Компактность

Докажите, что последовательность Коши в метрическом пространстве ограничена.

Докажите, что каждое вполне ограниченное метрическое пространство ограничено.

Докажите, что каждое ограниченное подмножество $\mathbb {R}^{n}$ вполне ограничено.

Докажите, что замыкание вполне ограниченного множества в метрическом пространстве вполне ограничено.

Докажите, что метрическое пространство ( $M, d$ ) вполне ограничено тогда и только тогда, когда каждая последовательность в $M$ имеет подпоследовательность Коши.

Докажите, что замыкание ограниченного множества в метрическом пространстве ограничено.

Докажите, что компактное множество в метрическом пространстве замкнуто.

Докажите, что замкнутое подмножество компактного метрического пространства компактно.

Докажите, что метрическое пространство ( $M, d$ ) компактно тогда и только тогда, когда каждое бесконечное подмножество $M$ имеет предельную точку в $M$.

Докажите, что подмножество полного метрического пространства $M$ компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено и замкнуто.

В метрическом пространстве $(\mathbb {Q}, d)$, где $d(x, y)=\left|x-y\right|$, определите все подпространства, которые являются:

Докажите или опровергните: множество $\mathbb {N}$ является компактным подмножеством ( $\mathbb {R}, d$ ), где $d(x, y)=\left|x-y\right|$.

Пусть ( $M, d$ ) — полное метрическое пространство. Докажите, что множество $A \subset M$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда $\bar{A}$ компактно.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство всех ограниченных последовательностей с метрикой $d(a, b)=\sup \left\{ \left|a_{n}-b_{n}\right|: n \in \mathbb {N}\right\}$, где $a=\left\{ a_{n}\right\}$ и $b=\left\{ b_{n}\right\}$. (См. упражнение 2.1.13.) Пусть $B$ — замкнутый шар радиуса 1 с центром в нулевой последовательности $(0,0, \ldots )$. Докажите, что $B$ ограничен и замкнут, но не является секвенциально компактным.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, и пусть $A \subset M$ — множество, такое что $A \cap K$ компактно для каждого компактного множества $K \subset M$. Докажите, что $A$ замкнуто в $M$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство. Докажите, что расстояние между замкнутым множеством и компактным множеством, которые не пересекаются, не может быть равно 0. Приведите пример, показывающий, что это неверно, если оба множества лишь замкнуты.

Пусть $K_{1}, K_{2}$ — непересекающиеся компактные подмножества метрического пространства ( $M, d$ ). Докажите, что существуют непересекающиеся открытые множества $G_{1}, G_{2}$, такие что $K_{1} \subset G_{1}$ и $K_{2} \subset G_{2}$.

Докажите, что метрическое пространство $M$ компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство замкнутых подмножеств $M$ с свойством конечных пересечений (то есть каждое конечное подсемейство имеет непустое пересечение) имеет непустое пересечение.

Докажите, что метрическое пространство $M$ компактно тогда и только тогда, когда каждая убывающая последовательность непустых замкнутых множеств в $M$ имеет непустое пересечение.

Докажите, что объединение конечного числа компактных множеств в метрическом пространстве компактно.

Пусть $M$ — компактное метрическое пространство, и пусть $\left\{ G_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — возрастающая последовательность открытых подмножеств $M$, такая что $M=\cup_{n=1}^{\infty } G_{n}$. Докажите, что $M=G_{k}$ для некоторого $k \in \mathbb {N}$.

Пусть $\left\{ M_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ — компактные метрические пространства. Докажите, что $M:=M_{1} \times M_{2} \times \cdots \times M_{n}$ является компактным метрическим пространством относительно метрики $d$, как в упражнении 2.1.14.

Определите, является ли $C[0,1]$ секвенциально компактным.

Определите, является ли метрическое пространство ( $M, d$ ) секвенциально компактным, где $d(x, y)=0$, если $x=y$, и $d(x, y)=1$, если $x \neq y$.

Определите, является ли метрическое пространство ( $\mathbb {R}, d$ ) секвенциально компактным, где

Определите, является ли метрическое пространство ( $C[0,1], d$ ) секвенциально компактным, где

Определите, является ли метрическое пространство $(C(-\infty , \infty ), d)$ секвенциально компактным, где

Докажите теорему 2.3.18.

Теорема 2.3.18: Пусть $(M,d)$ — компактное метрическое пространство, и пусть $f: M \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Тогда $f$ ограничена и достигает своих экстремальных значений на $M$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, и пусть $f, g: M \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывны. Докажите, что $\max \left\{ f, g\right\}$ и $\min \left\{ f, g\right\}$ непрерывны.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, пусть $x_{0} \in \mathbb {R}$, и предположим, что для каждого интервала $(a, b)$, содержащего $x_{0}$, функция $f$ неограничена на ( $a, b$ ). Докажите, что $f$ не является непрерывной в $x_{0}$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, пусть $f: M \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, и пусть $E \subset M$. Докажите, что $\sup \left\{ \left|f(x)\right|: x \in E\right\} =\sup \left\{ \left|f(x)\right|: x \in \bar{E}\right\}$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — строго возрастающая непрерывная функция. Докажите, что $f^{-1}$ непрерывна.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, пусть $f, g: M \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывны, и пусть $\alpha \in \mathbb {R}$. Докажите, что $\alpha f, f+g$ и $f g$ непрерывны. Более того, если $g(x) \neq 0$ на $M$, докажите, что $f / g$ непрерывна.

Пусть $f$ — вещественнозначная функция на метрическом пространстве $X$. Покажите, что множество точек, в которых $f$ непрерывна, является пересечением счётного семейства открытых множеств. Заключите, что не существует вещественнозначной функции на $\mathbb {R}$, непрерывной только в рациональных точках.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и $K$ — компактное подмножество $M$. Предположим, что функция $f: K \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Докажите, что $f(K)$ — компактное подмножество $\mathbb {R}$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и $A \subset M$. Предположим, что функции $f, g: M \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывны и $f(x)=g(x)$ при $x \in A$. Докажите, что $f(x)=g(x)$ для всех $x \in \bar{A}$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство, пусть $A \subset M$, и пусть $h(x)=d(x, A)= \inf \left\{ d(x, a): a \in A\right\}$. Докажите, что $d$ — непрерывная функция на $M$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и пусть $A$ и $B$ — непересекающиеся замкнутые подмножества $M$. Докажите, что существует непрерывная вещественнозначная функция $f$ на $M$ такая, что $0 \leq f(x) \leq 1$ для всех $x \in M$, $f(x)=0$ на $A$, и $f(x)=1$ на $B$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность непрерывных функций, сходящаяся к $f$ равномерно на $[a, b]$, и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в $[a, b]$, сходящаяся к $x$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\left(x_{n}\right)\right\}$ сходится к $f(x)$.

Докажите теорему 2.3.17.

Теорема 2.3.17: Пусть $(M,d)$ — метрическое пространство. Всякое равномерно непрерывное отображение $f: M_{1} \rightarrow M_{2}$ непрерывно. Если, кроме того, $M_{1}$ компактно, то всякое непрерывное отображение $f: M_{1} \rightarrow M_{2}$ равномерно непрерывно.

Определите, является ли функция $F$ из примера 2.3.12 равномерно непрерывной на $C[0,1]$.

Пример 2.3.12: Пусть $a \in [0,1]$. Функция $F: C[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, определённая как $F(f) = f(a)$, непрерывна на метрическом пространстве $C[0,1]$.

Определите, является ли функция $F$ из примера 2.3.12 непрерывной на ( $C[0,1], d$ ) с $d$, определённой как в упражнении 2.1.3, а именно

Является ли она равномерно непрерывной?

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и $\left\{ x_{n}\right\} \subset A \subset M$ — фундаментальная последовательность. Предположим, что функция $f: M \rightarrow \mathbb {R}$ равномерно непрерывна на $A$. Докажите, что $\left\{ f\left(x_{n}\right)\right\}$ — фундаментальная последовательность в $\mathbb {R}$. Что если предположить, что $f$ лишь непрерывна?

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство и пусть $f: M \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что следующие утверждения равносильны:

Докажите, что функция $f=\chi_{(0,1]}$ полунепрерывна сверху в каждой точке, кроме $x=0$, и полунепрерывна снизу в каждой точке, кроме $x=1$.

Пусть ( $M, d$ ) — метрическое пространство. Предположим, что для каждого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$, метрическое пространство ( $W, \rho$ ), и отображение $\Phi : M \rightarrow W$ такие, что $\Phi (M)$ вполне ограничено, и всякий раз, когда $x, y \in M$ таковы, что $\rho (\Phi (x), \Phi (y))<\delta$, то $d(x, y)<\varepsilon$. Докажите, что $M$ вполне ограничено.

Докажите теорему Банаха о неподвижной точке (теорема 2.3.21).

Теорема 2.3.21 (теорема Банаха о неподвижной точке): Сжимающее отображение метрического пространства имеет ровно одну неподвижную точку, то есть точку $x$ такую, что $f(x)=x$.