Теория Перрона--Фробениуса для неотрицательных матриц

Проверьте теорему Перрона, вычислив собственные значения и собственные векторы для

Найдите правый вектор Перрона $p$, а также левый вектор Перрона $q^T$.

Убедитесь, что утверждения (8.2.2)--(8.2.5) действительно верны.

Утверждения (8.2.2)--(8.2.5) — это свойства корня Перрона и вектора Перрона, установленные в тексте для положительной матрицы $A_{n\times n} > 0$ с $r = \rho (A)$: (8.2.2) $r > 0$; (8.2.3) $r \in \sigma (A)$ (называемое корнем Перрона); (8.2.4) $\text{alg mult}_A(r) = 1$; (8.2.5) существует собственный вектор $x > 0$ такой, что $Ax = rx$.

Приведите подробности, объясняющие, почему вектор Перрона определён однозначно.

Найдите корень Перрона и вектор Перрона для

где $\alpha + \beta = 1$ при $\alpha , \beta > 0$.

Пусть $A_{n\times n} > 0$ и $\rho (A) = r$.

Докажите, что если каждая сумма по строкам (или по столбцам) матрицы $A_{n\times n} > 0$ равна $\rho$, то $\rho (A) = \rho$.

Докажите, что если $A_{n\times n} > 0$, то

Чтобы показать, в какой мере условие положительности не может быть ослаблено в теореме Перрона, постройте примеры квадратных матриц $A$ таких, что $A \geq 0$, но $A \not> 0$ (т.е. у $A$ есть хотя бы один нулевой элемент), с $r = \rho (A) \in \sigma (A)$, демонстрирующие справедливость следующих утверждений. Для разных утверждений можно использовать разные примеры.

Установите минимаксный вариант формулы Коллатца--Виланда, утверждающий, что корень Перрона для $A > 0$ задаётся как $r = \min_{x \in \mathcal{P}} g(x)$, где

Заметьте, что $\mathcal{N} = \left\{ x \mid x \geq 0 \text{ при } x \neq 0\right\}$ используется в максиминном варианте формулы Коллатца--Виланда, а $\mathcal{P} = \left\{ x \mid x > 0\right\}$ — в минимаксном варианте из предыдущего упражнения. Приведите пример матрицы $A > 0$, показывающий, что $r \neq \min_{x \in \mathcal{N}} g(x)$, если $g(x)$ определена как

Пусть $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$.

Предположим, что индекс импримитивности $5 \times 5$ неотрицательной неприводимой матрицы $A$ равен $h = 3$. Объясните, почему $A$ обязательно вырождена, причём $\text{alg mult}_A(0) = 2$.

Предположим, что $A$ — неотрицательная матрица, обладающая положительным спектральным радиусом и соответствующим положительным собственным вектором. Обязана ли из этого следовать неприводимость $A$?

Не вычисляя собственные значения или характеристический многочлен, объясните, почему $\sigma (P_n) = \{ 1, \omega , \omega^2, \ldots , \omega^{n-1}\}$, где $\omega = e^{2\pi i/n}$ для

Определите, является ли

приводимой или неприводимой.

Определите, является ли матрица $A$ из упражнения 8.3.5 примитивной или импримитивной.

Матрица $S_{n\times n} \geq 0$, у которой суммы по строкам не превосходят $1$, причём хотя бы одна сумма по строке строго меньше $1$, называется субстохастической матрицей.

Неотрицательная матрица, у которой каждая сумма по строке равна $1$, называется стохастической матрицей (некоторые говорят "построчно стохастической"). Докажите, что если $A_{n\times n}$ неотрицательна и неприводима, причём $r = \rho (A)$, то $A$ подобна $rP$ для некоторой неприводимой стохастической матрицы $P$.

Виландт построил матрицу

чтобы показать, что $W_n^{n^2-2n+2} > 0$, но $[W_n^{n^2-2n+1}]_{11} = 0$. Проверьте, что это верно при $n = 4$.

В модели популяции Лесли объясните, что происходит с вектором $f(t)$ при $t \to \infty$ в зависимости от того, выполняется ли $r < 1$, $r = 1$ или $r > 1$.

Используя характеристическое уравнение, покажите, что матрица Лесли (из модели популяции Лесли) примитивна даже если $b_1 = 0$ (при условии, что все остальные $b_k$ и $s_k$ положительны).

Матрица $A \in \mathbb {R}^{n \times n}$ называется существенно положительной, если $A$ неприводима и $a_{ij} \geq 0$ для всех $i \neq j$. Докажите, что каждое из следующих утверждений эквивалентно тому, что $A$ существенно положительна.

Пусть $A$ — существенно положительная матрица, как определено в задаче 8.3.12. Докажите, что каждое из следующих утверждений верно.

Пусть $A \geq 0$ — неприводимая матрица, и пусть $a_{ij}^{(k)}$ обозначает элементы $A^k$. Докажите, что $A$ примитивна тогда и только тогда, когда

Найдите стационарное распределение для

Представляет ли это стационарное распределение предельное распределение в обычном смысле или только в смысле Чезаро?

Дважды стохастической матрицей называется неотрицательная матрица $P_{n\times n}$, у которой суммы всех строк, а также суммы всех столбцов равны $1$. Для неприводимой $n$-состояний цепи Маркова, у которой матрица переходов дважды стохастична, какова доля времени в долгосрочной перспективе, проводимая в каждом состоянии? Какой вид имеют $\lim_{k\to \infty } (I + P + \cdots + P^{k-1})/k$ и $\lim_{k\to \infty } P^k$ (если он существует)?

Объясните, почему $\operatorname {rk}\left(I-P\right) = n-1$ для любой неприводимой стохастической матрицы $P_{n\times n}$. Приведите пример, показывающий, что это не обязательно верно для приводимых стохастических матриц.

Докажите, что левый перроновский вектор для неприводимой стохастической матрицы $P_{n\times n}$ ($n > 1$) задаётся формулой

где $P_i$ — $i$-й главный минор порядка $n-1$ в $I-P$.

Пусть $P_{n\times n}$ — неприводимая стохастическая матрица, и пусть $Q_{k\times k}$ — главная подматрица матрицы $I - P$, где $1 \leq k < n$. Докажите, что $\rho (Q) < 1$.

Пусть $P_{n\times n}$ — неприводимая стохастическая матрица, и пусть $Q_{k\times k}$ — главная подматрица матрицы $I - P$, где $1 \leq k < n$. Объясните, почему $Q$ является M-матрицей.

Пусть $P_{n\times n}$ ($n > 1$) — неприводимая стохастическая матрица. Объясните, почему все главные миноры порядка $1 \leq k < n$ в $I - P$ положительны.

Используйте те же предположения, что и для отказоустойчивой системы, описанной в разобранном примере с двумя независимыми контролями (пример 8.4.5), но возьмите три контроля, $A$, $B$ и $C$, вместо двух. Определите среднее время до отказа, начиная с трёх исправных контролей, с двух исправных и одного непроверенного контроля, а также с трёх непроверенных контролей.

Мышь помещают в одну камеру ящика, изображённого на рисунке ниже, а кошку — в другую камеру. Каждую минуту двери камер открывают ровно настолько, чтобы позволить переход из одной камеры в соседнюю. В половине случаев, когда двери открываются, кошка не покидает занимаемую ею камеру. То же верно и для мыши. Когда кошка или мышь перемещается, дверь, через которую она проходит, выбирается случайным образом.

Рисунок 8.4.1: план ящика с мышью (камера # 1 соединена и с # 2, и с # 3, а # 2 соединена с # 3).