Банк задач по математике

Задача 8.4.1

Найдите стационарное распределение для

P = \begin{pmatrix} 1/4 & 0 & 0 & 3/4 \\ 3/8 & 1/4 & 3/8 & 0 \\ 1/3 & 1/6 & 1/6 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}.

Представляет ли это стационарное распределение предельное распределение в обычном смысле или только в смысле Чезаро?

?

Задача 8.4.2

Дважды стохастической матрицей называется неотрицательная матрица $P_{n\times n}$ , у которой суммы всех строк, а также суммы всех столбцов равны $1$ . Для неприводимой $n$ -состояний цепи Маркова, у которой матрица переходов дважды стохастична, какова доля времени в долгосрочной перспективе, проводимая в каждом состоянии? Какой вид имеют $\lim_{k\to \infty } (I + P + \cdots + P^{k-1})/k$ и $\lim_{k\to \infty } P^k$ (если он существует)?

?

Примечание.

?

Цель этого упражнения — показать, что дважды стохастические матрицы не представляют большого интереса с точки зрения теории цепей Маркова. Однако существует интересный теоретический результат (принадлежащий Дж. Биркгофу, 1946 г.), утверждающий, что множество $n \times n$ дважды стохастических матриц образует выпуклый многогранник в $\mathbb {R}^{n \times n}$ с матрицами перестановок в качестве вершин.

Задача 8.4.3

Объясните, почему $\operatorname {rk}\left(I-P\right) = n-1$ для любой неприводимой стохастической матрицы $P_{n\times n}$ . Приведите пример, показывающий, что это не обязательно верно для приводимых стохастических матриц.

?

Задача 8.4.4

Докажите, что левый перроновский вектор для неприводимой стохастической матрицы $P_{n\times n}$ ( $n > 1$ ) задаётся формулой

\pi ^T = \frac{1}{\sum _{i=1}^{n} P_i}\left(P_1, P_2, \ldots , P_n\right),

где $P_i$ — $i$ -й главный минор порядка $n-1$ в $I-P$ .

?

Примечание.

?

Чему равно $[\operatorname {adj}(A)]A$ , если $A$ вырождена?

Задача 8.4.5

Пусть $P_{n\times n}$ — неприводимая стохастическая матрица, и пусть $Q_{k\times k}$ — главная подматрица матрицы $I - P$ , где $1 \leq k < n$ . Докажите, что $\rho (Q) < 1$ .

?

Задача 8.4.6

Пусть $P_{n\times n}$ — неприводимая стохастическая матрица, и пусть $Q_{k\times k}$ — главная подматрица матрицы $I - P$ , где $1 \leq k < n$ . Объясните, почему $Q$ является M-матрицей.

?

Примечание.

?

M-матрицей называется вещественная невырожденная матрица $Q_{k\times k}$ , такая что $[Q]_{ij} \leq 0$ для всех $i \neq j$ и $Q^{-1} \geq 0$ ; эквивалентно, $Q$ является M-матрицей тогда и только тогда, когда существуют матрица $B \geq 0$ и вещественное число $s > \rho (B)$ , такие что $Q = sI - B$ .

Задача 8.4.7

Пусть $P_{n\times n}$ ( $n > 1$ ) — неприводимая стохастическая матрица. Объясните, почему все главные миноры порядка $1 \leq k < n$ в $I - P$ положительны.

?

Задача 8.4.8

Используйте те же предположения, что и для отказоустойчивой системы, описанной в разобранном примере с двумя независимыми контролями (пример 8.4.5), но возьмите три контроля, $A$ , $B$ и $C$ , вместо двух. Определите среднее время до отказа, начиная с трёх исправных контролей, с двух исправных и одного непроверенного контроля, а также с трёх непроверенных контролей.

?

Примечание.

?

Пример, на который даётся ссылка: система имеет два независимых контроля, которые могут предотвратить её разрушение, активируемые в дискретные моменты времени; система «под контролем», если хотя бы один контроль исправен, и разрушена, если все контроли отказывают одновременно. Контроль, который был исправен при одной активации, с вероятностью $90\%$ надёжен при следующей; контроль, который отказал и был заменён, надёжен при следующей активации лишь с вероятностью $60\%$ .

Задача 8.4.9

(a)(b)

Мышь помещают в одну камеру ящика, изображённого на рисунке ниже, а кошку — в другую камеру. Каждую минуту двери камер открывают ровно настолько, чтобы позволить переход из одной камеры в соседнюю. В половине случаев, когда двери открываются, кошка не покидает занимаемую ею камеру. То же верно и для мыши. Когда кошка или мышь перемещается, дверь, через которую она проходит, выбирается случайным образом.

Рисунок 8.4.1: план ящика с мышью (камера # 1 соединена и с # 2, и с # 3, а # 2 соединена с # 3).

?

(a)

Объясните, почему кошка и мышь в конце концов обязательно окажутся в одной и той же камере, и определите ожидаемое число шагов до этого момента.

(b)

Определите вероятность того, что кошка поймает мышь в камере $j$ для каждого $j = 1, 2, 3$ .

Стохастические матрицы и цепи Маркова