Банк задач по математике

Задача 8.3.1

(a)(b)(c)

Пусть $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

?

(a)

Покажите, что $A$ неприводима.

(b)

Найдите корень Перрона и вектор Перрона для $A$ .

(c)

Найдите число собственных значений на спектральной окружности матрицы $A$ .

Задача 8.3.2

Предположим, что индекс импримитивности $5 \times 5$ неотрицательной неприводимой матрицы $A$ равен $h = 3$ . Объясните, почему $A$ обязательно вырождена, причём $\text{alg mult}_A(0) = 2$ .

?

Задача 8.3.3

Предположим, что $A$ — неотрицательная матрица, обладающая положительным спектральным радиусом и соответствующим положительным собственным вектором. Обязана ли из этого следовать неприводимость $A$ ?

?

Задача 8.3.4

Не вычисляя собственные значения или характеристический многочлен, объясните, почему $\sigma (P_n) = \{ 1, \omega , \omega^2, \ldots , \omega^{n-1}\}$ , где $\omega = e^{2\pi i/n}$ для

P_n = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 8.3.5

Определите, является ли

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

приводимой или неприводимой.

?

Задача 8.3.6

Определите, является ли матрица $A$ из упражнения 8.3.5 примитивной или импримитивной.

?

Задача 8.3.7

(a)(b)

Матрица $S_{n\times n} \geq 0$ , у которой суммы по строкам не превосходят $1$ , причём хотя бы одна сумма по строке строго меньше $1$ , называется субстохастической матрицей.

?

(a)

Объясните, почему $\rho (S) \leq 1$ для любой субстохастической матрицы.

(b)

Докажите, что $\rho (S) < 1$ для любой неприводимой субстохастической матрицы.

Задача 8.3.8

Неотрицательная матрица, у которой каждая сумма по строке равна $1$ , называется стохастической матрицей (некоторые говорят "построчно стохастической"). Докажите, что если $A_{n\times n}$ неотрицательна и неприводима, причём $r = \rho (A)$ , то $A$ подобна $rP$ для некоторой неприводимой стохастической матрицы $P$ .

?

Примечание.

?

Рассмотрите $D = \begin{pmatrix} p_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & p_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & p_n \end{pmatrix}$ , где $p_k$ — компоненты вектора Перрона для $A$ .

Задача 8.3.9

Виландт построил матрицу

W_n = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}

чтобы показать, что $W_n^{n^2-2n+2} > 0$ , но $[W_n^{n^2-2n+1}]_{11} = 0$ . Проверьте, что это верно при $n = 4$ .

?

Задача 8.3.10

В модели популяции Лесли объясните, что происходит с вектором $f(t)$ при $t \to \infty$ в зависимости от того, выполняется ли $r < 1$ , $r = 1$ или $r > 1$ .

?

Примечание.

?

Модель популяции Лесли разбивает популяцию самок на возрастные группы $G_1, \ldots , G_n$ , где $b_k$ — коэффициент рождаемости, а $s_k$ — коэффициент выживаемости для группы $G_k$ , а $f(t) = (f_1(t), \ldots , f_n(t))^T$ — вектор размеров групп в момент времени $t$ , удовлетворяющий $f(t+1) = Lf(t)$ для матрицы Лесли $L$ ; $r = \rho (L)$ — корень Перрона матрицы $L$ , а $p, q$ — соответствующие векторы Перрона для $L$ и $L^T$ .

Задача 8.3.11

Используя характеристическое уравнение, покажите, что матрица Лесли (из модели популяции Лесли) примитивна даже если $b_1 = 0$ (при условии, что все остальные $b_k$ и $s_k$ положительны).

?

Задача 8.3.12

(a)(b)

Матрица $A \in \mathbb {R}^{n \times n}$ называется существенно положительной, если $A$ неприводима и $a_{ij} \geq 0$ для всех $i \neq j$ . Докажите, что каждое из следующих утверждений эквивалентно тому, что $A$ существенно положительна.

?

(a)

Существует такое $\alpha \in \mathbb {R}$ , что $A + \alpha I$ примитивна.

(b)

$e^{tA} > 0$ для всех $t > 0$ .

Задача 8.3.13

(a)(b)(c)

Пусть $A$ — существенно положительная матрица, как определено в задаче 8.3.12. Докажите, что каждое из следующих утверждений верно.

?

(a)

$A$ имеет собственную пару $(\xi , x)$ , где $\xi$ вещественно и $x > 0$ .

(b)

Если $\lambda$ — любое собственное значение $A$ , отличное от $\xi$ , то $\mathrm{Re}\left(\lambda \right) < \xi$ .

(c)

$\xi$ увеличивается при увеличении любого элемента $A$ .

Задача 8.3.14

Пусть $A \geq 0$ — неприводимая матрица, и пусть $a_{ij}^{(k)}$ обозначает элементы $A^k$ . Докажите, что $A$ примитивна тогда и только тогда, когда

\rho (A) = \lim _{k\to \infty } \left[a_{ij}^{(k)}\right]^{1/k}.

?

Неотрицательные матрицы