Меры и измеримые множества

Докажите, что считающая мера, введённая в примере 5.1.4, является мерой на $\mathbb {P}(X)$.

Пример 5.1.4: Пусть $X$ — множество и $\mathfrak {M} = \mathbb {P}(X)$. Для $E \subset X$ определим $\mu (E) = n$, если $E$ содержит ровно $n$ элементов, и $\mu (E) = \infty$, если $E$ — бесконечное множество. Тогда $\mu$ называется считающей мерой на $X$.

Докажите, что мера Дирака, введённая в примере 5.1.5, является мерой на $\mathbb {P}(X)$.

Пример 5.1.5: Пусть $x_{0} \in X$ и пусть $\mu (E) = 1$, если $x_{0} \in E$, и $\mu (E) = 0$, если $x_{0} \notin E$. Это мера Дирака $\delta_{x_{0}}$.

Докажите утверждения, сделанные в примере 5.1.6.

Пример 5.1.6: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и пусть $E \in \mathfrak {M}$. Функция $\mu_{E}$ на $\mathfrak {M}$, определённая как $\mu_{E}(A) = \mu \left(E \cap A\right)$, является мерой. Кроме того, множество $\mathfrak {M}_{E} = \left\{ E \cap A : A \in \mathfrak {M}\right\}$ является $\sigma$-алгеброй. Следовательно, $(E, \mathfrak {M}_{E}, \mu_{E})$ — пространство с мерой.

Пусть $\mu$ — функция, определённая на $\mathbb {P}(\mathbb {R})$ формулой

Докажите или опровергните: $\mu$ является мерой.

Пусть $X=\left\{ x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ и предположим, что $\left\{ p_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ — последовательность неотрицательных чисел, такая что $\sum_{n=1}^{\infty } p_{n}=1$. Для любого множества $A \subset X$ определим $N_{A}=\left\{ k \in \mathbb {N} : x_{k} \in A\right\}$ и

Докажите, что $\mu$ является мерой на $\mathbb {P}(X)$.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ — последовательность мер на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ), для которой существует константа $M \geq 0$, такая что $\mu_{n}(X) \leq M$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Определим

Докажите, что $\mu$ является мерой на $\mathfrak {M}$.

Докажите теорему 5.1.9 (ii). Приведите пример, показывающий, что предположение $\mu \left(B_{1}\right)<\infty$ нельзя опустить.

Теорема 5.1.9 (ii) (Непрерывность меры): Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой. Если $\left\{ B_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — убывающая последовательность в $\mathfrak {M}$ и если $\mu \left(B_{1}\right) < \infty$, то $\mu \left(\cap_{n=1}^{\infty } B_{n}\right) = \lim_{n \rightarrow \infty } \mu \left(B_{n}\right)$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой. Докажите, что $\mu$ полуаддитивна на $\mathfrak {M}$.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность мер на $\sigma$-алгебре $\mathcal{A}$, и пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ сходится к функции $\mu$. Другими словами, предположим, что для каждого $A \in \mathcal{A}$, $\lim \mu_{n}(A)=\mu \left(A\right)$. Также предположим, что существует конечная мера $\nu$ на $\mathcal{A}$, такая что для каждого $n \in \mathbb {N}$ и для каждого множества $A \in \mathcal{A}, \mu_{n}(A) \leq \nu \left(A\right)$. Докажите, что $\mu$ является мерой на $\mathcal{A}$. Останется ли это верным, если такой меры $\nu$ не существует?

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и пусть $\left\{ E_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$. Докажите, что множество $A$ всех тех элементов $X$, которые принадлежат бесконечно многим множествам из последовательности $\left\{ E_{n}\right\}$, измеримо.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ — монотонная последовательность мер на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ) и пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ сходится к функции $\mu$. Докажите или опровергните: $\mu$ является мерой на $\mathfrak {M}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой. Пусть $\mathfrak {M}^{\prime }$ — совокупность всех $E \subset X$, для которых существуют $A, B \in \mathfrak {M}$, такие что $A \subset E \subset B$ и $\mu \left(B \backslash A\right)=0$. Для таких $E$ определим $\mu \left(E\right)=\mu \left(A\right)$. Докажите, что $\mathfrak {M}^{\prime }$ — $\sigma$-алгебра и что $\mu$ является мерой на $\mathfrak {M}^{\prime }$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное пространство с мерой и пусть $E \in \mathfrak {M}$, для которого $\mu \left(E\right) \neq 0$. Докажите, что существует измеримое множество $A \subset E$, для которого $0< \mu \left(A\right)<\infty$.

Определим $E=\left\{ x \in [0,1]:\left|x-\frac{p}{q}\right|<q^{-3} \text{ для бесконечно многих } p, q \in \mathbb {N}\right\}$. Докажите, что $m\left(E\right)=0$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и предположим, что существует $n \in \mathbb {N}$ и множество действительных чисел $A=\left\{ a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right\}$, такие что для всех $E \in \mathfrak {M}, \mu \left(E\right) \in A$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и пусть $\mathcal{A}$ — дизъюнктное семейство подмножеств $X$. Докажите, что среди множеств из $\mathcal{A}$ может быть лишь счётное число множеств положительной меры.

Пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$ и пусть $f: X \rightarrow Y$. Докажите или опровергните: если $\mu$ — мера на $X$, то $\lambda \left(E\right):=\mu \left(f^{-1}(E)\right)$ задаёт меру на $Y$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) — измеримое пространство и пусть $\mu$ — конечно-аддитивная мера. Предположим, что $\mu$ $\sigma$-полуаддитивна. Докажите, что $\mu$ является мерой.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) — измеримое пространство и пусть $\mu$ — конечно-аддитивная мера. Предположим, что $\mu$ обладает следующим свойством: если $\left\{ A_{n}\right\}$ — убывающая последовательность множеств в $\mathfrak {M}$, такая что $\cap_{n} A_{n}=\emptyset$, то $\lim_{n} \mu \left(A_{n}\right)=0$. Докажите, что $\mu$ является мерой.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой и пусть $\nu$ — конечно-аддитивная мера. Предположим, что $\nu$ обладает следующим свойством: если $\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$ таковы, что $\lim_{n} \mu \left(A_{n}\right)=0$, то $\lim_{n} \nu \left(A_{n}\right)=0$. Докажите, что $\nu$ является мерой.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и пусть $\mu$ — конечно-аддитивная мера. Предположим, что $\mu$ обладает следующим свойством: если $\left\{ A_{n}\right\}$ — возрастающая последовательность множеств в $\mathfrak {M}$, то $\mu \left(\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}\right)=\lim_{n \rightarrow \infty } \mu \left(A_{n}\right)$. Докажите, что $\mu$ является мерой.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой и пусть $\left\{ E_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$. Докажите, что

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой и пусть $\left\{ E_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $A, B$ — множества в $\mathfrak {M}$, такие что $\mu \left(A \triangle B\right)=0$. Докажите, что для любого $E \in \mathfrak {M}, \mu \left(E \cap A\right)=\mu \left(E \cap B\right)$.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — меры на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ), и определим $\lambda \left(E\right)=\min \left\{ \mu \left(E\right), \nu \left(E\right)\right\}$ и $\omega (E)=\max \left\{ \mu \left(E\right), \nu \left(E\right)\right\}$ для $E \in \mathfrak {M}$. Докажите или опровергните:

Пусть $\mu$ и $\nu$ — меры на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ), и пусть $\alpha \geq 0$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — вероятностное пространство, т.е. пространство с мерой, такое что $\mu \left(X\right)=1$, и пусть $\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$ независимы, то есть для любого $n \in \mathbb {N}$ и любых положительных целых чисел $1 \leq k_{1}<\cdots <k_{n}$,

Докажите, что последовательность $\left\{ A_{n}^{C}\right\}$ также независима.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — вероятностное пространство, т.е. пространство с мерой, такое что $\mu \left(X\right)=1$, и пусть $\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$. Докажите, что $\mu \left(\cap_{k=1}^{n} A_{k}\right) \geq \sum_{k=1}^{n} \mu \left(A_{k}\right)-(n-1)$.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — меры на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ) и предположим, что $\mu \geq \nu$. Докажите, что:

Пусть $X$ — непустое множество, пусть $x_{0} \in X$, и рассмотрим пространство с мерой $\left(X, \mathbb {P}(X), \delta_{x_{0}}\right)$. Докажите, что две функции $f, g: X \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ равны почти всюду тогда и только тогда, когда $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$.

Пусть $X$ — непустое множество, пусть $\mu$ — считающая мера на $X$, и рассмотрим пространство с мерой $(X, \mathbb {P}(X), \mu )$. Докажите, что две функции $f, g: X \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ равны почти всюду тогда и только тогда, когда $f(x)=g(x)$ для каждого $x \in X$.