Положительные матрицы

Проверьте теорему Перрона, вычислив собственные значения и собственные векторы для

Найдите правый вектор Перрона $p$, а также левый вектор Перрона $q^T$.

Убедитесь, что утверждения (8.2.2)--(8.2.5) действительно верны.

Утверждения (8.2.2)--(8.2.5) — это свойства корня Перрона и вектора Перрона, установленные в тексте для положительной матрицы $A_{n\times n} > 0$ с $r = \rho (A)$: (8.2.2) $r > 0$; (8.2.3) $r \in \sigma (A)$ (называемое корнем Перрона); (8.2.4) $\text{alg mult}_A(r) = 1$; (8.2.5) существует собственный вектор $x > 0$ такой, что $Ax = rx$.

Приведите подробности, объясняющие, почему вектор Перрона определён однозначно.

Найдите корень Перрона и вектор Перрона для

где $\alpha + \beta = 1$ при $\alpha , \beta > 0$.

Пусть $A_{n\times n} > 0$ и $\rho (A) = r$.

Докажите, что если каждая сумма по строкам (или по столбцам) матрицы $A_{n\times n} > 0$ равна $\rho$, то $\rho (A) = \rho$.

Докажите, что если $A_{n\times n} > 0$, то

Чтобы показать, в какой мере условие положительности не может быть ослаблено в теореме Перрона, постройте примеры квадратных матриц $A$ таких, что $A \geq 0$, но $A \not> 0$ (т.е. у $A$ есть хотя бы один нулевой элемент), с $r = \rho (A) \in \sigma (A)$, демонстрирующие справедливость следующих утверждений. Для разных утверждений можно использовать разные примеры.

Установите минимаксный вариант формулы Коллатца--Виланда, утверждающий, что корень Перрона для $A > 0$ задаётся как $r = \min_{x \in \mathcal{P}} g(x)$, где

Заметьте, что $\mathcal{N} = \left\{ x \mid x \geq 0 \text{ при } x \neq 0\right\}$ используется в максиминном варианте формулы Коллатца--Виланда, а $\mathcal{P} = \left\{ x \mid x > 0\right\}$ — в минимаксном варианте из предыдущего упражнения. Приведите пример матрицы $A > 0$, показывающий, что $r \neq \min_{x \in \mathcal{N}} g(x)$, если $g(x)$ определена как