Пределы функций

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, $A \subset M, f, g: M \rightarrow \mathbb {R}$, и пусть $a$ — предельная точка $A$. Также пусть $\alpha$ — вещественное число. Если $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ и $\lim_{x \rightarrow a} g(x)$ оба существуют, докажите, что

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, $A \subset M$, и $f, g: M \rightarrow \mathbb {R}$ удовлетворяют $f(x)<g(x)$ для всех $x \in A$. Если $a$ — предельная точка $A$ и если $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ и $\lim_{x \rightarrow a} g(x)$ оба существуют, докажите, что $\lim_{x \rightarrow a} f(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} g(x)$.

Пусть $F: C[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ определена как $F(f)=f(0)$, и пусть $g(x)=x^{2}$. Найдите $\lim_{f \rightarrow g} F(f)$.

Пусть $d$ — метрика на $C[0,1]$, определённая как

(см. упражнение 2.1.3). Пусть $F: C[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ определена как $F(f)=f(0)$, и пусть $g(x)=x^{2}$. Найдите $\lim_{f \rightarrow g} F(f)$.

Пусть $d$ — метрика на $\mathbb {R}$, определённая как

(см. упражнение 2.1.8), и пусть $\rho$ обозначает обычное расстояние на $\mathbb {R}$, $\rho (x, y)=\left|x-y\right|$. Пусть $f:(\mathbb {R}, d) \rightarrow (\mathbb {R}, \rho )$ определена как $f(x)=x^{2}$. Найдите $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$.

Докажите теорему 2.4.5.

Теорема 2.4.5: Пусть $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ — последовательность вещественных чисел. Тогда

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, пусть $f: M \rightarrow \mathbb {R}$, и пусть $a \in M$. Докажите, что $\limsup_{x \rightarrow a} f(x)$ и $\liminf_{x \rightarrow a} f(x)$ всегда существуют либо как конечные числа, либо как $\pm \infty$.

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — последовательность вещественных чисел. Докажите, что $\lim \sup a_{n}$ равен $\limsup_{x \rightarrow 0} f(x)$, где функция $f:\left\{ 1,1 / 2,1 / 3, \ldots \right\} \rightarrow \mathbb {R}$ определена как $f(1 / n)=a_{n}$.

Докажите, что $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ существует тогда и только тогда, когда оба верхних предела и оба нижних предела (слева и справа) все равны между собой.

Если $f$ определена на $[-c, c]$ и $x_{0} \in (-c, c)$, докажите следующее:

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, пусть $f: M \rightarrow \mathbb {R}$, и пусть $g: M \rightarrow \mathbb {R}$ определена как $g(x)=\limsup_{t \rightarrow x} f(t)$. Докажите, что $g$ полунепрерывна сверху.

Пусть $\left\{ A_{n}\right\}$ — произвольное семейство подмножеств множества $X$. Докажите, что

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $f_{n}: M \rightarrow [0,+\infty ]$. Докажите, что

Пусть $f$ и $g$ — вещественнозначные функции на интервале $(a-\eta , a+\eta )$. Докажите, что

Пусть $f$ и $g$ — строго положительные функции на интервале $(a-\eta , a+\eta )$, и предположим, что $\liminf_{x \rightarrow a} f(x)$ и $\limsup_{x \rightarrow a} f(x)$ существуют и не равны 0. Докажите, что:

Пусть $f$ и $g$ — неотрицательные функции на интервале ( $a-\eta , a+ \eta )$, и предположим, что $\liminf_{x \rightarrow a} f(x), \limsup_{x \rightarrow a} f(x), \liminf_{x \rightarrow a} g(x)$ и $\limsup_{x \rightarrow a} g(x)$ существуют и не равны 0. Докажите, что

Пусть $f$ и $g$ — неотрицательные функции на интервале ( $a-\eta , a+\eta$ ), и предположим, что $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ существует. Докажите, что:

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, $A \subset M$, и $f: M \rightarrow \mathbb {R}$. Если $a$ — предельная точка $A$, докажите, что:

Докажите следствие 2.4.9.

Следствие 2.4.9: Пусть $(M,d)$ — метрическое пространство, пусть $f: M \rightarrow \mathbb {R}$, и пусть $A \subset M$. Если $a$ — предельная точка $A$, то

где $W(f, a) = \left\{ w : \exists \left(a_{n}\right) \subset A \setminus \left\{ a\right\} , \lim a_{n} = a, \lim f(a_{n}) = w\right\}$ — множество всех частичных пределов $f$ вдоль последовательностей в $A \setminus \left\{ a\right\}$, сходящихся к $a$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, пусть $f: M \rightarrow \mathbb {R}$, и пусть $A \subset M$. Если $a$ — предельная точка $A$, докажите, что

Пусть $a \in \mathbb {R}$ и $f:(a,+\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что предел $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)$ существует тогда и только тогда, когда $\limsup_{x \rightarrow +\infty } f(x)=\liminf_{x \rightarrow +\infty } f(x)$, и в этом случае они все равны между собой.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что

Пусть $a \in \mathbb {R}$ и $f:(a,+\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что $\limsup_{x \rightarrow +\infty } f(x)=L$ тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$, сходящейся к $+\infty$, $\limsup_{x \rightarrow +\infty } f\left(a_{n}\right)=L$.

Пусть $f:(a,+\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что

Докажите теорему 2.4.20.

Теорема 2.4.20: Пусть $f$ — дифференцируемая функция на множестве $E \subset \mathbb {R}$. Тогда $f$ липшицева с константой $K = \sup \left\{ \left|f'(x)\right| : x \in E\right\}$ тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную производную.

Предположим, что $f$ — вещественнозначная липшицева функция на $(a, b)$. Докажите, что $f$ равномерно непрерывна на $(a, b)$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и $x_{0} \in M$. Пусть $f: M \rightarrow \mathbb {R}$ определена как $f(x)=d\left(x, x_{0}\right)$. Докажите, что $f$ равномерно непрерывна.

Приведите пример функции, которая непрерывна, но не равномерно непрерывна. Приведите пример функции, которая равномерно непрерывна, но не липшицева.

Приведите пример функции, липшицевой на множестве $E$, но не дифференцируемой в точке $x \in E$.

Пусть $f$ — вещественнозначная функция, определённая на множестве $A \subset \mathbb {R}^{2}$, такая, что она является непрерывной функцией от $x$ (при фиксированном $y$), и пусть $f$ удовлетворяет условию Липшица по $y$, т.е. предположим, что существует $M>0$ такое, что

для всех $\left(x, y_{1}\right),\left(x, y_{2}\right) \in A$. Докажите, что $f$ непрерывна на $A$.

Пусть $d(x, y)=\sqrt{\left|x-y\right|}$, пусть $\rho (x, y)=\left|x-y\right|$, и рассмотрим $f$ : $([0,1], d) \rightarrow ([0,1], \rho )$, определённую как $f(x)=x^{\alpha }$. Определите, при каких значениях $\alpha >0$ функция $f$ липшицева.

Пусть $(C[0,1], d)$ — метрическое пространство с $d(f, g)=\sup \left\{ \left|f(x)-g(x)\right|: x \in [0,1]\right\}$, и пусть $F: C[0,1] \rightarrow C[0,1]$ определена как $F(f)=f^{2}$. Определите, является ли $F$ липшицевой.

Пусть ( $C[0,1], d$ ) — метрическое пространство с $d(f, g)=\sup \left\{ \left|f(x)-g(x)\right|: x \in [0,1]\right\}$, и пусть $F: C[0,1] \rightarrow C[0,1]$ определена как $F(f)=\sin f$. Определите, является ли $F$ липшицевой.

Пусть $d: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ определена как $d(x, y)=1$, если $x \neq y$, и $d(x, y)=0$, если $x=y$, пусть $\rho (x, y)=\left|x-y\right|$, и рассмотрим $f:(\mathbb {R}, d) \rightarrow (\mathbb {R}, \rho )$, определённую как $f(x)=x^{2}$. Определите, равномерно ли непрерывна $f$. Является ли она липшицевой?