Метрические пространства

Докажите, что множество $\mathbb {R}$ является метрическим пространством с

Докажите, что множество $C[a, b]$ является метрическим пространством с

Докажите, что множество $C[a, b]$ является метрическим пространством с

Докажите теорему 2.1.6.

Теорема 2.1.6: Евклидова норма обладает следующими свойствами: (a) для любого $a \in \mathbb {R}^{n}$, $\left\| a\right\| \geq 0$; (b) $\left\| a\right\| =0$ тогда и только тогда, когда $a=0$; (c) если $\alpha \in \mathbb {R}$ и $a \in \mathbb {R}^{n}$, $\left\| \alpha a\right\| =\left|\alpha \right|\left\| a\right\|$; (d) если $a, b \in \mathbb {R}^{n}$, $\left\| a+b\right\| \leq \left\| a\right\| +\left\| b\right\|$.

Докажите теорему 2.1.7.

Теорема 2.1.7: Множество $\mathbb {R}^{n}$ с функцией расстояния $d(x,y)=\left\| y-x\right\|$ является метрическим пространством.

Докажите, что $\mathbb {R}^{2}$ с расстоянием $d\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right):=\left|x_{1}-y_{1}\right|+\left|x_{2}-y_{2}\right|$ является метрическим пространством.

Докажите, что $\mathbb {R}^{2}$ с расстоянием $d\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right):=\max \left\{ \left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|\right\}$ является метрическим пространством.

Докажите, что множество $\mathbb {R}$ является метрическим пространством с

Докажите, что множество $C^{1}[a, b]$ дифференцируемых функций на $[a, b]$ с непрерывными производными является метрическим пространством с $d(f, g):=\max \left\{ \left|f(x)-g(x)\right|: a \leq x \leq b\right\} +\max \left\{ \left|f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\right|: a \leq x \leq b\right\}$.

Докажите, что множество $C(-\infty , \infty )$ является метрическим пространством с

Определите значения $p$, при которых $\left|x-y\right|^{p}$ является метрикой на $\mathbb {R}$.

Пусть $M$ — произвольное непустое множество, и определим $d: M \rightarrow \mathbb {R}$ следующим образом: $d(x, y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$, и $d(x, y)=1$ в противном случае. Докажите, что ( $M, d$ ) — метрическое пространство

Пусть $c$ — множество всех ограниченных последовательностей, и для $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\} \in c$ пусть $d\left(\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\} \right)=\sup \left\{ \left|a_{n}-b_{n}\right|: n \in \mathbb {N}\right\}$. Докажите, что $(c, d)$ — метрическое пространство.

Пусть, для $1 \leq i \leq n$, ( $M_{i}, d_{i}$ ) — метрические пространства. Пусть $M= M_{1} \times M_{2} \times \cdots \times M_{n}$, и для $x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right), y=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots , y_{n}\right) \in M$ пусть $d(x, y)=\sum_{k=1}^{n} d_{k}\left(x_{k}, y_{k}\right)$. Докажите, что ( $M, d$ ) — метрическое пространство.

Опишите открытые и замкнутые шары в метрическом пространстве $\left(\mathbb {R}^{2}, d\right)$, где расстояние $d$ определено как $d\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right):=\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|^{3}+\left|x_{2}-y_{2}\right|^{3}\right)^{1 / 3}$.

Опишите открытые и замкнутые шары в метрическом пространстве ( $C[0,1], d$ ), где $d(f, g):=\sup \left\{ \left|f(x)-g(x)\right|: x \in [0,1]\right\}$.

Пусть $u(x)=\sin x$ и $v(x)=0$, и пусть $C[0,2 \pi ]$ обозначает метрическое пространство непрерывных функций на $[0,2 \pi ]$ с расстоянием $d(f, g):=\sup \left\{ \left|f(x)-g(x)\right|: x \in [0,2 \pi ]\right\}$. Приведите пример функции, принадлежащей одновременно $B(u, 2 / 3)$ и $B(v, 2 / 3)$.

В метрическом пространстве $(\mathbb {R}, d)$, где

опишите открытые шары $B(0, r)$ для:

Докажите, что $G:=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2}: x^{2}+y^{2} \neq 1\right\}$ — открытое множество в $\mathbb {R}^{2}$.

Докажите, что открытый шар в метрическом пространстве является открытым множеством.

Докажите, что следующие условия эквивалентны для множества $A$ в метрическом пространстве:

Докажите, что в метрическом пространстве:

Докажите, что внутренность интервала $[a, b)$ есть открытый интервал $(a, b)$.

Докажите, что множество $\mathbb {Q}$ имеет пустую внутренность.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство. Докажите, что:

Пусть $A, B$ — подмножества $\mathbb {R}$. Докажите, что $\operatorname {Int}(A \times B)=\operatorname {Int} A \times \operatorname {Int} B$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство. Докажите, что:

Докажите, что множество всех рациональных чисел между $\sqrt{2}$ и $\pi$ является замкнутым множеством в метрическом пространстве $\mathbb {Q}$ с расстоянием $d(x, y)=\left|x-y\right|$.

Докажите, что замкнутый шар в метрическом пространстве является замкнутым множеством.

Докажите, что в метрическом пространстве ( $M, d$ ), если $a \in M$ и $r>0$, то множество $\left\{ x: d(x, a)=r\right\}$ замкнуто.

Приведите пример двух замкнутых множеств $A, B$, таких что $A \cap B=\varnothing$, но $\operatorname {dist}(A, B)=0$.

Докажите, что множество иррациональных чисел является множеством типа $G_{\delta }$.

Докажите, что замыкание интервала $[a, b)$ есть замкнутый интервал $[a, b]$.

Докажите, что замыкание множества $\mathbb {Q}$ есть $\mathbb {R}$.

Докажите, что в метрическом пространстве:

Докажите, что следующие условия эквивалентны для множества $A$ в метрическом пространстве:

Докажите, что замыкание множества $A$ равно пересечению всех замкнутых множеств, содержащих $A$.

Докажите, что в метрическом пространстве:

Докажите или опровергните: в метрическом пространстве ( $M, d$ ) замыкание открытого шара $B(c, r)$ есть замкнутый шар $B[c, r]$.

Докажите, что граница интервала $[a, b)$ есть множество $\left\{ a, b\right\}$.

Докажите, что граница $\mathbb {Q}$ есть множество $\mathbb {R}$.

Докажите, что граница любого множества замкнута.

Докажите, что точка $x$ в метрическом пространстве принадлежит $\partial A$ тогда и только тогда, когда каждый шар $B(x, r)$ имеет непустое пересечение как с $A$, так и с $A^{C}$.

Докажите, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу.

Докажите, что внутренность границы замкнутого множества есть пустое множество.

Приведите пример метрического пространства, в котором граница открытого единичного шара является собственным подмножеством единичной сферы с тем же центром.

Докажите, что в метрическом пространстве каждая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши.

Докажите, что если последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ не сходится к $x$, то найдётся открытый шар $B(x, r)$, не содержащий ни одного члена последовательности.

Пусть $G$ — открытое множество в $\mathbb {R}^{n}$, пусть $x_{0} \in \mathbb {R}^{n}$, и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в $\mathbb {R}^{n}$, сходящаяся к $x_{0}$. Докажите, что $G+x_{0} \subset \liminf \left(G+x_{n}\right)$.

Пусть $F$ — замкнутое множество в $\mathbb {R}^{n}$, пусть $x_{0} \in \mathbb {R}^{n}$, и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в $\mathbb {R}^{n}$, сходящаяся к $x_{0}$. Докажите, что $F+x_{0} \supset \limsup \left(F+x_{n}\right)$.

Пусть $A$ — множество в метрическом пространстве $M$, и пусть $a$ — предельная точка $A$. Докажите, что найдётся последовательность $\left\{ a_{n}\right\} \subset A$, сходящаяся к $a$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, и пусть $\lim x_{n}=x, \lim y_{n}=y$. Докажите, что $\lim d\left(x_{n}, y_{n}\right)=d(x, y)$.

В упражнениях 2.2.7-2.2.9, $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j=1}^{\infty }$ — последовательность неотрицательных действительных чисел.

Докажите, что $\sum_{i=1}^{\infty } \sum_{j=1}^{\infty } a_{i j}=\sum_{j=1}^{\infty } \sum_{i=1}^{\infty } a_{i j}$.

В упражнениях 2.2.7-2.2.9, $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j=1}^{\infty }$ — последовательность неотрицательных действительных чисел.

Докажите, что $\sup_{i=1}^{\infty } \sup_{j=1}^{\infty } a_{i j}=\sup_{j=1}^{\infty } \sup_{i=1}^{\infty } a_{i j}$.

В упражнениях 2.2.7-2.2.9, $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j=1}^{\infty }$ — последовательность неотрицательных действительных чисел.

Докажите, что $\sup_{i=1}^{\infty } \sum_{j=1}^{\infty } a_{i j} \leq \sum_{j=1}^{\infty } \sup_{i=1}^{\infty } a_{i j}$. Приведите пример, показывающий, что неравенство может быть строгим.

Пусть $F \subset \mathbb {R}$ — замкнутое множество, содержащееся в дизъюнктном объединении интервалов $(a, b)$ и $(c, d)$. Докажите, что $F \cap (a, b)$ — замкнутое множество.

Пусть $A, B$ — замкнутые подмножества $\mathbb {R}$. Докажите, что $A \times B$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}^{2}$.

Докажите, что в метрическом пространстве каждое замкнутое множество является множеством типа $G_{\delta }$, а каждое открытое множество — множеством типа $F_{\sigma }$.

Докажите, что метрическое пространство $([0,1], d)$, где $d(x, y)=\left|x-y\right|$, полно.

Докажите, что евклидово пространство $\mathbb {R}^{n}$ полно.

Докажите, что метрическое пространство $(\mathbb {Q}, d)$, где $d(x, y)=\left|x-y\right|$, не является полным.

Докажите, что множество всех многочленов на $[0,1]$ с метрикой $d(p, q):= \max \left\{ \left|p(x)-q(x)\right|: 0 \leq x \leq 1\right\}$ не является полным метрическим пространством.

Докажите, что множество $C[0,1]$ с метрикой

не является полным.

Докажите, что если подпространство метрического пространства полно, то оно замкнуто.

Приведите пример метрического пространства ( $M, d$ ) и замкнутого множества $A \subset M$, которое не является полным.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — сходящаяся последовательность в метрическом пространстве. Докажите, что каждая подпоследовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ сходится к тому же пределу.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в метрическом пространстве, и предположим, что каждая из трёх её подпоследовательностей $\left\{ x_{2 n}\right\} ,\left\{ x_{2 n+1}\right\}$, и $\left\{ x_{3 n}\right\}$ сходится. Докажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ — сходящаяся последовательность.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в метрическом пространстве, и предположим, что каждая из её бесконечно многих подпоследовательностей $\left\{ x_{s n}\right\}$, где $s=2,3, \ldots$, сходится. Докажите или опровергните: $\left\{ x_{n}\right\}$ — сходящаяся последовательность.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в метрическом пространстве ( $M, d$ ), пусть $x \in M$, и предположим, что каждая подпоследовательность $\left\{ x_{n_{k}}\right\} \subset \left\{ x_{n}\right\}$ имеет дальнейшую подпоследовательность $\left\{ y_{n}\right\}$, сходящуюся к $x$. Докажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ сходится к $x$.

Пусть ( $X, d$ ) — метрическое пространство, не являющееся полным, и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность Коши в $X$, не являющаяся сходящейся. Докажите, что множество $E=\left\{ x_{n}\right\}$ замкнуто.

В упражнениях 2.2.25-2.2.28 определите, какая из следующих последовательностей является (a) последовательностью Коши, (b) быстро сходящейся по Коши последовательностью в ( 0,1 ).

$x_{n}=1 / n$.

В упражнениях 2.2.25-2.2.28 определите, какая из следующих последовательностей является (a) последовательностью Коши, (b) быстро сходящейся по Коши последовательностью в ( 0,1 ).

$1,0,1 / 2,0,1 / 3,0,1 / 4,0, \ldots$.

В упражнениях 2.2.25-2.2.28 определите, какая из следующих последовательностей является (a) последовательностью Коши, (b) быстро сходящейся по Коши последовательностью в ( 0,1 ).

$x_{n}=e^{n} / n!$.

В упражнениях 2.2.25-2.2.28 определите, какая из следующих последовательностей является (a) последовательностью Коши, (b) быстро сходящейся по Коши последовательностью в ( 0,1 ).

$1,1,1 / 4,1 / 4,1 / 9,1 / 9,1 / 16,1 / 16, \ldots$.

В упражнениях 2.2.29-2.2.32 определите, какая из следующих последовательностей является (a) последовательностью Коши, (b) быстро сходящейся по Коши последовательностью в метрическом пространстве $C[0,1]$ (см. упражнение 2.1.2).

$f_{n}(x)=x^{n}$

В упражнениях 2.2.29-2.2.32 определите, какая из следующих последовательностей является (a) последовательностью Коши, (b) быстро сходящейся по Коши последовательностью в метрическом пространстве $C[0,1]$ (см. упражнение 2.1.2).

$f_{n}(x)=x^{n} / n$

В упражнениях 2.2.29-2.2.32 определите, какая из следующих последовательностей является (a) последовательностью Коши, (b) быстро сходящейся по Коши последовательностью в метрическом пространстве $C[0,1]$ (см. упражнение 2.1.2).

$f_{n}(x)=x^{n} / \sqrt{n}$

В упражнениях 2.2.29-2.2.32 определите, какая из следующих последовательностей является (a) последовательностью Коши, (b) быстро сходящейся по Коши последовательностью в метрическом пространстве $C[0,1]$ (см. упражнение 2.1.2).

$f_{n}(x)=\sin n x$

Докажите теорему 2.2.23.

Теорема 2.2.23: Метрическое пространство полно тогда и только тогда, когда каждая быстро сходящаяся по Коши последовательность сходится. (Последовательность $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ в метрическом пространстве $(M,d)$ называется быстро сходящейся по Коши, если существует сходящийся ряд положительных чисел $\sum_{k=1}^{\infty } \varepsilon_{k}$, такой что $d(x_{k+1}, x_{k}) \leq \varepsilon_{k}^{2}$ для всех $k$.)

Докажите, что последовательность Коши в метрическом пространстве ограничена.

Докажите, что каждое вполне ограниченное метрическое пространство ограничено.

Докажите, что каждое ограниченное подмножество $\mathbb {R}^{n}$ вполне ограничено.

Докажите, что замыкание вполне ограниченного множества в метрическом пространстве вполне ограничено.

Докажите, что метрическое пространство ( $M, d$ ) вполне ограничено тогда и только тогда, когда каждая последовательность в $M$ имеет подпоследовательность Коши.

Докажите, что замыкание ограниченного множества в метрическом пространстве ограничено.

Докажите, что компактное множество в метрическом пространстве замкнуто.

Докажите, что замкнутое подмножество компактного метрического пространства компактно.

Докажите, что метрическое пространство ( $M, d$ ) компактно тогда и только тогда, когда каждое бесконечное подмножество $M$ имеет предельную точку в $M$.

Докажите, что подмножество полного метрического пространства $M$ компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено и замкнуто.

В метрическом пространстве $(\mathbb {Q}, d)$, где $d(x, y)=\left|x-y\right|$, определите все подпространства, которые являются:

Докажите или опровергните: множество $\mathbb {N}$ является компактным подмножеством ( $\mathbb {R}, d$ ), где $d(x, y)=\left|x-y\right|$.

Пусть ( $M, d$ ) — полное метрическое пространство. Докажите, что множество $A \subset M$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда $\bar{A}$ компактно.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство всех ограниченных последовательностей с метрикой $d(a, b)=\sup \left\{ \left|a_{n}-b_{n}\right|: n \in \mathbb {N}\right\}$, где $a=\left\{ a_{n}\right\}$ и $b=\left\{ b_{n}\right\}$. (См. упражнение 2.1.13.) Пусть $B$ — замкнутый шар радиуса 1 с центром в нулевой последовательности $(0,0, \ldots )$. Докажите, что $B$ ограничен и замкнут, но не является секвенциально компактным.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, и пусть $A \subset M$ — множество, такое что $A \cap K$ компактно для каждого компактного множества $K \subset M$. Докажите, что $A$ замкнуто в $M$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство. Докажите, что расстояние между замкнутым множеством и компактным множеством, которые не пересекаются, не может быть равно 0. Приведите пример, показывающий, что это неверно, если оба множества лишь замкнуты.

Пусть $K_{1}, K_{2}$ — непересекающиеся компактные подмножества метрического пространства ( $M, d$ ). Докажите, что существуют непересекающиеся открытые множества $G_{1}, G_{2}$, такие что $K_{1} \subset G_{1}$ и $K_{2} \subset G_{2}$.

Докажите, что метрическое пространство $M$ компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство замкнутых подмножеств $M$ с свойством конечных пересечений (то есть каждое конечное подсемейство имеет непустое пересечение) имеет непустое пересечение.

Докажите, что метрическое пространство $M$ компактно тогда и только тогда, когда каждая убывающая последовательность непустых замкнутых множеств в $M$ имеет непустое пересечение.

Докажите, что объединение конечного числа компактных множеств в метрическом пространстве компактно.

Пусть $M$ — компактное метрическое пространство, и пусть $\left\{ G_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — возрастающая последовательность открытых подмножеств $M$, такая что $M=\cup_{n=1}^{\infty } G_{n}$. Докажите, что $M=G_{k}$ для некоторого $k \in \mathbb {N}$.

Пусть $\left\{ M_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ — компактные метрические пространства. Докажите, что $M:=M_{1} \times M_{2} \times \cdots \times M_{n}$ является компактным метрическим пространством относительно метрики $d$, как в упражнении 2.1.14.

Определите, является ли $C[0,1]$ секвенциально компактным.

Определите, является ли метрическое пространство ( $M, d$ ) секвенциально компактным, где $d(x, y)=0$, если $x=y$, и $d(x, y)=1$, если $x \neq y$.

Определите, является ли метрическое пространство ( $\mathbb {R}, d$ ) секвенциально компактным, где

Определите, является ли метрическое пространство ( $C[0,1], d$ ) секвенциально компактным, где

Определите, является ли метрическое пространство $(C(-\infty , \infty ), d)$ секвенциально компактным, где

Докажите теорему 2.3.18.

Теорема 2.3.18: Пусть $(M,d)$ — компактное метрическое пространство, и пусть $f: M \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Тогда $f$ ограничена и достигает своих экстремальных значений на $M$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, и пусть $f, g: M \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывны. Докажите, что $\max \left\{ f, g\right\}$ и $\min \left\{ f, g\right\}$ непрерывны.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, пусть $x_{0} \in \mathbb {R}$, и предположим, что для каждого интервала $(a, b)$, содержащего $x_{0}$, функция $f$ неограничена на ( $a, b$ ). Докажите, что $f$ не является непрерывной в $x_{0}$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, пусть $f: M \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, и пусть $E \subset M$. Докажите, что $\sup \left\{ \left|f(x)\right|: x \in E\right\} =\sup \left\{ \left|f(x)\right|: x \in \bar{E}\right\}$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — строго возрастающая непрерывная функция. Докажите, что $f^{-1}$ непрерывна.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, пусть $f, g: M \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывны, и пусть $\alpha \in \mathbb {R}$. Докажите, что $\alpha f, f+g$ и $f g$ непрерывны. Более того, если $g(x) \neq 0$ на $M$, докажите, что $f / g$ непрерывна.

Пусть $f$ — вещественнозначная функция на метрическом пространстве $X$. Покажите, что множество точек, в которых $f$ непрерывна, является пересечением счётного семейства открытых множеств. Заключите, что не существует вещественнозначной функции на $\mathbb {R}$, непрерывной только в рациональных точках.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и $K$ — компактное подмножество $M$. Предположим, что функция $f: K \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Докажите, что $f(K)$ — компактное подмножество $\mathbb {R}$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и $A \subset M$. Предположим, что функции $f, g: M \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывны и $f(x)=g(x)$ при $x \in A$. Докажите, что $f(x)=g(x)$ для всех $x \in \bar{A}$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, пусть $A \subset M$, и пусть $h(x)=d(x, A)= \inf \left\{ d(x, a): a \in A\right\}$. Докажите, что $d$ — непрерывная функция на $M$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и пусть $A$ и $B$ — непересекающиеся замкнутые подмножества $M$. Докажите, что существует непрерывная вещественнозначная функция $f$ на $M$ такая, что $0 \leq f(x) \leq 1$ для всех $x \in M$, $f(x)=0$ на $A$, и $f(x)=1$ на $B$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность непрерывных функций, сходящаяся к $f$ равномерно на $[a, b]$, и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в $[a, b]$, сходящаяся к $x$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\left(x_{n}\right)\right\}$ сходится к $f(x)$.

Докажите теорему 2.3.17.

Теорема 2.3.17: Пусть $(M,d)$ — метрическое пространство. Всякое равномерно непрерывное отображение $f: M_{1} \rightarrow M_{2}$ непрерывно. Если, кроме того, $M_{1}$ компактно, то всякое непрерывное отображение $f: M_{1} \rightarrow M_{2}$ равномерно непрерывно.

Определите, является ли функция $F$ из примера 2.3.12 равномерно непрерывной на $C[0,1]$.

Пример 2.3.12: Пусть $a \in [0,1]$. Функция $F: C[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, определённая как $F(f) = f(a)$, непрерывна на метрическом пространстве $C[0,1]$.

Определите, является ли функция $F$ из примера 2.3.12 непрерывной на ( $C[0,1], d$ ) с $d$, определённой как в упражнении 2.1.3, а именно

Является ли она равномерно непрерывной?

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и $\left\{ x_{n}\right\} \subset A \subset M$ — фундаментальная последовательность. Предположим, что функция $f: M \rightarrow \mathbb {R}$ равномерно непрерывна на $A$. Докажите, что $\left\{ f\left(x_{n}\right)\right\}$ — фундаментальная последовательность в $\mathbb {R}$. Что если предположить, что $f$ лишь непрерывна?

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и пусть $f: M \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что следующие утверждения равносильны:

Докажите, что функция $f=\chi_{(0,1]}$ полунепрерывна сверху в каждой точке, кроме $x=0$, и полунепрерывна снизу в каждой точке, кроме $x=1$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство. Предположим, что для каждого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$, метрическое пространство ( $W, \rho$ ), и отображение $\Phi : M \rightarrow W$ такие, что $\Phi (M)$ вполне ограничено, и всякий раз, когда $x, y \in M$ таковы, что $\rho (\Phi (x), \Phi (y))<\delta$, то $d(x, y)<\varepsilon$. Докажите, что $M$ вполне ограничено.