Теорема Бэра

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и $A, B, C \subset M$. Докажите, что если $A$ плотно в $B$ и $B$ плотно в $C$, то $A$ плотно в $C$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и $A \subset M$. Докажите, что $A$ плотно в $M$ тогда и только тогда, когда внутренность $A^{C}$ пуста.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, пусть $A, B$ — плотные подмножества $M$, и предположим, что $A$ открыто.

Пусть ( $M, d$ ) — полное метрическое пространство и $\left\{ G_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — открытые плотные подмножества $X$. Докажите, что пересечение $\cap_{n=1}^{\infty } G_{n}$ плотно в $M$.

Пусть $G$ — открытое плотное множество в метрическом пространстве $M$, и пусть $N$ — множество с пустой внутренностью. Докажите, что $G \backslash N$ плотно в $M$

Пусть $\mathcal{A}$ — семейство всех нигде не плотных подмножеств метрического пространства $(M, d)$. Докажите, что:

Пусть $A$ — замкнутое подмножество метрического пространства ( $M, d$ ). Докажите, что граница $A$ нигде не плотна. Что если $A$ — открытое множество?

Пусть $A$ — плотное подмножество метрического пространства. Докажите или опровергните: множество $A^{C}$ нигде не плотно.

Докажите, что график $y=x$ нигде не плотен в $\mathbb {R}^{2}$.

Докажите, что множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотно.

Пусть $A$ — замкнутое подмножество метрического пространства такое, что каждая точка $A$ является предельной точкой как $A$, так и $A^{C}$. Докажите, что $A$ нигде не плотно.

Докажите, что множество $A$ в метрическом пространстве нигде не плотно тогда и только тогда, когда для каждого открытого множества $G$ найдётся открытое множество $G_{1} \subset G$ такое, что $G_{1} \cap A=\varnothing$.

Пусть $E$ — подмножество полного метрического пространства $M$, и предположим, что и $E$, и $E^{C}$ плотны. Докажите, что не более чем одно из них является объединением счётного семейства замкнутых множеств. Заключите, что множество рациональных чисел в $[0,1]$ не является пересечением счётного семейства открытых множеств.

Пусть $M$ — полное метрическое пространство без изолированных точек, и пусть $\left\{ F_{n}\right\}$ — счётное семейство замкнутых, нигде не плотных множеств. Докажите, что $\left(\cup_{n=1}^{\infty } F_{n}\right)^{C}$ плотно в $M$ и несчётно.

Пусть ( $M, d$ ) — полное метрическое пространство без изолированных точек. Докажите, что $M$ несчётно. Заключите, что множество всех вещественных чисел несчётно.

Докажите, что множество рациональных чисел не является множеством типа $G_{\delta }$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство. Докажите, что оно второй категории тогда и только тогда, когда, всякий раз, когда $M=\cup_{n=1}^{\infty } F_{n}$, где каждое $F_{n}$ замкнуто, хотя бы одно из множеств $F_{k}$ содержит открытый шар.

Докажите, что если подмножество метрического пространства второй категории, то оно обязательно несчётно. Заключите, что интервал $[0,1]$ несчётен.

Докажите, что в полном метрическом пространстве множество первой категории тогда и только тогда, когда его дополнение содержит плотное множество типа $G_{\delta }$.

Докажите, что если $A \subset \mathbb {R}$ — множество первой категории, то $A^{C}+A^{C}=\mathbb {R}$, где $A^{C}+A^{C}=\left\{ x+y: x \in A^{C}, y \in A^{C}\right\}$.

Приведите пример метрического пространства, которое второй категории, но не полно.

Пусть ( $M, d$ ) — сепарабельное метрическое пространство и $E$ — ограниченное подмножество $M$. Докажите, что $(E, d \mid E)$ сепарабельно.

Докажите, что каждое вполне ограниченное метрическое пространство сепарабельно.

Докажите, что компактное метрическое пространство сепарабельно.

Если $P$ — бесконечно дифференцируемая функция такая, что для каждого $x$ найдётся $n$ с $P^{(n)}(x)=0$, докажите, что $P$ — многочлен. (Заметим, что $n$ зависит от $x$.)

Предположим, что $f:[0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty )$ — непрерывная функция со следующим свойством: для всех $x \in [0,+\infty )$ последовательность $f(x), f(2 x), f(3 x), \ldots$ стремится к 0. Докажите, что $\lim_{t \rightarrow \infty } f(t)=0$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность вещественнозначных функций на $[0,1]$, определённая как $f_{0}=f \in C[0,1]$, а $f_{n}$ — первообразная $f_{n-1}$. Предположим, что для каждого $x \in [0,1]$ найдётся $n \in \mathbb {N}$, для которого $f_{n}(x)=0$. Докажите, что $f=0$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность непрерывных вещественнозначных функций на $M$, и предположим, что существует множество $A \subset M$ второй категории такое, что $\sup \left\{ \left|f_{n}(x)\right|: n \in \mathbb {N}\right\}$ конечен для каждого $x \in A$. Докажите, что существуют шар $B\left(x_{0}, r\right)$ и $K>0$ такие, что $\left|f_{n}(x)\right| \leq K$ для всех $n \in \mathbb {N}$ и всех $x \in B\left(x_{0}, r\right)$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и пусть $G$ — открытое подмножество $M$. Докажите, что $G$ второй категории в себе.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и пусть $G$ — подмножество $M$ типа $G_{\delta }$. Докажите, что $G$ второй категории в себе.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset C[0,1]$ сходится к вещественнозначной функции $f$ для всех $x \in [0,1]$. Докажите, что для каждого $\varepsilon >0$ найдётся плотное подмножество $D_{\varepsilon } \subset [0,1]$ такое, что если $x \in D_{\varepsilon }$, то найдётся открытый интервал $I$, содержащий $x$, и положительное целое число $N_{x}$ такие, что для всех $n>N_{x}$, $\sup \left\{ \left|f_{n}(y)-f(y)\right|: y \in I\right\} \leq \varepsilon$.