За пределами $\sigma$-алгебры Лебега

Докажите, что отношение $\sim$, введённое при доказательстве теоремы 5.4.2, является отношением эквивалентности.

В доказательстве теоремы 5.4.2 (утверждающей, что любое множество $E \subset \mathbb {R}$ с $m(E) > 0$ содержит неизмеримое подмножество) отношение $\sim$ определяется на $E$ следующим образом: $x \sim y$ тогда и только тогда, когда $x - y \in \mathbb {Q}$.

Докажите теорему 5.4.3.

Теорема 5.4.3: Существуют дизъюнктные множества $A, B \subset \mathbb {R}$ такие, что $m^{*}(A \cup B) < m^{*}(A) + m^{*}(B)$.

Покажите, что существует непрерывная строго возрастающая функция на интервале $[0,1]$, отображающая множество положительной меры на множество меры нуль.

Пусть $f$ — непрерывная функция на множестве $E \subset \mathbb {R}$, и пусть $A$ — измеримое по Лебегу подмножество $\mathbb {R}$. Докажите или опровергните: $f^{-1}(A)$ измеримо.

Пусть $A$ — неизмеримое множество, построенное при доказательстве теоремы 5.4.2, и пусть $B \subset A$ измеримо. Докажите, что $m\left(B\right)=0$.

Пусть $C_{E}$ такое же, как в теореме 5.4.2.

Пусть $A \subset \mathbb {R}$ обладает свойством

Докажите или опровергните: $A$ измеримо.

Покажите, что борелевская $\sigma$-алгебра $\mathcal{B}$ порождается любым из следующих семейств подмножеств $\mathbb {R}^{2}$:

1. Замкнутые множества.

2. Компактные множества.

3. Открытые диски.

4. Прямоугольники.

5. Элементарные множества.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная возрастающая функция, и пусть $E$ — борелевское множество. Докажите, что $f(E)$ также является борелевским множеством.

Докажите, что если $\sigma$-алгебра подмножеств $\mathbb {R}$ содержит все интервалы вида ( $a,+\infty$ ), то она содержит все интервалы.

Покажите, что каждый интервал является борелевским множеством.

Пусть $X=\mathbb {R}^{2}$, пусть $\mathfrak {M}=\mathcal{B}_{2}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств $\mathbb {R}^{2}$, и пусть $\mu =m_{2}$ — двумерная мера Лебега на $\mathcal{B}_{2}$. Пусть $D=\left\{ (x, x): x \in \mathbb {R}\right\}$. Докажите, что $D \in \mathcal{B}_{2}$ и что $m_{2}\left(D\right)=0$.

Докажите, что $\sigma$-алгебра $\mathcal{M}$, полученная в упражнении 5.2.25, содержит все борелевские подмножества $[a, b]$.

Пусть $\mu$ — конечная борелевская мера на $\mathbb {R}^{n}$, и для $x \in \mathbb {R}^{n}$ пусть $f(x)= \mu \left(B(x, 1)\right)$, где $B(x, 1)$ обозначает открытый шар с центром в $x$ радиуса 1. Докажите, что $f$ достигает своего минимума на каждом компактном множестве в $\mathbb {R}^{n}$.

Пусть $E \in \mathcal{B}_{n}, F \in \mathcal{B}_{m}$. Докажите, что $E \times F \in \mathcal{B}_{n+m}$.

Докажите, что каждое измеримое множество в $\mathbb {R}^{n}$ является объединением борелевского множества и множества меры 0.

Пусть $\mathcal{A}$ — счётно порождённая $\sigma$-алгебра, и пусть $\mathcal{C} \subset \mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра. Докажите или опровергните: $\mathcal{C}$ счётно порождена.

Докажите или опровергните: существует $\sigma$-конечная мера на $\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ такая, что каждое борелевское множество с непустой внутренностью имеет бесконечную меру.

Пусть $\mathcal{F}$ — семейство открытых интервалов, концы которых образуют всюду плотное подмножество $\mathbb {R}$. Докажите или опровергните: $\sigma (\mathcal{F})=\mathcal{B}$.

Докажите, что подмножество $\mathbb {P}(\mathbb {R})$, состоящее из множеств вида $A \triangle B$, где $A \in \mathcal{B}$, а $B \in \mathcal{M}$ — множество меры нуль, является $\sigma$-алгеброй.

Пусть $\mu$ — конечная борелевская мера на $\mathbb {R}$, и пусть $A$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}$. Докажите, что $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, определённая как $f(x)=\mu \left(A+x\right)$, полунепрерывна сверху.

Предположим, что $X$ — метрическое пространство. Докажите, что каждое борелевски измеримое подмножество $X$ может быть приближено изнутри замкнутым множеством, т.е. если $E \subset X$ — борелевское множество конечной меры и $\varepsilon >0$, то существует замкнутое множество $F \subset E$ такое, что $\mu \left(E \backslash F\right)<\varepsilon$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{n}$ — неизмеримое множество конечной внешней меры. Покажите, что существует множество $G_{\delta }$ типа $G$ такое, что

Докажите теорему 5.4.13.

Теорема 5.4.13: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой. Определим $\mathfrak {M}_{0}$ как совокупность подмножеств $E$ множества $X$ вида $E = A \cup B$, где $B \in \mathfrak {M}$, а $A$ содержится в множестве $\mu$-меры $0$. Для такого множества $E$ определим $\mu_{0}(E) = \mu (B)$. Тогда $\mathfrak {M}_{0}$ — это $\sigma$-алгебра, содержащая $\mathfrak {M}$, $\mu_{0}$ — единственная мера, продолжающая $\mu$ на $\mathfrak {M}_{0}$, и $(X, \mathfrak {M}_{0}, \mu_{0})$ полна. Более того, $\mathfrak {M}_{0}$ — наименьшая такая $\sigma$-алгебра.

Докажите, что любая мера, полученная из теоремы Каратеодори о продолжении, полна. В частности, мера Лебега полна.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — полное пространство с мерой. Докажите, что если $A \cup B \in \mathfrak {M}$ и $\mu \left(B\right)=0$, то $A \in \mathfrak {M}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — полное пространство с мерой. Докажите, что если $A, B \subset X$ таковы, что $A \in \mathfrak {M}$ и $\mu \left(A \triangle B\right)=0$, то $B \in \mathfrak {M}$ и $\mu \left(B\right)=\mu \left(A\right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, и пусть ( $X, \mathfrak {M}_{0}, \mu_{0}$ ) — его пополнение. Докажите, что $\mu^{*}(E)=\mu_{0}(E)$ для всех $E \in \mathfrak {M}_{0}$.

Докажите теорему 5.4.15.

Теорема 5.4.15: Пространство с мерой Лебега $(\mathbb {R}^{n}, \mathcal{M}_{n}, m_{n})$ является пополнением борелевского пространства с мерой $(\mathbb {R}^{n}, \mathcal{B}_{n}, m_{n}|_{\mathcal{B}_{n}})$. (Пополнением пространства с мерой $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ называется пространство с мерой $(X, \mathfrak {M}_{0}, \mu_{0})$, построенное в теореме 5.4.13: $\mathfrak {M}_{0}$ состоит из всех множеств $E = A \cup B$ с $B \in \mathfrak {M}$ и $A$, содержащимся в множестве $\mu$-меры $0$, и $\mu_{0}(E) = \mu (B)$.)

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой. Определим $\mathfrak {M}_{1}$ как совокупность подмножеств $E$ множества $X$, для которых существуют множества $A, B \in \mathfrak {M}$ такие, что $A \subset E \subset B$ и $\mu \left(B \backslash A\right)=0$. Для такого множества $E$ определим $\mu_{1}(E)=\mu \left(A\right)$. Докажите, что $\left(X, \mathfrak {M}_{1}, \mu_{1}\right)$ является (минимальным) пополнением пространства ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ).