Мера Лебега на евклидовых пространствах

Докажите, что не существует измеримого по Лебегу множества $A \subset \mathbb {R}$, обладающего тем свойством, что для любого интервала $I$,

Пусть $E$ — измеримое по Лебегу множество, такое что $0<m\left(E\right)<\infty$, и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в $[0,1]$. Докажите, что существуют $y \in \mathbb {R}$ и подпоследовательность $\left\{ x_{n_{k}}\right\}$, такие что

Покажите, что если $A \subset [0,1]$ и $m\left(A\right)>0$, то найдутся $x$ и $y$ в $A$, такие что $\left|x-y\right|$ — иррациональное число.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — липшицева функция с константой $K$, и пусть $E \subset [0,1]$. Докажите, что

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{n}$, пусть $\alpha \in \mathbb {R} \backslash \left\{ 0\right\}$, пусть $\beta \in \mathbb {R}^{n}$, и пусть $\alpha E+\beta =\left\{ \alpha x+\beta : x \in E\right\}$. Докажите, что:

Докажите, что определение 5.3.3 даёт одно и то же значение $\mu_{*}(A)$ независимо от выбора прямоугольника $R$ в ограниченном случае и прямоугольников $\left\{ R_{k}\right\}$ в неограниченном случае.

Пусть $\left\{ R_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ — совокупность прямоугольников в $\mathbb {R}^{n}$, и пусть $\varepsilon >0$. Докажите, что существуют открытые прямоугольники $\left\{ R_{i}^{\prime }\right\}$, такие что $R_{i} \subset R_{i}^{\prime }$ для всех $i \in \mathbb {N}$, и

В упражнениях 5.3.8--5.3.10 $\sigma$-алгебра Лебега $\mathcal{M}_{n}$ и $n$-мерная мера Лебега $m_{n}$ были получены с помощью конструкции Каратеодори, начиная с кольца $\mathcal{E}$ элементарных множеств и определяя внешнюю меру $m_{n}^{*}$, как в примере 5.2.5.

Докажите теорему 5.3.7.

Теорема 5.3.7: Все открытые и все замкнутые подмножества $\mathbb {R}^{n}$ измеримы по Лебегу.

Докажите теорему 5.3.8.

Теорема 5.3.8: Пусть $A \subset \mathbb {R}^{n}$ и $\varepsilon >0$. Следующие условия эквивалентны: (a) $A \in \mathcal{M}_{n}$. (b) Существует открытое множество $G$, такое что $A \subset G$ и $m_{n}^{*}(G \setminus A) < \varepsilon$. (c) Существует множество типа $G_{\delta }$, $G$, такое что $A \subset G$ и $m_{n}^{*}(G \setminus A) = 0$. (d) Существует замкнутое множество $F$, такое что $F \subset A$ и $m_{n}^{*}(A \setminus F) < \varepsilon$. (e) Существует множество типа $F_{\sigma }$, $F$, такое что $F \subset A$ и $m_{n}^{*}(A \setminus F) = 0$.

Докажите теорему 5.3.9.

Теорема 5.3.9: Каждое счётное множество в $\mathbb {R}^{n}$ измеримо и имеет меру $0$.

Пусть $E \in \mathcal{M}$ и $0<m\left(E\right)<\infty$. Докажите, что для каждого $\alpha \in (0,1)$ существует интервал $I$, для которого $m\left(E \cap I\right)>\alpha m\left(I\right)$.

Докажите или опровергните: если граница множества $A \subset \mathbb {R}^{2}$ имеет внешнюю меру нуль, то $A$ измеримо.

Докажите, что совокупность всех элементарных подмножеств $\mathbb {R}^{n}$ является кольцом.

Пусть $A, B \subset \mathbb {R}$ таковы, что $\inf \left\{ \left|x-y\right|: x \in A, y \in B\right\} >0$. Докажите или опровергните: $m^{*}(A \cup B)=m^{*}(A)+m^{*}(B)$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}$. Докажите, что $m^{*}(E)=\sum_{n=-\infty }^{\infty } m^{*}(E \cap [n, n+1])$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{n}$ и пусть $\left\{ G_{n}\right\}$ — открытые подмножества $\mathbb {R}^{n}$, такие что $\cup_{n=1}^{\infty } G_{n}= \mathbb {R}^{n}$. Докажите, что $m^{*}(E)=\lim_{n \rightarrow \infty } m^{*}\left(E \cap \left(\cup_{k=1}^{n} G_{k}\right)\right)$.

Пусть $A, B \subset \mathbb {R}^{n}$, пусть $m^{*}(A)=m^{*}(B)=1$ и $m^{*}(A \cup B)=2$. Докажите, что $m^{*}(A \cap B)=0$.

Докажите, что внешняя мера множества иррациональных чисел в $[0,1]$ равна 1.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — липшицева функция с константой $K$, и пусть $E$ — измеримое по Лебегу подмножество $[0,1]$. Докажите, что $f(E)$ — измеримое множество.

Постройте замкнутое несчётное подмножество $[0,1]$, не содержащее рациональных чисел.

Докажите, что множество $A \subset \mathbb {R}^{n}$ измеримо тогда и только тогда, когда

для каждого прямоугольника $R$ в $\mathbb {R}^{n}$.

Пусть $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, содержащаяся в $\mathcal{M}_{n}$. Докажите или опровергните: сужение $m_{n} \mid \mathcal{A}$ $\sigma$-конечно.

Пусть $E \subset \mathbb {R}$ имеет конечную внешнюю меру и предположим, что оно неизмеримо. Докажите, что существует открытое множество $G \supset E$, имеющее конечную внешнюю меру, и для которого $m^{*}(G \backslash E)>m^{*}(G)-m^{*}(E)$.

Пусть $X$ — собственное подпространство $\mathbb {R}^{n}$. Докажите, что $m\left(X\right)=0$, где $m$ — $n$-мерная мера Лебега.

Пусть $\mu$ — инвариантная относительно сдвигов мера на $\mathcal{M}_{n}$. Докажите, что существует константа $\alpha \geq 0$, такая что $\mu \left(E\right)=\alpha m_{n}\left(E\right)$ для всех измеримых по Лебегу множеств $E \subset \mathbb {R}^{n}$.

Докажите, что предложение 5.3.2 выполняется в каждом евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$. То есть докажите, что $\mu^{*}(A)=m^{*}(A)$, где $m^{*}(A)$ — как в определении 4.2.11, а $\mu^{*}(A)$ — как в примере 5.2.5, с $\mathfrak {E}$ — кольцом элементарных подмножеств $\mathbb {R}^{n}$.

Докажите, что теорема 4.2.22 выполняется в каждом евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$. То есть докажите, что если $E$ — ограниченное множество в $\mathbb {R}^{n}$ и $R$ — открытый прямоугольник, содержащий $E$, то

где $m^{*}$ и $m_{*}$ определяются аналогично определению 4.2.11.

Докажите, что предложение 5.3.4 выполняется в каждом евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$. То есть докажите, что $\mu_{*}(A)=m_{*}\left(A\right)$, где $\mu_{*}(A)$ — как в определении 5.3.3, а $m^{*}(A)$ — как в определении 4.2.11.

Докажите неограниченный случай в предложении 5.3.4.

Предложение 5.3.4: Если $A \subset \mathbb {R}^{2}$, то $\mu^{*}(A) = m^{*}(A)$. (Ограниченный случай доказан в тексте с использованием предложения 5.3.2 и теоремы 4.2.22; остаётся только неограниченный случай.)

Докажите или опровергните: если $A$ — подмножество $[0,1]$, такое что $m\left(\operatorname {Int}(A)\right)= m\left(\bar{A}\right)$, то $A$ измеримо.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Найдите меру её графика.

Покажите, что если множество $E \subset \mathbb {R}^{n}$ имеет положительную внешнюю меру, то существует ограниченное подмножество множества $E$, также имеющее положительную внешнюю меру.

Пусть $E$ — подмножество $\mathbb {R}$ такое, что $m^{*}(E)<\infty$, и пусть $\varepsilon >0$. Докажите, что $E$ является дизъюнктным объединением конечного числа множеств, каждое из которых имеет внешнюю меру не более $\varepsilon$. Остаётся ли утверждение верным в $\mathbb {R}^{n}$? В произвольном измеримом пространстве?

Найдите меру Лебега подмножества $[0,1]$, десятичное разложение которого содержит цифру 2 раньше цифры 3.

Докажите, что канторово множество $F$ измеримо и что $m\left(F\right)=0$.

Пусть $F$ обозначает толстое канторово множество, полученное удалением на шаге $n$ из каждого из $2^{n-1}$ интервалов среднего интервала длины $\alpha^{n} I$, где $0<\alpha \leq 1 / 3$. (В классическом канторовом множестве $\alpha =1 / 3$.) Докажите, что $F$ измеримо, и найдите его меру.

Пусть $0<\lambda <1$; построим множество $K$ следующим образом: удалим из $[0,1]$ его среднюю часть длины $\lambda$; останутся два интервала $\left(a_{1}, b_{1}\right)$ и $\left(a_{2}, b_{2}\right)$. Удалим из каждого из них среднюю часть длины $\lambda \left(b_{i}-a_{i}\right)$ и т.д. Докажите, что $m\left(K\right)=0$.

Приведите пример подмножества $[0,1]$, которое является множеством первой категории и имеет меру Лебега 1.

Докажите, что существует открытое подмножество $\mathbb {R}$, граница которого имеет положительную меру.

Докажите или опровергните: существует всюду плотное несчётное подмножество $\mathbb {R}$ с мерой Лебега нуль.

Докажите или опровергните: если $A$ — открытое подмножество $[0,1]$, то $m\left(A\right)=m\left(\bar{A}\right)$.

Докажите или опровергните: существует открытое всюду плотное подмножество $A$ множества $[0,1] \times [0,1]$ такое, что его дополнение $([0,1] \times [0,1]) \backslash A$ имеет положительную меру Лебега.

Для заданного непустого множества $A \subset \mathbb {R}$ постройте функцию $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, которая постоянна почти всюду и $f(\mathbb {R})=A$.

Докажите, что лебегова $\sigma$-алгебра $\mathcal{M}$ имеет ту же мощность, что и $\mathbb {P}(\mathbb {R})$.

Пусть $\left\{ r_{n}\right\}$ — последовательность, всюду плотная в $\mathbb {R}$, и пусть

Докажите, что $A$ — несчётное множество меры 0.

Пусть $A \subset [0,1]$ — измеримое множество положительной меры. Покажите, что существуют две различные точки $x, y \in A$ такие, что $x-y$ — рациональное число.

Докажите, что существует измеримое множество $A \subset [0,1]$ такое, что $0< m\left(A \cap I\right)<m\left(I\right)$ для каждого интервала $I \subset [0,1]$.