \left(A\right)=\infty$ для $A \neq \varnothing$. Докажите, что:

Пусть $X$ — непустое множество, пусть $\mathcal{A} \subset \mathbb {P}(X)$, и пусть $\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty ]$. Докажите или опровергните: если $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра, полученная конструкцией Каратеодори, то $\mathcal{A} \subset \mathfrak {M}$.

Пусть $X$ — непустое множество, пусть $E \subset X$, пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на $\mathbb {P}(X)$, пусть $\mu$ — сужение $\mu^{*}$ на $\sigma$-алгебру $\mathfrak {M}$ $\mu^{*}$-измеримых множеств, и пусть $\mu^{+}$ — внешняя мера, ассоциированная с $\mu$. Докажите, что:

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $\mu^{*}$ — внешняя мера на $X$. Докажите, что $\left|\mu^{*}(A)-\mu^{*}(B)\right| \leq \mu^{*}(A \triangle B)$ для любых $A, B \subset X$, при условии, что хотя бы одно из чисел $\mu^{*}(A), \mu^{*}(B)$ конечно.

Пусть $\mathfrak {E}$ — алгебра на $X$, пусть $\mu$ — конечная мера на $\mathfrak {E}$, пусть $\bar{\mu }$ — её продолжение по Каратеодори на $\sigma$-алгебру $\mathfrak {M}$, пусть $E \in \mathfrak {M}$, и пусть $\varepsilon >0$. Докажите, что существует множество $A \in \mathfrak {E}$, такое что $\bar{\mu }(A \triangle E)<\varepsilon$.

Докажите, что каждая алгебра является кольцом. Приведите пример, показывающий, что обратное неверно.

Докажите, что каждое кольцо, содержащее $X$, также является алгеброй.

Предположим, что $\mathcal{R}$ — кольцо. Докажите, что множество

является алгеброй.

Предположим, что $\mathcal{R}$ — кольцо. Докажите, что множество

является алгеброй.

Пусть $\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathbb {R}^{2}$ — возрастающая последовательность. Докажите, что $m^{*}\left(\cup_{n} A_{n}\right)= \lim m^{*}\left(A_{n}\right)$.

Докажите, что не существует измеримого по Лебегу множества $A \subset \mathbb {R}$, обладающего тем свойством, что для любого интервала $I$,

Пусть $E$ — измеримое по Лебегу множество, такое что $0<m\left(E\right)<\infty$, и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в $[0,1]$. Докажите, что существуют $y \in \mathbb {R}$ и подпоследовательность $\left\{ x_{n_{k}}\right\}$, такие что

Покажите, что если $A \subset [0,1]$ и $m\left(A\right)>0$, то найдутся $x$ и $y$ в $A$, такие что $\left|x-y\right|$ — иррациональное число.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — липшицева функция с константой $K$, и пусть $E \subset [0,1]$. Докажите, что

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{n}$, пусть $\alpha \in \mathbb {R} \backslash \left\{ 0\right\}$, пусть $\beta \in \mathbb {R}^{n}$, и пусть $\alpha E+\beta =\left\{ \alpha x+\beta : x \in E\right\}$. Докажите, что:

Докажите, что определение 5.3.3 даёт одно и то же значение $\mu_{*}(A)$ независимо от выбора прямоугольника $R$ в ограниченном случае и прямоугольников $\left\{ R_{k}\right\}$ в неограниченном случае.

Пусть $\left\{ R_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ — совокупность прямоугольников в $\mathbb {R}^{n}$, и пусть $\varepsilon >0$. Докажите, что существуют открытые прямоугольники $\left\{ R_{i}^{\prime }\right\}$, такие что $R_{i} \subset R_{i}^{\prime }$ для всех $i \in \mathbb {N}$, и

В упражнениях 5.3.8--5.3.10 $\sigma$-алгебра Лебега $\mathcal{M}_{n}$ и $n$-мерная мера Лебега $m_{n}$ были получены с помощью конструкции Каратеодори, начиная с кольца $\mathcal{E}$ элементарных множеств и определяя внешнюю меру $m_{n}^{*}$, как в примере 5.2.5.

Докажите теорему 5.3.7.

Теорема 5.3.7: Все открытые и все замкнутые подмножества $\mathbb {R}^{n}$ измеримы по Лебегу.