Элементарная теория метрических пространств

Докажите, что множество $\mathbb {R}$ является метрическим пространством с

Докажите, что множество $C[a, b]$ является метрическим пространством с

Докажите, что множество $C[a, b]$ является метрическим пространством с

Докажите теорему 2.1.6.

Теорема 2.1.6: Евклидова норма обладает следующими свойствами: (a) для любого $a \in \mathbb {R}^{n}$, $\left\| a\right\| \geq 0$; (b) $\left\| a\right\| =0$ тогда и только тогда, когда $a=0$; (c) если $\alpha \in \mathbb {R}$ и $a \in \mathbb {R}^{n}$, $\left\| \alpha a\right\| =\left|\alpha \right|\left\| a\right\|$; (d) если $a, b \in \mathbb {R}^{n}$, $\left\| a+b\right\| \leq \left\| a\right\| +\left\| b\right\|$.

Докажите теорему 2.1.7.

Теорема 2.1.7: Множество $\mathbb {R}^{n}$ с функцией расстояния $d(x,y)=\left\| y-x\right\|$ является метрическим пространством.

Докажите, что $\mathbb {R}^{2}$ с расстоянием $d\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right):=\left|x_{1}-y_{1}\right|+\left|x_{2}-y_{2}\right|$ является метрическим пространством.

Докажите, что $\mathbb {R}^{2}$ с расстоянием $d\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right):=\max \left\{ \left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|\right\}$ является метрическим пространством.

Докажите, что множество $\mathbb {R}$ является метрическим пространством с

Докажите, что множество $C^{1}[a, b]$ дифференцируемых функций на $[a, b]$ с непрерывными производными является метрическим пространством с $d(f, g):=\max \left\{ \left|f(x)-g(x)\right|: a \leq x \leq b\right\} +\max \left\{ \left|f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\right|: a \leq x \leq b\right\}$.

Докажите, что множество $C(-\infty , \infty )$ является метрическим пространством с

Определите значения $p$, при которых $\left|x-y\right|^{p}$ является метрикой на $\mathbb {R}$.

Пусть $M$ — произвольное непустое множество, и определим $d: M \rightarrow \mathbb {R}$ следующим образом: $d(x, y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$, и $d(x, y)=1$ в противном случае. Докажите, что ( $M, d$ ) — метрическое пространство

Пусть $c$ — множество всех ограниченных последовательностей, и для $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\} \in c$ пусть $d\left(\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\} \right)=\sup \left\{ \left|a_{n}-b_{n}\right|: n \in \mathbb {N}\right\}$. Докажите, что $(c, d)$ — метрическое пространство.

Пусть, для $1 \leq i \leq n$, ( $M_{i}, d_{i}$ ) — метрические пространства. Пусть $M= M_{1} \times M_{2} \times \cdots \times M_{n}$, и для $x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right), y=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots , y_{n}\right) \in M$ пусть $d(x, y)=\sum_{k=1}^{n} d_{k}\left(x_{k}, y_{k}\right)$. Докажите, что ( $M, d$ ) — метрическое пространство.

Опишите открытые и замкнутые шары в метрическом пространстве $\left(\mathbb {R}^{2}, d\right)$, где расстояние $d$ определено как $d\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right):=\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|^{3}+\left|x_{2}-y_{2}\right|^{3}\right)^{1 / 3}$.

Опишите открытые и замкнутые шары в метрическом пространстве ( $C[0,1], d$ ), где $d(f, g):=\sup \left\{ \left|f(x)-g(x)\right|: x \in [0,1]\right\}$.

Пусть $u(x)=\sin x$ и $v(x)=0$, и пусть $C[0,2 \pi ]$ обозначает метрическое пространство непрерывных функций на $[0,2 \pi ]$ с расстоянием $d(f, g):=\sup \left\{ \left|f(x)-g(x)\right|: x \in [0,2 \pi ]\right\}$. Приведите пример функции, принадлежащей одновременно $B(u, 2 / 3)$ и $B(v, 2 / 3)$.

В метрическом пространстве $(\mathbb {R}, d)$, где

опишите открытые шары $B(0, r)$ для:

Докажите, что $G:=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2}: x^{2}+y^{2} \neq 1\right\}$ — открытое множество в $\mathbb {R}^{2}$.

Докажите, что открытый шар в метрическом пространстве является открытым множеством.

Докажите, что следующие условия эквивалентны для множества $A$ в метрическом пространстве:

Докажите, что в метрическом пространстве:

Докажите, что внутренность интервала $[a, b)$ есть открытый интервал $(a, b)$.

Докажите, что множество $\mathbb {Q}$ имеет пустую внутренность.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство. Докажите, что:

Пусть $A, B$ — подмножества $\mathbb {R}$. Докажите, что $\operatorname {Int}(A \times B)=\operatorname {Int} A \times \operatorname {Int} B$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство. Докажите, что:

Докажите, что множество всех рациональных чисел между $\sqrt{2}$ и $\pi$ является замкнутым множеством в метрическом пространстве $\mathbb {Q}$ с расстоянием $d(x, y)=\left|x-y\right|$.

Докажите, что замкнутый шар в метрическом пространстве является замкнутым множеством.

Докажите, что в метрическом пространстве ( $M, d$ ), если $a \in M$ и $r>0$, то множество $\left\{ x: d(x, a)=r\right\}$ замкнуто.

Приведите пример двух замкнутых множеств $A, B$, таких что $A \cap B=\varnothing$, но $\operatorname {dist}(A, B)=0$.

Докажите, что множество иррациональных чисел является множеством типа $G_{\delta }$.

Докажите, что замыкание интервала $[a, b)$ есть замкнутый интервал $[a, b]$.

Докажите, что замыкание множества $\mathbb {Q}$ есть $\mathbb {R}$.

Докажите, что в метрическом пространстве:

Докажите, что следующие условия эквивалентны для множества $A$ в метрическом пространстве:

Докажите, что замыкание множества $A$ равно пересечению всех замкнутых множеств, содержащих $A$.

Докажите, что в метрическом пространстве:

Докажите или опровергните: в метрическом пространстве ( $M, d$ ) замыкание открытого шара $B(c, r)$ есть замкнутый шар $B[c, r]$.

Докажите, что граница интервала $[a, b)$ есть множество $\left\{ a, b\right\}$.

Докажите, что граница $\mathbb {Q}$ есть множество $\mathbb {R}$.

Докажите, что граница любого множества замкнута.

Докажите, что точка $x$ в метрическом пространстве принадлежит $\partial A$ тогда и только тогда, когда каждый шар $B(x, r)$ имеет непустое пересечение как с $A$, так и с $A^{C}$.

Докажите, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу.

Докажите, что внутренность границы замкнутого множества есть пустое множество.

Приведите пример метрического пространства, в котором граница открытого единичного шара является собственным подмножеством единичной сферы с тем же центром.