Продолжение меры по Каратеодори

Докажите, что $\mu^{*}$, определённая в примере 5.2.5, является внешней мерой.

Пример 5.2.5: Пусть $\mathfrak {E}$ — кольцо на $X$, и для $A \subset X$ пусть $\mu^{*}(A) := \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty } \mu (E_{k}) : \left\{ E_{k} : k \in \mathbb {N}\right\} \subset \mathfrak {E} \text{ и } A \subset \cup_{k=1}^{\infty } E_{k}\right\}$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и пусть $\left\{ \mu_{n}^{*}\right\}$ — последовательность внешних мер на $(X, \mathfrak {M})$. Докажите, что $\sum_{n} \mu_{n}^{*}$ и $\sup_{n} \mu_{n}^{*}$ также являются внешними мерами.

Пусть $\mathcal{A}$ — совокупность подмножеств $X$, включающая пустое множество, пусть $F: \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty ]$ такова, что $F(\emptyset )=0$, и пусть

Докажите, что $\mu^{*}$ является внешней мерой. В упражнениях 5.2.4--5.2.7 $X$ — множество и $\mu^{*}: \mathbb {P}(X) \rightarrow [0,+\infty ]$ задана. Докажите, что $\mu^{*}$ является внешней мерой, и определите $\sigma$-алгебру $\mathfrak {M}$ всех измеримых множеств.

$\mu^{*}(A)$ — это число точек в $A$, если $A$ — конечное множество, и $\mu^{*}(A)=\infty$, когда $A$ — бесконечное множество.

$\mu^{*}(\varnothing )=0$ и $\mu^{*}(E)=1$ для $E \neq \varnothing$.

$\mu^{*}(\varnothing )=0, \mu^{*}(X)=2$, и $\mu^{*}(E)=1$ для всех остальных подмножеств $X$.

$\mu^{*}(A)=0$, если $A$ — счётное множество, и $\mu^{*}(A)=1$, если $A$ — несчётное.

Пусть $X$ — бесконечное множество, пусть $\nu$ — считающая мера на $X$, и пусть $F: \mathbb {P}(X) \rightarrow [0,+\infty ]$ определена как $F(A)=\sqrt{\nu \left(A\right)}$.

Пусть $\mu$ — функция, определённая на подмножествах $\mathbb {R}$ так, что $\mu \left(A\right)$ — число целых чисел в $A$.

Пусть $X$ — непустое множество и пусть $\mu$ — функция, определённая на $\mathfrak {E}=\left\{ \varnothing , X\right\}$ формулами $\mu \left(\varnothing \right)=0$ и $\mu \left(X\right)=1$. Определите внешнюю меру $\mu^{*}$, порождённую $\mu$, и $\sigma$-алгебру измеримых множеств.

Пусть $X$ — множество не менее чем из 2 точек, пусть $A$ — собственное непустое подмножество $X$, и пусть $\mu$ — функция, определённая на $\mathfrak {E}=\left\{ A, X\right\}$ формулами $\mu \left(A\right)=1$ и $\mu \left(X\right)=2$. Определите внешнюю меру $\mu^{*}$, порождённую $\mu$, и $\sigma$-алгебру измеримых множеств.

Пусть $\mathfrak {E}=\left\{ \varnothing ,[0,1],[0,3],[2,3]\right\} \subset \mathbb {P}(\mathbb {R})$, и пусть $\mu$ — функция, определённая на $\mathfrak {E}$ формулами $\mu \left(\emptyset \right)=0, \mu \left([0,1]\right)=\mu \left([0,3]\right)=\mu \left([2,3]\right)=1$. Определите внешнюю меру $\mu^{*}$, порождённую $\mu$, и $\sigma$-алгебру измеримых множеств.

Докажите предложение 5.2.14. Останется ли результат верным, если $n$ заменить на $\infty$ ?

Предложение 5.2.14: Если $E_{1}, E_{2}, \ldots , E_{n}$ — попарно непересекающиеся множества в $\mathfrak {M}$ и $A$ — произвольное подмножество $X$, то $\mu^{*}\left(A \cap \left(\cup_{i=1}^{n} E_{i}\right)\right) = \sum_{i=1}^{n} \mu^{*}(A \cap E_{i})$. В частности, $\mu^{*}\left(\cup_{i=1}^{n} E_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n} \mu^{*}(E_{i})$.

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на множестве $X$, пусть $\left\{ A_{n}\right\}$ — последовательность подмножеств $X$, и пусть $\left\{ E_{n}\right\}$ — последовательность попарно непересекающихся измеримых подмножеств $X$, такая что $A_{n} \subset E_{n}$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера, и предположим, что она аддитивна. Докажите, что она счётно-аддитивна, следовательно является мерой.

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на множестве $X$ и пусть $A \subset X$ имеет внешнюю меру 0. Докажите, что

для любого множества $B \subset X$.

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на множестве $X$ и пусть $A \subset X$. Докажите, что $A$ измеримо тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon >0$ существует измеримое множество $E$, такое что $E \subset A$ и $\mu^{*}(A \backslash E)<\varepsilon$.

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на множестве $X$ и пусть $A \subset X$. Предположим, что для каждого $\varepsilon >0$ существует измеримое множество $E$, такое что $\mu^{*}(A \triangle E)<\varepsilon$. Докажите, что $A$ измеримо.

Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на множестве $X$, пусть $A \subset X$, и пусть $E$ — измеримое подмножество $X$. Докажите, что

Пусть $\left(X, \mathfrak {M}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(X, \mathfrak {M}_{2}, \mu_{2}\right)$ — пространства с мерой. Докажите, что $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ порождают одну и ту же внешнюю меру на $X$ (в смысле примера 5.2.5) тогда и только тогда, когда одновременно $\mu_{1}=\mu_{2}^{*}$ на $\mathfrak {M}_{1}$ и $\mu_{2}=\mu_{1}^{*}$ на $\mathfrak {M}_{2}$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и $\mu^{*}$ — внешняя мера на $X$, определённая как в примере 5.2.5. Докажите, что если $E \subset X$, то существует измеримое множество $B$, содержащее $E$, для которого $\mu \left(B\right)=\mu^{*}(E)$.

Пусть $\mathfrak {E}$ — кольцо на $X$, пусть $\mu$ — мера на $\mathfrak {E}$, и пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на $X$, как в примере 5.2.5. Обозначим через $\mathfrak {E}_{\sigma }$ совокупность всех счётных объединений множеств из $\mathfrak {E}$, а через $\mathfrak {E}_{\sigma \delta }$ — совокупность всех счётных пересечений множеств из $\mathfrak {E}_{\sigma }$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, такое что $\mu \left(X\right)=1$, и $\mu^{*}$ — внешняя мера на $X$. Предположим, что $E \subset X$ и $\mu^{*}(E)=1$. Докажите, что если $A, B \in \mathfrak {M}$ и $A \cap E=B \cap E$, то $\mu \left(A\right)=\mu \left(B\right)$.

Докажите, что если $\mu^{*}(E)=0$, то $E \in \mathfrak {M}$ и $\mu \left(E\right)=0$.

Пусть $h:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная, непрерывная слева, возрастающая функция. Докажите, что существует $\sigma$-алгебра $\mathfrak {M} \subset \mathbb {P}([a, b])$ и мера $\mu$ на $\mathfrak {M}$, такие что $\mu \left([x, y\right))=h(y)-h(x)$ для всех $x<y$ в $[a, b]$. Замечание 5.2.19. Эта мера известна как мера Лебега--Стилтьеса, ассоциированная с $h$.

Приведите пример совокупности $\mathcal{A}$ подмножеств $X$ и мер $\mu , \nu$ на $\sigma (\mathcal{A})$, таких что $\mu \left(A\right)=\nu \left(A\right)$ для всех $A \in \mathcal{A}$, но существует множество $E \in \sigma (\mathcal{A})$, для которого $\mu \left(E\right) \neq \nu \left(E\right)$.

Пусть $E \subset X$ таково, что $E \cap A \in \mathfrak {M}$, когда $A \in \mathfrak {M}$ и $\mu \left(A\right)<\infty$. Докажите, что $E \in \mathfrak {M}$.

Докажите, что продолжение по Каратеодори меры $\mu^{\prime }$ единственно, если $\mu^{\prime }$ $\sigma$-конечна на $\mathfrak {E}$.

Пусть $\mathfrak {E}$ — кольцо, содержащее $X$, и предположим, что $\mu$ — конечная мера на $\mathfrak {E}$.

Пусть $\left\{ r_{n}\right\}$ — расположение $\mathbb {Q}$ в последовательность, пусть $\alpha_{n}(E)=1$, если $r_{n} \in E$, и $\alpha_{n}(E)=0$ иначе, и пусть $\mu$ — функция, определённая на подмножествах $\mathbb {R}$ формулой $\mu \left(E\right)=\sum_{n=1}^{\infty } 2^{-n} \alpha_{n}(E)$. Является ли $\mu$ аддитивной? Является ли она $\sigma$-аддитивной?

Для $E \subset \mathbb {N}$ пусть $\alpha_{k}(E)=1$, если $k \in E$, и $\alpha_{k}(E)=0$ иначе. Пусть $\mathfrak {M}$ — совокупность всех множеств, для которых существует $\mu \left(E\right)$, где

Пусть $\mathcal{A}$ — совокупность конечных объединений множеств вида $(a, b] \cap \mathbb {Q}$, где $-\infty \leq a \leq b \leq +\infty$, и определим $\mu \left(\varnothing \right)=0$ и $\mu \left(A\right)=\infty$ для $A \neq \varnothing$. Докажите, что:

Пусть $X$ — непустое множество, пусть $\mathcal{A} \subset \mathbb {P}(X)$, и пусть $\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty ]$. Докажите или опровергните: если $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра, полученная конструкцией Каратеодори, то $\mathcal{A} \subset \mathfrak {M}$.

Пусть $X$ — непустое множество, пусть $E \subset X$, пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера на $\mathbb {P}(X)$, пусть $\mu$ — сужение $\mu^{*}$ на $\sigma$-алгебру $\mathfrak {M}$ $\mu^{*}$-измеримых множеств, и пусть $\mu^{+}$ — внешняя мера, ассоциированная с $\mu$. Докажите, что:

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $\mu^{*}$ — внешняя мера на $X$. Докажите, что $\left|\mu^{*}(A)-\mu^{*}(B)\right| \leq \mu^{*}(A \triangle B)$ для любых $A, B \subset X$, при условии, что хотя бы одно из чисел $\mu^{*}(A), \mu^{*}(B)$ конечно.

Пусть $\mathfrak {E}$ — алгебра на $X$, пусть $\mu$ — конечная мера на $\mathfrak {E}$, пусть $\bar{\mu }$ — её продолжение по Каратеодори на $\sigma$-алгебру $\mathfrak {M}$, пусть $E \in \mathfrak {M}$, и пусть $\varepsilon >0$. Докажите, что существует множество $A \in \mathfrak {E}$, такое что $\bar{\mu }(A \triangle E)<\varepsilon$.

Докажите, что каждая алгебра является кольцом. Приведите пример, показывающий, что обратное неверно.

Докажите, что каждое кольцо, содержащее $X$, также является алгеброй.

Предположим, что $\mathcal{R}$ — кольцо. Докажите, что множество

является алгеброй.

Предположим, что $\mathcal{R}$ — кольцо. Докажите, что множество

является алгеброй.

Пусть $\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathbb {R}^{2}$ — возрастающая последовательность. Докажите, что $m^{*}\left(\cup_{n} A_{n}\right)= \lim m^{*}\left(A_{n}\right)$.