Избранные задачи по вещественному анализу

Глава IX

Последовательности измеримых функций

[124/92%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

IX.1 · Сходимости по мере и почти везде

IX.2 · Сходимость в среднем. Закон больших чисел

IX.3 · Функции Радемахера. Неравенство Хинчина

IX.4 · Ряд и преобразование Фурье

IX.1 · Сходимости по мере и почти везде[16/81%]

Задача IX.1.1

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)

Сходятся ли указанные ниже функциональные последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ по мере и почти везде на промежутках $\Delta$ ? Имеют ли они суммируемые мажоранты?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{2} x^{2}}$ , $\Delta =(0,1) ;$

(б)

$f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{2} x^{2}}$ , $\Delta =(1,+\infty ) ;$

(в)

$f_{n}(x)=n x e^{-n x^{2}}$ , $\Delta =(0,1) ;$

(г)

$f_{n}(x)=n^{2} x e^{-n x^{2}}$ , $\Delta =(1,+\infty ) ;$

(д)

$f_{n}(x)=\frac{n^{2} x}{n^{4}+x^{2}}$ , $\Delta =(1,+\infty ) ;$

(е)

$f_{n}(x)=\frac{1}{\ln (n+1)} \cdot \frac{n x}{1+n^{2} x^{4}}$ , $\Delta =(0,1) ;$

(ж)

$f_{n}(x)=\left|x-\frac{1}{n}\right|^{-1 / 2}$ , $\Delta =(0,1)$ .

Задача IX.1.2

(а)(б)

Пусть $a \in \mathbb {R},\left\{ a\right\} =a-\left[a\right]$ — дробная часть числа $a$ , и пусть $f_{n}$ — характеристическая функция промежутка с концами $\left\{ \ln n\right\}$ , $\left\{ \ln (n+1)\right\} (n \in \mathbb {N})$ (если $\left\{ \ln n\right\} >\left\{ \ln (n+1)\right\}$ , то мы считаем $f_{n}$ тождественным нулём). Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\varlimsup_{n \rightarrow \infty } f_{n}(x)=1$ при любом $x \in (0,1)$ ;

(б)

$f_{\left[C^{k}\right]}(x) \underset {k \rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0$ почти везде на $(0,1)$ при любом $C>1$ .

Сравните этот результат с утверждением задачи II.1.28.

Задача IX.1.3

Постройте такую последовательность $\left\{ g_{n}\right\}$ из $\mathscr {L}^{0}(0,1)$ , что $g_{n} \rightarrow 0$ по мере, $\varlimsup_{n \rightarrow \infty } g_{n}(x)=+\infty$ почти везде на $(0,1)$ и $\lim_{n \rightarrow \infty } g_{n}(x)=-\infty$ почти везде на $(0,1)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.1.4

Пусть функции $f_{n}(n \in \mathbb {N})$ монотонны на промежутке $(0,1)$ и $f_{n} \rightarrow f$ по мере. Докажите, что функция $f$ почти везде совпадает с монотонной функцией $f_{0}$ и $f_{n}(x) \rightarrow f_{0}(x)$ в точках непрерывности $f_{0}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.1.5

Пусть $f_{n}(x)=\left|\sin \left(A_{n} x+\varphi_{n}\right)\right|^{p_{n}}$ , где $x \in (0,2 \pi )$ , а $\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ \varphi_{n}\right\}$ , $\left\{ p_{n}\right\}$ - вещественные числовые последовательности, удовлетворяющие условиям $\lim \left|A_{n}\right|>0$ и $p_{n} \rightarrow +\infty$ . Докажите, что $f_{n} \rightarrow 0$ по мере на $(0,2 \pi )$ . Обязательно ли $f_{n} \rightarrow 0$ почти везде на $(0,2 \pi )$ ? Рассмотрите пример: $f_{n}(x)=\left|\cos \sqrt{m}\left(x-\frac{k \pi }{m}\right)\right|^{m}$ , где $m=\left[\sqrt{n}\right], k=n-m^{2}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.1.6

Пусть $\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ \varphi_{n}\right\}$ - вещественные числовые последовательности, $A_{n} \rightarrow +\infty$ . Докажите, что почти везде на $\mathbb {R}$

\varlimsup _{n \rightarrow \infty } \cos \left(A_{n} x+\varphi _{n}\right)=1, \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \cos \left(A_{n} x+\varphi _{n}\right)=-1 .

Сравните это утверждение с задачсй IV.6.1.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.1.7

Докажите, что $n^{1 / 3} \int_{0}^{\infty } e^{-x} \sin^{n}\left(n x+\varphi_{n}\right) d x \rightarrow 0$ для любой вещественной последовательности $\left\{ \varphi_{n}\right\}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.1.8

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{0}(\mathbb {R}), a \in \mathbb {R}$ . Докажите, что $\varlimsup_{n \rightarrow \infty } f_{n}(x) \leqslant a$ почти везде на $\mathbb {R}$ , если $\sum_{n \geqslant 1} \lambda \left\{ x \in \mathbb {R} \mid f_{n}(x)>a\right\} <+\infty$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.1.9

(а)(б)

Пусть $\quad \left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}(\mathbb {R}) \quad$ и $\quad \varepsilon_{n} \rightarrow 0$ . Докажите, что если $\sum_{n \geqslant 1} \lambda \left\{ x \in \mathbb {R} \mid \left|f_{n}(x)\right| \geqslant \varepsilon_{n}\right\} <+\infty$ , то

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f_{n}(x) \rightarrow 0$ почти везде на $\mathbb {R}$ ;

(б)

для любого числа $\varepsilon >0$ найдётся такое множество $e \subset \mathbb {R}$ , что $\lambda (e)<\varepsilon$ и $f_{n} \rightrightarrows 0$ на $\mathbb {R} \backslash e$ .

Задача IX.1.10

Докажите, что сходимость почти везде «устойчива» в следующем смысле: если $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{0}(0,1)$ и $f_{n}(x) \rightarrow 0$ почти везде на $(0,1)$ , то существует такая числовая последовательность $\left\{ A_{n}\right\}$ , что $A_{n} \rightarrow \infty$ и $A_{n} f_{n}(x) \rightarrow 0$ почти везде на $(0,1)$ . Останется ли это утверждение верным, если интервал $(0,1)$ заменить на $\mathbb {R}$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.1.11

Пусть $f, f_{n} \in \mathscr {L}^{0}(0,1), f_{n}(x) \rightarrow f(x)$ почти везде на (0,1). Докажите, что существуют функция $g \in \mathscr {L}^{0}(0,1)$ («регулятор сходимости») и числовая последовательность $\left\{ \varepsilon_{n}\right\}$ , такие что $\varepsilon_{n} \rightarrow 0$ и $\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leqslant \varepsilon_{n} g(x)$ почти везде на $(0,1)$ при любом $n \in \mathbb {N}$ . Останется ли это утверждение верным, если заменить интервал $(0,1)$ на $\mathbb {R}$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.1.12

Опираясь на результат предыдущей задачи, докажите теорему Егорова: если $f, f_{n} \in \mathscr {L}^{0}(0,1)$ и $f_{n}(x) \rightarrow f(x)$ почти везде на $(0,1)$ , то для любого числа $\varepsilon >0$ найдётся такое множество $e \subset (0,1)$ , что $\lambda (e)<\varepsilon$ и $f_{n} \rightrightarrows f$ на $(0,1) \backslash e$ . Останется ли это утверждение верным, если интервал $(0,1)$ заменить на $\mathbb {R}$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.1.13

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{0}(0,1)$ . Докажите, что $f_{n} \rightarrow 0$ по мере тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности $\left\{ f_{n_{k}}\right\}$ найдётся, в свою очередь, подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k_{j}}}\right\}$ , сходящаяся к нулю почти везде на (0,1).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.1.14

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{0}(\mathbb {R}), g \in \mathscr {L}^{0}(\mathbb {R}),\left|f_{n}(x)\right| \leqslant g(x)$ почти везде на $\mathbb {R}$ при любом $n \in \mathbb {N}$ . Докажите, что если функция $g$ удовлетворяет условию

\lambda \left\{ x \in \mathbb {R} \mid g(x)>\varepsilon \right\} <+\infty \quad \text{ при любом } \varepsilon >0, \tag {*}

то из сходимости последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ к нулю почти везде на $\mathbb {R}$ следует, что $f_{n} \rightarrow 0$ по мере. Верно ли это, если условие (*) нарушено?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.1.15

(а)(б)

Пусть $\left\{ f_{n, k}\right\}_{n, k} \geqslant 1 \subset \mathscr {L}^{0}(0,1),\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{0}(0,1), f_{0} \in \mathscr {L}^{0}(0,1)$ , и пусть $f_{n, k} \rightarrow f_{n}$ по мере, $f_{n} \rightarrow f_{0}$ по мере. Докажите, что найдётся такая строго возрастающая последовательность номеров $\left\{ k_{n}\right\}$ , что $f_{n, k_{n}} \rightarrow f_{0}$ по мере (теорема о диагональной последовательности). Верно ли аналогичное утверждение, если сходимость по мсре заменить

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

сходимостью почти везде на (0,1);

(б)

поточечной сходимостью на $(0,1)$ ?

Задача IX.1.16

(а)(б)

Пусть $a_{n} \geqslant 0, \sum a_{n}<\infty , \Delta =(0,1)$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $\sum a_{n} \ln n<\infty$ , то ряд

\sum \frac{a_{n}}{\left|x-x_{n}\right|}

сходится почти везде на $\Delta$ (относительно меры Лебега) для любой последовательности $\left\{ x_{n}\right\} \subset \mathbb {R}$ ;

(б)

если $\sum a_{n} \ln n=\infty$ и $X$ - всюду плютное в $\Delta$ счётное множество, то в зависимости от способа нумерации $\left\{ x_{n}\right\}$ множества $X$ ряд (1) может как сходиться почти везде на $\Delta$ , так и расходиться почти везде (и даже везде) на $\Delta$ .

IX.2 · Сходимость в среднем. Закон больших чисел[20/90%]

Задача IX.2.1

(а)(б)

Пусть $f \in \mathscr {L}^{r}(E)$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $0<s<r$ , то $f \in \mathscr {L}^{s}(E)$ ;

(б)

если $\lambda_{m}(E)=1$ , то функция $s \mapsto \left\| f\right\|_{s}$ возрастает на ( $0, r$ ].

Задача IX.2.2

(а)(б)

Пусть $\quad \left\{ f_{n}\right\} , \quad \left\{ g_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{r}(E), \quad f_{0}, \quad g_{0} \in \mathscr {L}^{r}(E), \quad$ причём $\left\| f_{n}-f_{0}\right\|_{r} \rightarrow 0$ и $\left\| g_{n}-g_{0}\right\|_{r} \rightarrow 0$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f_{n} \rightarrow f_{0}$ по мере;

(б)

$\left\| f_{n} g_{n}-f_{0} g_{0}\right\|_{r / 2} \rightarrow 0$ .

Задача IX.2.3

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{1}(E)$ . Докажите, что если $f_{n} \rightarrow 0$ по мере и $\sup_{n}\left\| f_{n}\right\|_{1}<\infty$ , то $\int_{E} \sqrt{\left|f_{n}(x) g(x)\right|} d x \rightarrow 0$ для любой функции $g \in \mathscr {L}^{1}(E)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.4

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{2}(E), f_{0} \in \mathscr {L}^{2}(E)$ . Докажите, что если $f_{n} \rightarrow f_{0}$ по мере и $\left\| f_{n}\right\|_{2} \rightarrow \left\| f_{0}\right\|_{2}$ , то $\left\| f_{n}-f_{0}\right\|_{2} \rightarrow 0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.5

(а)(б)(в)(г)

Пусть $f, g \in \mathscr {L}^{0}(E)$ и $0<\alpha <\lambda_{m}(E)$ . Положим

\mathscr {J}_{\alpha }(f)=\inf \left\{ t \mid \lambda _{m}\left\{ x \in E \mid \left|f(x)\right|>t\right\} <\alpha \right\} .

Величина $\mathscr {J}_{\alpha }(f)$ называется квантилью (сравните определение $\mathscr {J}_{\alpha }(f)$ с определением невозрастающей перестановки функции $f$ перед задачей VIII.2.13; квантиль $\mathscr {J}_{1 / 2}(f)$ есть медиана функции $\left|f\right|$ — см. задачу VIII.2.12). Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathscr {J}_{\alpha }(f) \leqslant \mathscr {J}_{\beta }(f)$ при $0<\beta <\alpha$ ;

(б)

$\mathscr {J}_{\alpha }(a f)=\left|a\right| \mathscr {J}_{\alpha }(f)$ при любом $a \in \mathbb {R}$ ;

(в)

$\mathscr {J}_{\alpha }(f+g) \leqslant \mathscr {J}_{\alpha / 2}(f)+\mathscr {J}_{\alpha / 2}(g)$ ;

(г)

$f_{n} \rightarrow f_{0}$ по мере ( $f_{n}, f_{0} \in \mathscr {L}^{0}(E)$ ) тогда и только тогда, когда $\mathscr {F}_{\alpha }\left(f_{n}-f_{0}\right) \rightarrow 0$ при любом $\alpha , 0<\alpha <\lambda_{m}(E)$ .

Задача IX.2.6

(а)(б)(в)

Пусть $M \subset \mathscr {L}^{2}(E)$ и пусть $\left\| f\right\|_{2} \leqslant C\left\| f\right\|_{1}$ для любой функции $f \in$ M. Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $0<r<1$ , то найдётся такое число $\theta =\theta (r)$ , что $\left\| f\right\|_{1}<C^{\theta }\left\| f\right\|_{r}$ для любой функции $f \in M$ ;

(б)

найдётся такое число $\alpha =\alpha (C)>0$ , что $\left\| f\right\|_{1} \leqslant 2 \lambda_{m}(E) \mathscr {J}_{\alpha }(f)$ для любой функции $f \in M$ ;

(в)

если $\left\{ f_{n}\right\} \subset M$ , то $\left\| f_{n}\right\|_{2} \rightarrow 0$ тогда и только тогда, когда $f_{n} \rightarrow 0$ по мере.

Задача IX.2.7

Докажите, что если ряд*) $\sum \left|a_{n} \sin \left(n x+\varphi_{n}\right)\right|$ сходится на множестве положительной меры, то $\sum \left|a_{n}\right|<\infty$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.8

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{2}(E)$ и $\left\| f_{n}\right\|_{2} \leqslant C,\left\| f_{n}\right\|_{1} \geqslant \delta$ при некоторых $C$ , $\delta >0$ и любом $n \in \mathbb {N}$ . Докажите, что если ряд $\sum a_{n} f_{n}(x)$ сходится абсолютно почти везде на $E$ , то $\sum \left|a_{n}\right|<\infty$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.9

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ - ортогональная система в $\mathscr {L}^{2}(E), \sigma_{n}=\frac{1}{n} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} f_{k}$ . Докажите, что если $\frac{1}{n^{2}} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left\| f_{k}\right\|_{2}^{2} \rightarrow 0$ , то $\sigma_{n} \rightarrow 0$ по мере. (Различные варианты этого утверждения носят название закона больших чисел.)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.10

(а)(б)(в)(г)

Докажите, что указанные последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ сходятся по мере на интервале $(-\pi , \pi )$ , и найдите их пределы:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f_{n}(x)=\frac{1}{n} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \sin^{2} k x$ ;

(б)

$f_{n}(x)=\frac{1}{n} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \sqrt[3]{k} \sin k x$ ;

(в)

$f_{n}(x)=\frac{1}{n} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k} \sin^{2} k x$ ;

(г)

$f_{n}(x)=\frac{1}{n} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left(1-\frac{k}{n}\right) \sin^{2} k x$ . *) Напомним, что $\sum c_{n}-$ обозначение ряда $\sum_{n \geqslant 1} c_{n}$ .

Задача IX.2.11

Найдите предел

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{-\pi }^{\pi } \operatorname {arctg}\left(\frac{1}{n} \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} k \sin ^{2} k x\right) d x

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.12

(а)(б)

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ - ортогональная система в $\mathscr {L}^{2}(E), \sigma_{n}=\frac{f_{1}+\ldots +f_{n}}{n}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sigma_{k^{2}}(x) \rightarrow 0$ почти везде на $E$ , если ограничены нормы $\left\| f_{n}\right\|_{2}$ ;

(б)

$\sigma_{n}(x) \rightarrow 0$ почти везде на $E$ , если ограничены нормы $\left\| f_{n}\right\|_{\infty }$ . Последнее утверждение часто формулируют, говоря, что для последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ справедлив усиленный закон больших чисел.

Задача IX.2.13

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ - ортогональная система в $\mathscr {L}^{2}(E), \sigma_{n}=\frac{f_{1}+\ldots +f_{n}}{n}$ . Докажите, что если $\sum \frac{1}{n^{3 / 2}}\left\| f_{n}\right\|_{2}^{2}<\infty$ , то $\sigma_{n}(x) \rightarrow 0$ почти везде на $E$ , т.е. для последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ справедлив усиленный закон больших чисел. Докажите, кроме того, что функция $h=\sup_{n}\left|\sigma_{n}\right|$ принадлежит $\mathscr {L}^{2}(E)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.14

Пусть $\varepsilon_{n}(x)-n$ -й двоичный знак разложения числа $x \in (0,1]$ , $\sigma_{n}(x)=\frac{1}{n}\left(\varepsilon_{1}(x)+\ldots +\varepsilon_{n}(x)\right)$ . Докажите, что $\sigma_{n}(x) \rightarrow \frac{1}{2}$ почти везде на (0,1), т.е. у почти всех чисел из промежутка (0,1) нули и единицы в их двоичных разложениях встречаются одинаково часто.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.15

Пусть $m$ - одна из цифр $0, \ldots , 9$ , и пусть $c_{m}(x)=1$ , если десятичное разложенис числа $x-\left[x\right]$ имеет вид $0, m \ldots$ , в противном случае $c_{m}(x)=0$ . Положим $\sigma_{n}(x)=\frac{1}{n} \sum_{0 \leqslant k<n} c_{m}\left(10^{k} x\right)$ . Докажите, что $\sigma_{n}(x) \rightarrow \frac{1}{10}$ почти везде на $(0,1)$ .

Число $x \in (0,1)$ называстся нормальным, если при любом $p \in \mathbb {N}$ его разложение в $p$ -ичную дробь содержит все «цифры» (числа $0,1, \ldots , p-1$ ) одинаково часто. Известно, например, что число

x=0,12345678910111213141516171819202122 \ldots

(десятичное разложение $x$ состоит из выписанных одно за другим всех натуральных чисел в десятичной записи) нормально [Кац].

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.16

Обобщая результаты задач 2.14 и 2.15 , докажите, что почти все числа интервала $(0,1)$ нормальны.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.17

Пусть $f \in \mathscr {L}^{2}(0,1), \int_{0}^{1} f(x) d x=0$ . Для произвольных $n \in \mathbb {N}$ и $\varepsilon >0$ положим

E_{n}(\varepsilon )=\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in (0,1)^{n} \mid \left|\frac{1}{n} \sum _{1 \leqslant x \leqslant n} f\left(x_{k}\right)\right|>\varepsilon \right\} .

Докажите, что $\lambda_{n}\left(E_{n}(\varepsilon )\right) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.18

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{2}(0,1), \int_{0}^{1} f_{n}(x) d x=0$ при любом $n \in \mathbb {N}$ . Для произвольных $n \in \mathbb {N}$ и $\varepsilon >0$ положим

E_{n}(\varepsilon )=\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in (0,1)^{n} \mid \left|\frac{1}{n} \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} f_{k}\left(x_{k}\right)\right|>\varepsilon \right\} .

Докажите, что $\lambda_{n}\left(E_{n}(\varepsilon )\right) \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0$ , если $\frac{1}{n^{2}} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left\| f_{k}\right\|_{2}^{2} \rightarrow 0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.19

Пусть $\varphi \in C(\mathbb {R}), \sup_{\mathbb {R}}\left|\varphi \right|<\infty$ . Найдите предел

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{\mathbb {R}^{n}} \varphi \left(\frac{\left\| x\right\| ^{2}}{n}\right) e^{-\pi \left\| x\right\| ^{2}} d x

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.2.20

(а)(б)(в)

Пусть $\left\{ a_{n}\right\} \subset \mathbb {C},\left\{ f_{n}\right\}$ - ортонормированная последовательность в $\mathscr {L}^{2}(E), S_{n}=\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} f_{k}$ . Докажите, что если $\sum \sqrt{n}\left|a_{n}\right|^{2}<\infty$ , то

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum \left\| S-S_{k^{2}}\right\|_{2}^{2}<\infty$ , где $S=\sum a_{k} f_{k}$ ;

(б)

ряд $\sum a_{n} f_{n}(x)$ сходится почти везде на $E$ ;

(в)

$\sup_{n}\left|S_{n}\right| \in \mathscr {L}^{2}(E)$ .

IX.3 · Функции Радемахера. Неравенство Хинчина[31/90%]

Задача IX.3.1

(а)(б)(в)(г)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что для любого $n \in \mathbb {N}$ и любого набора $\left\{ \varepsilon_{k}\right\}_{1 \leqslant k \leqslant n}$ , где числа $\varepsilon_{k}$ принимают значения +1 или -1 , найдётся такая точка $x_{0} \in (0,1)$ , что $r_{k}\left(x_{0}\right)=\varepsilon_{k}$ при $k=1, \ldots , n$ . Какова мера множества таких точек?

(б)

Докажите, что $r_{1}(x+1)=r_{1}(x), r_{n}(x)=r_{1}\left(2^{n-1} x\right)$ .

(в)

Пусть $a_{n}(x)$ - $n$ -й знак двоичного разложения числа $x \in (0,1)$ . Докажите, что $a_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(1-r_{n}(x)\right)$ почти везде на (0,1).

(г)

Найдите сумму ряда $\sum 2^{-n} r_{n}(x)(x \in (0,1))$ .

Задача IX.3.2

(а)(б)

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1} \varphi \left(r_{1}(x), \ldots , r_{n}(x)\right) d x=2^{-n} \sum_{\varepsilon_{1}, \ldots , \varepsilon_{n} \in \left\{ -1,1\right\} } \varphi \left(\varepsilon_{1}, \ldots , \varepsilon_{n}\right)$ ;

(б)

$\int_{0}^{1}\left(\prod_{1 \leqslant k \leqslant n} \varphi_{k}\left(r_{k}(x)\right)\right) d x=\prod_{1 \leqslant k \leqslant n}\left(\int_{0}^{1} \varphi_{k}\left(r_{1}(x)\right) d x\right)$ .

Задача IX.3.3

(а)(б)

Пусть $m_{1}, \ldots , m_{n}$ - попарно различные натуральные числа. Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1} \varphi \left(r_{m_{1}}(x), r_{m_{2}}(x), \ldots , r_{m_{n}}(x)\right) d x=$

=\int _{0}^{1} \varphi \left(r_{1}(x), r_{2}(x), \ldots , r_{n}(x)\right) d x

(б)

$\int_{0}^{1} r_{m_{1}}(x) r_{m_{2}}(x) \ldots r_{m_{n}}(x) d x=0$ .

В частности, $\left\{ r_{n}\right\}$ - ортонормированная система в $\mathscr {L}^{2}(0,1)$ .

Задача IX.3.4

(а)(б)(в)(г)

Вычислите интегралы

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1} e^{i t \Sigma 2^{-k} r_{k}(x)} d x$ ;

(б)

$\int_{0}^{1} e^{i t \Sigma 3^{-k} r_{k}(x)} d x$ ;

(в)

$\int_{0}^{1} e^{z\left(c_{1} r_{1}(x)+\ldots +c_{n} r_{n}(x)\right)} d x\left(z, c_{k} \in \mathbb {C}\right)$ .

(г)

Докажите, что если $t, a_{n} \in \mathbb {R}, a_{n} \rightarrow 0, \sum a_{n}^{2}=\infty$ , то

\int _{0}^{1} e^{i t\left(a_{1} r_{1}(x)+\ldots +a_{n} r_{n}(x)\right)} d x \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0 \text{ при } t \neq 0

Задача IX.3.5

(а)(б)

Докажите, что для любых комплексных чисел $c_{1}, \ldots , c_{n}$ справедливы неравенства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1}\left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} c_{k} r_{k}(x)\right|^{4} d x \leqslant A\left(\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{2}$ ;

(б)

$\left(\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{1 / 2} \leqslant B \int_{0}^{1}\left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} c_{k} r_{k}(x)\right| d x$ ,

где $A, B$ - абсолютные постоянные.

Задача IX.3.6

(а)(б)

Докажите, что для любых комплексных чисел $c_{k j}(k, j \in \mathbb {N})$ справедливы неравенства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left|\sum_{1 \leqslant k, j \leqslant n} c_{k j} r_{k}(x) r_{j}(y)\right|^{4} d x d y \leqslant A\left(\sum_{1 \leqslant k, j \leqslant n}\left|c_{k j}\right|^{2}\right)^{2}$ ;

(б)

$\left(\sum_{1 \leqslant k, j \leqslant n}\left|c_{k j}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \leqslant B \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left|\sum_{1 \leqslant k, j \leqslant n} c_{k j} r_{k}(x) r_{j}(y)\right| d x d y$ , где $A, B$ - абсолютные постоянные.

Задача IX.3.7

(а)(б)

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\{ r_{j} r_{k}\right\}_{j<k}$ - ортонормированная система в $\mathscr {L}^{2}(0,1)$ ;

(б)

для любых комплексных чисел $c_{j k}$ справедливы неравенства:

\begin{aligned} & \int _{0}^{1}\left|\sum _{1 \leqslant j<k \leqslant n} c_{j k} r_{j}(x) r_{k}(x)\right|^{4} d x \leqslant A\left(\sum _{1 \leqslant j<k \leqslant n}\left|c_{j k}\right|^{2}\right)^{2} \\ & \left(\sum _{1 \leqslant j<k \leqslant n}\left|c_{j k}\right|^{2}\right)^{1 / 2} \leqslant B \int _{0}^{1}\left|\sum _{1 \leqslant j<k \leqslant n} c_{j k} r_{j}(x) r_{k}(x)\right| d x \end{aligned}

где $A, B$ - абсолютные постоянные.

Задача IX.3.8

(а)(б)

Докажите, что для любых комплексных чисел $c_{1}, \ldots , c_{n}$ справедливы неравенства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{2 \pi }\left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} c_{k} \sin 2^{k} x\right|^{4} d x \leqslant A\left(\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{2}$ ;

(б)

$\left(\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{1 / 2} \leqslant B \int_{0}^{2 \pi }\left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} c_{k} \sin 2^{k} x\right| d x$ ,

где $A, B$ - абсолютные постоянные.

Задача IX.3.9

(а)(б)(в)

Докажите, опираясь на результаты задач $3.5-3.8$ , что для любого $t>0$ и любых комплексных чисел $c_{k}, c_{j k}$ справедливы неравенства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\lambda \left\{ x \in (0,1) \mid \left|\sum_{k=1}^{n} c_{k} r_{k}(x)\right|>t\right\} \leqslant \frac{A_{1}}{t^{4}}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{2}$ ;

(б)

$\lambda \left\{ x \in (0,1) \mid \left|\sum_{1 \leqslant j<k \leqslant n} c_{j k} r_{j}(x) r_{k}(x)\right|>t\right\} \leqslant$

\leqslant \frac{A_{2}}{t^{4}}\left(\sum _{1 \leqslant j<k \leqslant n}\left|c_{j k}\right|^{2}\right)^{2} ;

(в)

$\lambda \left\{ x \in (0,2 \pi ) \mid \left|\sum_{k=1}^{n} c_{k} \sin 2^{k} x\right|>t\right\} \leqslant \frac{A_{3}}{t^{4}}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{2}$ , где $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ - абсолютные постоянные.

Задача IX.3.10

(а)(б)

Пусть $\sigma_{n}(x)=\frac{1}{n} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} r_{k}(x)(x \in (0,1))$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum \lambda \left\{ x \in (0,1) \mid \sigma_{n}(x) \geqslant n^{-1 / 5}\right\} <\infty$ ;

(б)

$\sum \left|\sigma_{n}(x)\right|^{4}<\infty$ почти везде на $(0,1)$ .

Каждое из утверждений а), б) влечёт почти везде на (0,1) равенство $\lim_{n \rightarrow \infty } \sigma_{n}(x)=0$ , которое известно под названием усиленного закона больших чисел. Используя связь между функциями Радемахера и знаками двоичного разложения (см. задачу 3.1 в)), выведите отсюда, что двоичное разложение почти каждого числа содержит «поровну» нулей и единиц (см. задачу 2.14).

Задача IX.3.11

(а)(б)

Пусть $C$ - произвольная квадратная $n \times n$ матрица, $A$ - множество всевозможных векторов в $\mathbb {R}^{n}$ , координаты которых равны $\pm 1$ .

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum_{x, y \in A}(C x, y)^{4} \leqslant K_{1} \cdot 2^{-2 n}\left(\sum_{x, y \in A}(C x, y)^{2}\right)^{2}$ ;

(б)

$\left(\sum_{x, y \in A}(C x, y)^{2}\right)^{1 / 2} \leqslant K_{2} \cdot 2^{-n} \sum_{x, y \in A}\left|(C x, y)\right|$ ,

где $K_{1}, K_{2}$ - абсолютные постоянные.

Задача IX.3.12

(а)(б)

Пользуясь теоремой единственности для преобразования Фурье конечных борелевских мер (см. § 4), найдите возрастающие функции распределения следующих функций:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f(x)=\frac{1}{2}+\sum 3^{-k} r_{k}(x)$ ;

(б)

$f(x)=\sum 2^{-k} r_{m_{k}}(x)$ ,

где $x \in (0,1)$ , а $\left\{ m_{k}\right\}$ - произвольная (не обязательно возрастающая) последовательность попарно различных натуральных чисел.

Задача IX.3.13

(а)(б)(в)

Пусть $R_{n}=a_{1} r_{1}+\ldots +a_{n} r_{n}\left(a_{1}, \ldots , a_{n} \in \mathbb {R}\right), \Delta$ - один из промежутков $\Delta_{m, j}$ (см. определение функций Радемахера). Докажите, что при $m \leqslant n$ справедливы неравенства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{\Delta }\left|R_{m}(x)\right| d x \leqslant \int_{\Delta }\left|R_{n}(x)\right| d x ;$

(б)

$\int_{\Delta } e^{R_{m}(x)} d x \leqslant \int_{\Delta } e^{R_{n}(x)} d x$ .

(в)

Докажите, что неравенства а), б) сохранятся, если $\Delta$ заменить на множество $E=\left\{ x \in (0,1) \mid \left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant m} a_{k} r_{k}(x)\right|>t\right\}$ .

Задача IX.3.14

(а)(б)

Пусть $R_{n}=a_{1} r_{1}+\ldots +a_{n} r_{n}, A^{2}=\left|a_{1}\right|^{2}+\ldots +\left|a_{n}\right|^{2}\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} \in \mathbb {R}\right)$ . Используя неравенство $\operatorname {ch} u \leqslant e^{u^{2} / 2}(u \in \mathbb {R})$ , докажите, что при $t>0$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\lambda \left\{ x \in (0,1) \mid \left|R_{n}(x)\right|>t\right\} \leqslant 2 e^{-t^{2} /\left(2 A^{2}\right)}$ ;

(б)

если $E=\left\{ x \in (0,1) \mid \max \left\{ \left|R_{1}(x)\right|, \ldots ,\left|R_{n}(x)\right|\right\} >t\right\}$ , то $\lambda (E) \leqslant \frac{A}{t}$ , $\lambda (E) \leqslant 2 e^{-t^{2} /\left(2 A^{2}\right)}$ .

Убедитесь, что для комплексных $a_{k}$ неравенство а) заменяется на $\lambda \left\{ \ldots \right\} \leqslant 4 e^{-t^{2} /\left(4 A^{2}\right)}$ .

Задача IX.3.15

(а)(б)

Пусть $\sum \left|a_{k}\right|^{2}<\infty$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

ряд $\sum a_{k} r_{k}(x)$ сходится почти везде;

(б)

если $M(x)=\sup_{n \geqslant 1}\left|a_{1} r_{1}(x)+\ldots +a_{n} r_{n}(x)\right|$ , то $\int_{0}^{1} e^{s M^{2}(x)} d x<\infty$ для любого числа $s>0$ .

Задача IX.3.16

Докажите, что если ряд $\sum a_{k} r_{k}$ сходится по мере на каком-нибудь множестве $E$ положительной меры, то $\sum \left|a_{k}\right|^{2}<\infty$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.3.17

(а)(б)(в)(г)

Докажите, что эквивалентны утверждения:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum \left|a_{k}\right|^{2}<\infty$ ;

(б)

ряд $\sum a_{k} r_{k}$ сходится в $\mathscr {L}^{p}(0,1)$ при некотором $p \in (0,2)$ ;

(в)

ряд $\sum a_{k} r_{k}$ сходится по мере на интервале $(0,1)$ ;

(г)

ряд $\sum a_{k} r_{k}$ сходится почти везде на $(0,1)$ .

Задача IX.3.18

Докажите, что если ряд $\sum a_{k} \sin 2^{k} x$ сходится по мере на каком-нибудь множестве положительной меры, то $\sum \left|a_{k}\right|^{2}<\infty$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.3.19

Пусть $\sum \left|a_{k}\right|^{2}<\infty , \Delta$ - непустой интервал. Докажите, что если vrai sup $\left|\sum a_{k} r_{k}(x)\right|<\infty$ , то $\sum \left|a_{k}\right|<\infty$ (ср. с задачей 4.15). $x \in \Delta$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.3.20

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Пусть $\left\{ \varphi_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ - ортонормированная система в пространстве $\mathscr {L}^{2}(0,1)$ . Докажите, что

\sum _{n \geqslant 1}\left|\int _{e} \varphi _{n}(t) d t\right|^{2} \leqslant \lambda (e) \quad \text{ для } \quad e \subset (0,1) .

(б)

Уточните это неравенство для системы Радемахера.

В задачах 3.21 и 3.22 мы будем рассматривать систему функций Хаара $\left\{ h_{m}\right\}_{m \geqslant 0}$ . Она определяется следующим образом. Каждое натуральное число $m$ единственным образом представимо в виде $m=2^{n}+k$ , где $n, k$ - целые неотрицательные числа, $0 \leqslant k<2^{n}$ . По определению полагаем $h_{0}(x)=1$ для любого $x \in (0,1)$ , а при $m \in \mathbb {N}$

h_{m}(x)=\begin{cases} 2^{n / 2}, & \text{ при } 2^{-n} k<x<2^{-n}\left(k+\frac{1}{2}\right), \\ -2^{n / 2}, & \text{ при } 2^{-n}\left(k+\frac{1}{2}\right)<x<2^{-n}(k+1), \\ 0, & \text{ при прочих значениях } x \in (0,1) . \end{cases}

Задача IX.3.21

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\{ h_{m}\right\}_{m \geqslant 0}$ - ортонормированная система в $\mathscr {L}^{2}(0,1)$ ;

(б)

если $E=\left\{ x \in (0,1) \mid \left|\sum_{0 \leqslant k \leqslant m} a_{k} h_{k}(x)\right|>t\right\}$ , то при $n \geqslant m$

\int _{E}\left|\sum _{0 \leqslant k \leqslant m} a_{k} h_{k}(x)\right| d x \leqslant \int _{E}\left|\sum _{0 \leqslant k \leqslant n} a_{k} h_{k}(x)\right| d x ;

(в)

если $E=\left\{ x \in (0,1) \mid \max_{0 \leqslant m \leqslant n}\left|\sum_{0 \leqslant k \leqslant m} a_{k} h_{k}(x)\right|>t\right\}$ , то

\lambda (E) \leqslant A t^{-1}, \quad \text{ где } \quad A^{2}=\left|a_{1}\right|^{2}+\ldots +\left|a_{n}\right|^{2} ;

(г)

если $\sum \left|a_{k}\right|^{2}<\infty$ , то ряд $\sum a_{k} h_{k}(x)$ сходится почти везде на (0,1);

(д)

частичная сумма $S_{2^{n}}$ ряда Фурье функции $f$ из $\mathscr {L}^{1}(0,1)$ по системе Хаара есть результат усреднения $f$ на промежутках $\Delta_{n, k}=\left(\frac{k}{2^{n}}, \frac{k+1}{2^{n}}\right), k=0,1, \ldots , 2^{n}-1$ ;

(е)

выведите из д), что $\left\| S_{2^{n}}\right\|_{1} \leqslant \left\| f\right\|_{1}$ .

Задача IX.3.22

(а)(б)

Известно, что ряд Фурье по системе Хаара любой суммируемой функции сходится к ней ${ }^{*)}$ в $\mathscr {L}^{1}(0,1)$ . Опираясь на это, докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

этот ряд сходится почти везде на $(0,1)$ ;

(б)

если $E=\left\{ x \in (0,1) \mid \sup_{n}\left|S_{n}(x)\right|>t\right\}$ , где $S_{n}$ - $n$ -я частичная сумма ряда Фурье функции $f$ по системе Хаара, то $\lambda (E) \leqslant \frac{\left\| f\right\|_{1}}{t}$ .

Задача IX.3.23

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Используя результат задачи 3.14 , докажите, что при любом $p>0$ и любых $a_{1}, \ldots , a_{n} \in \mathbb {R}$ справедливо неравенство Хинчина

A_{p}\left(\sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2} \leqslant \left\| \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} r_{k}\right\| _{p} \leqslant B_{p}\left(\sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2},

где $A_{p}, B_{p}$ - положительные постоянные, зависящие только от $p$ , и $\varlimsup_{p \rightarrow +\infty } B_{p} / \sqrt{p} \leqslant 1 / \sqrt{e}$ .

Отметим, что оценка снизу при $p \geqslant 2$ очевидна (с коэффициентом $A_{p}=1$ , который нельзя увеличить), а оценка сверху очевидна при $p \leqslant 2$ (с коэффициентом $B_{p}=1$ , который нельзя уменьшить).

*) Читатель, знакомый с элементами функционального анализа, заметит, что это легко вывести из теоремы Банаха-Штейнгауза.

(б)

Докажите, что $\quad A_{p} \leqslant \alpha_{p}=2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}} \min \left\{ 1, \gamma_{p}\right\} \quad$ при $\quad p \in (0,2]$ , $B_{p} \geqslant \beta_{p}=2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}} \gamma_{p}$ при $p \geqslant 2$ , где $\gamma_{p}=\left(\frac{\Gamma \left(\frac{1+p}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)}\right)^{\frac{1}{p}}(p>0)$ (в [Haag] доказано, что $\alpha_{p}, \beta_{p}$ - наилучшие значения коэффициентов $A_{p}$ и $B_{p}$ ). В частности, $B_{2 m} \geqslant ((2 m-1)!!)^{1 /(2 m)}$ для всех $m \in \mathbb {N}$ .

Задача IX.3.24

Докажите, что если при $p>2$ и некотором $B_{p}$ неравенство

\left\| \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} r_{k}\right\| _{p} \leqslant B_{p}\left(\sum _{1 \leqslant k \leqslant n}\left|a_{k}\right|^{2}\right)^{1 / 2}

справедливо для любых вещественных чисел $a_{1}, \ldots , a_{n}$ , то оно справедливо и для любых комплексных $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ .

При $0<p<2$ аналогичное утверждение верно для неравенства

\left\| \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} r_{k}\right\| _{p} \geqslant A_{p}\left(\sum _{1 \leqslant k \leqslant n}\left|a_{k}\right|^{2}\right)^{1 / 2} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.3.25

(а)(б)

Пусть $p>0, n \in \mathbb {N}$ и $a_{1}, \ldots , a_{n} \in \mathbb {R}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\| \sum_{k=1}^{n} a_{k} r_{k}\right\|_{p+2}^{p+2}=(p+1) \sum_{j=1}^{n} a_{j}^{2} \int_{0}^{1}\left\| t a_{j} r_{j}+\sum_{\substack {k=1 \\ k \neq j}}^{n} a_{k} r_{k}\right\|_{p}^{p} d t$ ;

(б)

наилучшие постоянные $B_{p}$ в неравенстве Хинчина удовлетворяют неравенству $B_{p+2}^{p+2} \leqslant (p+1) B_{p}^{p}$ ; кроме того, $B_{2 m}^{2 m}=(2 m-1)!!$ .

Задача IX.3.26

(а)(б)(в)

Пусть $n \in \mathbb {N}$ и $a_{1}, \ldots , a_{n} \in \mathbb {R}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1}\left|a_{1} r_{1}(x)+\ldots +a_{n} r_{n}(x)\right| d x=\frac{2}{\pi } \int_{0}^{\infty }\left(1-\prod_{k=1}^{n} \cos a_{k} t\right) \frac{d t}{t^{2}}$ ;

(б)

$\int_{0}^{1}\left|a_{1} r_{1}(x)+\ldots +a_{n} r_{n}(x)\right| d x \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\left(a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}\right)^{1 / 2}$ ;

(в)

при $p \in (0,1]$ наилучшая константа $A_{p}$ в неравенстве Хинчина равна $2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}}$ .

Задача IX.3.27

Докажите, что утверждения а)-г) задачи 3.17 эквивалентны утверждению: д) ряд $\sum a_{k} r_{k}$ сходится в $\mathscr {L}^{p}(0,1)$ при любом $p$ из $(0, \infty )$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.3.28

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что для любого тригонометрического многочлена $\sum_{\left|k\right| \leqslant n} c_{k} e^{i k x}$ можно указать такие числа $\varepsilon_{k}= \pm 1 \quad (\left|k\right| \leqslant n)$ , что

\int _{-\pi }^{\pi }\left|\sum _{\left|k\right| \leqslant n} \varepsilon _{k} c_{k} e^{i k x}\right| d x \geqslant c\left(\sum _{\left|k\right| \leqslant n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{1 / 2},

где $c>0$ - абсолютная постоянная.

(б)

Рассмотрим тригонометрический многочлен $T_{n}(\varphi )=\sum_{k=1}^{n} a_{k} e^{i k \varphi }$ , коэффициенты которого $a_{1}, \ldots , a_{n}$ образуют перестановку чисел $1,2, \ldots , n$ . Докажите, что тривиальная оценка

\left\| T_{n}\right\| _{1}=\int _{-\pi }^{\pi }\left|T_{n}(\varphi )\right| d \varphi \leqslant \sqrt{2 \pi }\left\| T_{n}\right\| _{2}=2 \pi \sqrt{1^{2}+\ldots +n^{2}} \leqslant \operatorname {const} n^{3 / 2},

вообще говоря, не может быть улучшена по порядку: для каждого $n \in \mathbb {N}$ существует такая перестановка $a_{1}, \ldots , a_{n}$ чисел $1, \ldots , n$ , что $\left\| T_{n}\right\|_{1} \geqslant c n^{3 / 2}(c>0$ и не зависит от $n)$ .

Задача IX.3.29

Докажите, что для любого тригонометрического многочлена $\sum_{\left|k\right| \leqslant n} c_{k} e^{i k x}(n \geqslant 2)$ можно указать такие числа $\varepsilon_{k}= \pm 1(\left|k\right| \leqslant n)$ , что

\sup _{x \in \mathbb {R}}\left|\sum _{\left|k\right| \leqslant n} \varepsilon _{k} c_{k} e^{i k x}\right| \leqslant 10 \sqrt{\ln n}\left(\sum _{\left|k\right| \leqslant n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{1 / 2} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.3.30

Докажите, что при любом $a>2$ найдутся такие числа $q_{n}>0$ , что ряд

\sum _{n \geqslant 2}\left(\frac{\left|r_{1}(x)+\ldots +r_{n}(x)\right|}{\sqrt{a n \ln n}}\right)^{q_{n}}

сходится почти везде. Выведите отсюда, что почти везде

\varlimsup _{n \rightarrow \infty } \frac{\left|r_{1}(x)+\ldots +r_{n}(x)\right|}{\sqrt{2 n \ln n}} \leqslant 1 .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.3.31

Пусть $\left\{ n_{j}\right\}$ - произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел. Докажите, что

\varlimsup _{j \rightarrow +\infty } \frac{\left|r_{1}(x)+r_{2}(x)+\ldots +r_{n_{j}}(x)\right|}{\sqrt{2 n_{j} \ln j}} \leqslant 1

почти везде на $(0,1)$ . Если $j=O\left(\ln n_{j}\right)$ , то мы получаем отсюда весьма слабый вариант закона повторного логарифма:

\varlimsup _{j \rightarrow +\infty } \frac{\left|r_{1}(x)+r_{2}(x)+\ldots +r_{n_{j}}(x)\right|}{\sqrt{2 n_{j} \ln \ln n_{j}}} \leqslant 1 \text{ почти везде на }(0,1) \text{. }

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

IX.4 · Ряд и преобразование Фурье[57/96%]

Задача IX.4.1

Пусть $\left|\alpha \right|<1$ и $f_{\alpha }(x)=\left|x\right|^{\alpha }$ при $0<\left|x\right|<\pi$ . Найдите асимптотику коэффициентов Фурье функции $f_{\alpha }$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.2

(а)(б)

Пусть $f \in \mathscr {L}^{1}(0,2 \pi )$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $f$ убывает, то её синус-коэффициенты Фурье неотрицательны;

(б)

если $f$ выпукла, то её косинус-коэффициенты Фурье неотрицательны.

Задача IX.4.3

Используя результат задачи IV.6.20, докажите, что коэффициенты Фурье суммируемой функции могут стремиться к нулю сколь угодно медленно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.4

Используя косинус-коэффициенты Фурье чётной функции, приведите пример такого ненулевого ряда $\sum a_{n}$ , что $\sum_{j \geqslant 1} a_{k j}=0$ при любом $k \in \mathbb {N}$ (ср. с задачей IV.3.8).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.5

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Пусть $0<\alpha <1, \quad f \in C(\left[-\pi , \pi \right])$ . Докажите, что если $\widehat{f}(n)=O\left(\left|n\right|^{-(1+\alpha )}\right)$ , то $f \in \operatorname {Lip}_{\alpha }$ . Верно ли это при $\alpha =1$ ?

(б)

Докажите, что если $0<\alpha \leqslant 1$ и $f-2 \pi$ -периодическая функция, входящая в класс $\operatorname {Lip}_{\alpha }$ , то $\widehat{f}(n)=O\left(\left|n\right|^{-\alpha }\right)$ . Убедитесь, что эта оценка точная.

Задача IX.4.6

Пусть $p \in (0,1)$ ,

f_{p}(x)=\sum _{n \geqslant 1} \frac{\cos n x}{n^{p}}, \quad g_{p}(x)=\sum _{n \geqslant 1} \frac{\sin n x}{n^{p}}

и пусть $h_{p}-2 \pi$ -периодическая функция, определённая на промежутке $(0,2 \pi )$ равенством

h_{p}(x)=\lim _{N \rightarrow \infty }\left(\left(\frac{x}{2 \pi }\right)^{p-1}+\left(1+\frac{x}{2 \pi }\right)^{p-1}+\ldots +\left(N+\frac{x}{2 \pi }\right)^{p-1}-\frac{N^{p}}{p}\right) .

Убедитесь, что $h_{p}$ есть линейная комбинация функций $f_{p}$ и $g_{p}$ . Выведите отсюда, что на интервале $(0, \pi )$ функции $f_{p}, g_{p}$ убывают, выпуклы и

f_{p}(x)=\frac{A_{p}}{x^{1-p}}+O(1), \quad g_{p}(x)=\frac{B_{p}}{x^{1-p}}+O(1),

где $A_{p}, B_{p}$ - некоторые положительные коэффициенты.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.7

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что если $f$ - функция ограниченной вариации на промежутке $\left[-\pi , \pi \right]$ , то $\widehat{f}(n)=O\left(n^{-1}\right)$ .

(б)

Пусть $f(x)=x \cos \frac{1}{x}$ при $0<\left|x\right| \leqslant \pi , f(0)=0$ . Докажите, что $\widehat{f}(n)=O\left(n^{-1}\right)$ , хотя вариация функции $f$ на $\left[-\pi , \pi \right]$ бесконечна.

Задача IX.4.8

Пусть $f \in \mathscr {L}^{\infty }(-\pi , \pi )$ . Докажите, что числа $\widehat{f}(n) / \sqrt{\left|n\right|}(n \in \mathbb {Z}$ , $n \neq 0$ ) являются коэффициентами Фурье функции, входящей в класс $\operatorname {Lip}_{1 / 2}$ (используйте конструкцию задачи III.3.23).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.9

Пользуясь равенством Парсеваля, докажите неравенство Виртингера ${ }^{*}$ ): если $f \in C^{1}(\left[0,2 \pi \right])$ , причём $\widehat{f}(0)=0$ и $f(0)=f(2 \pi )$ , то

\int _{0}^{2 \pi }\left|f(x)\right|^{2} d x \leqslant \int _{0}^{2 \pi }\left|f^{\prime }(x)\right|^{2} d x

Для каких функций это неравенство обращается в равенство?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.10

Пусть $f \in \mathscr {L}^{1}(-\pi , \pi )$ . Докажите, что $\sum_{n \in \mathbb {Z}}\left|\widehat{f}(n)\right|<\infty$ тогда и только тогда, когда $f$ представима в виде свёртки двух $2 \pi$ -периодических функций из $\mathscr {L}^{2}(-\pi , \pi )$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.11

(а)(б)

При каких $p>0$ сходятся ряды

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum \frac{\sqrt[3]{\cos (2 \pi n \sqrt{2})}}{n^{p}}$ ;

(б)

$\sum (-1)^{n} \frac{\left|\sin (2 \pi n \sqrt{2})\right|}{n^{P}}$ ?

*) Доказательство, не использующее ряды Фурье, см. в указании к задаче I.2.40. Различные обобщения неравенства Виртингера можно найти в [ХЛП] на с. 221, 384 .

Задача IX.4.12

(а)(б)

Докажите сходимость рядов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum \frac{\sqrt[3]{\cos \left(\pi \sqrt{2} n^{2}\right)}}{n}$ ;

(б)

$\sum (-1)^{n} \frac{\left|\sin \left(\pi \sqrt{2} n^{3}\right)\right|}{n}$ .

Задача IX.4.13

Пусть $S_{n}(x)=\sin x+\frac{1}{2} \sin 2 x+\ldots +\frac{1}{n} \sin n x-n$ -я частичная сумма ряда Фурье функции $f(x)=\frac{1}{2}(\pi -x) \quad (x \in (0,2 \pi ))$ , $G_{n}=\max_{x} S_{n}(x)$ . Докажите, что суммы $S_{n}(x)$ положительны на $(0, \pi )$ и что

G_{n}=S_{n}\left(\frac{\pi }{n+1}\right) \uparrow G=\int _{0}^{\pi } \frac{\sin u}{u} d u>\frac{\pi }{2}=f(+0)

(явление Гиббса).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.14

(а)(б)

Пусть $f(x)=\sum \frac{1}{n^{n}} \sin \left(n^{n^{n}}\left|x\right|\right)(\left|x\right| \leqslant \pi )$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

ряд Фурье функции $f$ расходится в точках $x=0, x= \pm \pi$ и сходится в остальных точках промежутка $\left[-\pi , \pi \right]$ ;

(б)

если непрерывная функция $g$ совпадает с $f$ на промежутке $\left[a, \pi \right]$ , а на промежутке $\left[-\pi , a\right]$ линейна, то её ряд Фурье расходится в точке $a$ при почти всех $a \in (-\pi , \pi )$ .

Задача IX.4.15

(а)(б)(в)

Докажите, что следующие три свойства тригонометрического ряда $\sum \left(a_{n} \cos 2^{n} x+b_{n} \sin 2^{n} x\right)$ эквивалентны:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum \left(\left|a_{n}\right|+\left|b_{n}\right|\right)<+\infty$ ;

(б)

частичные суммы $S_{N}(x)=\sum_{n=0}^{N}\left(a_{n} \cos 2^{n} x+b_{n} \sin 2^{n} x\right)$ равномерно ограничены на некотором промежутке $\left[a, b\right], a<b$ ;

(в)

суммы $S_{N}(x)$ равномерно ограничены на $\mathbb {R}$ .

Будем называть вещественным квазитригонометрическим многочленом функцию $f$ вида

f(x)=\sum _{k=1}^{n} a_{k} \cos \left(2 \pi m_{k} x+\varphi _{k}\right) \quad (x \in \mathbb {R})

где $m_{k}, \varphi_{k}, a_{k} \in \mathbb {R}, m_{k} \geqslant 0$ . Множество $\left\{ m_{1}, \ldots , m_{n}\right\}$ будем называть спектром квазитригонометрического многочлена $f$ , а числа $m_{k}$ - его частотами.

Произведения вида

\prod _{k=1}^{n}\left(1+\cos \left(2 \pi m_{k} x+\varphi _{k}\right)\right) \quad (n \in \mathbb {N})

называются произведениями Рисса.

Последовательность $\left\{ m_{k}\right\} \subset \mathbb {R}_{+}$ будем называть лакунарной, если она удовлетворяет условию

m_{k+1} / m_{k} \geqslant Q>1 \quad \text{ при всех } k \in \mathbb {N} . \tag {*}

Задача IX.4.16

(а)(б)

Пусть $\left\{ m_{k}\right\}$ - последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию (*) при некотором $Q>1$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $Q>3$ , то при любом натуральном $n$ произведение Рисса $R_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\cos \left(2 \pi m_{k} x+\varphi_{k}\right)\right)$ есть квазитригонометрический многочлен вида

R_{n}(x)=1+\sum _{k=1}^{n} \cos \left(2 \pi m_{k} x+\varphi _{k}\right)+\sum _{j=1}^{s} c_{j} \cos \left(2 \pi n_{j} x+\psi _{j}\right)

где $n_{j} \neq m_{k}$ при всех $j=1, \ldots , s, k \in \mathbb {N}$ ;

(б)

существует такое натуральное число $r=r(Q)$ , что при любом целом $p, 0 \leqslant p<r$ , и любом $n, n \in \mathbb {N}$ , произведение Рисса $\widetilde{R}_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\cos \left(2 \pi m_{k r+p} x+\widetilde{\varphi }_{k}\right)\right)$ не содержит слагаемых с частотами $m_{j}$ , отли чными от $m_{r+p}, m_{2 r+p}, \ldots , m_{n r+p}$ , т. е. имеет вид

\widetilde{R}_{n}(x)=1+\sum _{k=1}^{n} \cos \left(2 \pi m_{k r+p} x+\widetilde{\varphi }_{k}\right)+\sum _{j=1}^{\widetilde{s}} \widetilde{c}_{j} \cos \left(2 \pi \widetilde{n}_{j} x+\widetilde{\psi }_{j}\right)

где $\widetilde{n}_{j} \neq m_{k}$ при всех $j=1, \ldots , \widetilde{s}, k \in \mathbb {N}$ .

Задача IX.4.17

Пусть $F(x)=\sum_{k=1}^{N} a_{k} \cos \left(2 \pi m_{k} x+\varphi_{k}\right)$ - вещественный квазитригонометрический многочлен, частоты которого образуют лакунарную последовательность, удовлетворяющую условию (*), $M=\sup_{x \in \mathbb {R}}\left|F(x)\right|$ . Докажите, что существует такое число $C=C(Q)$ , что $\sum_{k=1}^{N}\left|a_{k}\right| \leqslant C M$ , каковы бы ни были коэффициенты $a_{k}$ .

В нескольких следующих задачах используются суммы Чезаро-Фейера. Суммой Чезаро-Фейера функции $f \in \mathscr {L}^{1}(-\pi , \pi )$ называется тригонометрический многочлен

\sigma _{n}(f, x)=\sigma _{n}(x)=\frac{S_{0}(x)+S_{1}(x)+\ldots +S_{n-1}(x)}{n} \quad (x \in \mathbb {R}),

где $S_{0}, S_{1}, \ldots , S_{n}$ - частичные суммы ряда Фурье функции $f$ . Суммы Чезаро-Фейера представляются в виде свёртки функции $f$ и ядра Фейера $\Phi_{n}$ :

\sigma _{n}(f, x)=\int _{-\pi }^{\pi } \Phi _{n}(x-y) f(y) d y, \quad \text{ где } \quad \Phi _{n}(x)=\frac{1}{2 \pi n} \sin ^{2}(n x / 2)

Отметим также важное равенство

\sigma _{n}(f, x)=\sum _{\left|k\right|<n}\left(1-\frac{\left|k\right|}{n}\right) \widehat{f}(k) e^{i k x} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.18

Пусть $T$ - тригонометрический многочлен порядка не выше $n$ . Докажите, что

T^{\prime }=-2 n T * \Psi _{n}, \quad \text{ где } \Psi _{n}(x)=\Phi _{n}(x) \sin n x .

Выведите отсюда ослабленное неравенство Бернштейна:

\max _{x}\left|T^{\prime }(x)\right| \leqslant 2 n \max _{x}\left|T(x)\right|

и аналогичные оценки для $L^{p}$ -норм (по поводу неравенства Бернштейна см. задачу I.2.22).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.19

(а)(б)(в)(г)

Пусть $f-2 \pi$ -периодическая функция, суммируемая на $(-\pi , \pi )$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ , то $\sigma_{n}\left(x_{0}\right) \rightarrow f\left(x_{0}\right)$ , а если $f$ непрерывна всюду, то $\sigma_{n} \rightrightarrows f$ на $\mathbb {R}$ ;

(б)

если $f$ непрерывна во всех точках компактного множества $\Delta$ , то $\max_{x \in \Delta }\left|\sigma_{n}(x)-f(x)\right| \rightarrow 0$ ;

(в)

если в точке $x$ существуют конечные односторонние производные $f_{+}^{\prime }(x)$ и $f_{-}^{\prime }(x)$ , то

\frac{n}{\ln n}\left(\sigma _{n}(x)-f(x)\right) \rightarrow \frac{1}{\pi }\left(f_{+}^{\prime }(x)-f_{-}^{\prime }(x)\right) ;

(г)

сходимость $\left\{ \sigma_{n}\right\}$ к $f$ не может быть слишком быстрой: если $\lim n\left\| f-\sigma_{n}\right\|_{1}=0$ , то $f \equiv$ const почти везде.

Задача IX.4.20

(а)(б)(в)

Пусть $f-2 \pi$ -периодическая функция, $f \in \operatorname {Lip}_{\alpha }, 0<\alpha <1$ . Докажите, что при $n \rightarrow \infty$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\| \sigma_{n}-f\right\|_{\infty }=O\left(n^{-\alpha }\right)$ ;

(б)

$\left\| S_{n}-f\right\|_{2}=O\left(n^{-\alpha }\right)$ ;

(в)

$\left\| S_{n}-f\right\|_{\infty }=O\left(n^{-\alpha } \ln n\right)$ .

Задача IX.4.21

(а)(б)(в)

Пусть $f-2 \pi$ -периодическая функция, $f \in \operatorname {Lip}_{1}$ . Докажите, что при $n \rightarrow \infty$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\| \sigma_{n}-f\right\|_{\infty }=O\left(n^{-1} \ln n\right)$ ;

(б)

$\left\| S_{n}-f\right\|_{2}=O\left(n^{-1}\right)$ ;

(в)

$\left\| S_{n}-f\right\|_{\infty }=O\left(n^{-1} \ln n\right)$ .

Задача IX.4.22

Пусть $f-2 \pi$ -периодическая функция, $f \in \operatorname {Lip}_{\alpha }$ . Докажите, что если $\alpha >\frac{1}{2}$ , то $\sum_{n \in \mathbb {Z}}\left|\widehat{f}(n)\right|<\infty$ . При $\alpha =\frac{1}{2}$ утверждение становится неверным (см. задачу 4.30).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.23

Пусть $f-2 \pi$ -периодическая функция, суммируемая на $(-\pi , \pi )$ . Докажите неравенство

\sup _{n}\left|\sigma _{n}(f, x)\right| \leqslant C M(f, x)

где $C$ - абсолютная постоянная, а $M(f, x)$ - максимальная функция Харди-Литтлвуда:

M(x)=\sup _{h>0} \frac{1}{2 h} \int _{x-h}^{x+h}\left|f(y)\right| d y

Покажите на примере, что функция $x \mapsto \sup_{n}\left|\sigma_{n}(f, x)\right|$ может быть не суммируемой на промежутке $(0,2 \pi )$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.24

(а)(б)(в)

Пусть $f(x)=\sum_{n \geqslant 2} \frac{\cos n x}{n^{2}} \ln n \quad (x \in \mathbb {R})$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f \in C^{1}(\mathbb {R}), f \in C^{2}(0,2 \pi ), f^{\prime \prime } \in \mathscr {L}^{1}(0,2 \pi )$ ;

(б)

$\left\| f-S_{n}\right\|_{\infty } \asymp \frac{1}{n \ln n}$ ;

(в)

$E_{n}(f) \asymp \frac{1}{n \ln n}$ . Здесь $E_{n}(f)=\inf \left\| f-T\right\|_{\infty }$ , где нижняя грань вычисляется по всем тригонометрическим многочленам $T$ , порядок которых не превышает $n$ .

Задача IX.4.25

(а)(б)(в)

Рассмотрим две последовательности алгебраических многочленов $\left\{ P_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ и $\left\{ Q_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ (многочлены Рудина-Шапиро), которые определяются рекуррентно следующим образом: $P_{0}=Q_{0}=1$ и для $n=0,1,2, \ldots$

P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}} Q_{n}(z), \quad Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}} Q_{n}(z)

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

степень многочленов $P_{n}$ и $Q_{n}$ равна $2^{n}-1$ ;

(б)

все коэффициенты многочленов $P_{n}$ и $Q_{n}$ равны $\pm 1$ ;

(в)

если $z \in \mathbb {C},\left|z\right|=1$ , то $\left|P_{n}(z)\right|^{2}+\left|Q_{n}(z)\right|^{2}=2^{n+1}$ .

Задача IX.4.26

Пусть $R_{N}(N=0,1,2, \ldots )$ - естественная проекция множества всех алгебраических многочленов на множество многочленов степсни не выше $N$ ( $R_{N}$ аннулирует одночлены, степень которых большс $N$ , и не меняет одночлены, степень которых не превосходит $N$ ).

Докажите, что при $z \in \mathbb {C},\left|z\right|=1$ , и любых $N, n \in \mathbb {N}$ , для многочленов Рудина-Шапиро $P_{n}$ и $Q_{n}$ (см. задачу 4.25) справедливы неравенства:

\left|R_{N}\left(P_{n}\right)(z)\right| \leqslant 10 \sqrt{N}, \quad \left|R_{N}\left(Q_{n}\right)(z)\right| \leqslant 10 \sqrt{N} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.27

(а)(б)

Докажите, что существует ряд $\sum_{k \geqslant 0} \varepsilon_{k} e^{i k \theta }$ , где $\varepsilon_{k}= \pm 1$ , для всех частичных сумм $S_{n}$ которого справедливы неравенства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\max_{0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi }\left|S_{n}(\theta )\right| \leqslant 10 \sqrt{n}$ ;

(б)

$\int_{0}^{2 \pi }\left|S_{n}(\theta )\right| d \theta \geqslant \sqrt{\frac{n}{3}}$ .

Задача IX.4.28

Используя последовательность $\left\{ \varepsilon_{k}\right\}_{k \geqslant 0}$ из задачи 4.27, убедитесь в том, что существует такой равномерно сходящийся на $\mathbb {R}$ ряд $f(\theta )=\sum_{k \geqslant 0} a_{k} e^{i k \theta }$ , что $\sum \left|a_{k}\right|^{p}=+\infty$ для любого $p<2$ (особенность Карлемана).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.29

(а)(б)(в)

Пусть последовательность $\left\{ \varepsilon_{k}\right\} \subset \mathbb {C}$ удовлетворяет условию $\max_{\theta \in \mathbb {R}}\left|\sum_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} e^{i k \theta }\right|=O(\sqrt{n})$ (ср. с задачей 4.27). Докажите, что при $\alpha >0$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\max_{\theta \in \mathbb {R}}\left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant n!} \frac{\varepsilon_{k}}{k^{1 / 2-\alpha }} e^{i k \theta }\right|=O\left(n^{\alpha }\right)$ ;

(б)

$\max_{\theta \in \mathbb {R}}\left|\sum_{k \geqslant n} \frac{\varepsilon_{k}}{k^{1 / 2+\alpha }} e^{i k \theta }\right|=O\left(n^{-\alpha }\right)$ ;

(в)

функция $f(\theta )=\sum \frac{\varepsilon_{k}}{k^{1 / 2+\alpha }} e^{i k \theta }$ входит в класс $\operatorname {Lip}_{\alpha }$ при $\alpha \in (0,1)$ .

Задача IX.4.30

Докажите, что существует такая функция $f \in \operatorname {Lip}_{1 / 2}$ вида $f(\theta )=\sum c_{k} e^{i k \theta }$ , что $\sum \left|c_{k}\right|=\infty$ (ср. с задачей 4.22).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.31

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Пусть $f, g \in \mathscr {L}^{2}(-\pi , \pi ), h=f g$ . Докажите, что если $\widehat{f}(n)=\widehat{g}(n)=0$ при $n<0$ , то и $\widehat{h}(n)=0$ при $n<0$ .

(б)

Пусть $f \in \mathscr {L}^{\infty }(-\pi , \pi ), \Phi =e^{f}$ . Докажите, что если $\widehat{f}(n)=0$ при $n<0$ , то и $\widehat{\Phi }(n)=0$ при $n<0$ .

Задача IX.4.32

Пусть $f \in \mathscr {L}^{2}(-\pi , \pi )$ . Рассмотрим функцию $\widetilde{f}$ , определяемую равенством

\tilde{f}(x)=-i \sum _{n \in \mathbb {Z}} \widehat{f}(n) \operatorname {sign}(n) e^{i n x} \quad (x \in (-\pi , \pi )) .

Докажите, что функция $\widetilde{f}$ вещественна, если вещественна функция $f$ .

Функция $\widetilde{f}$ называется сопряжённой к $f$ . С одним из многочисленных применений этого важного понятия читатель может познакомиться в двух следующих задачах, заимствованных из [MGPS].

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.33

(а)(б)

Пусть $1=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{m}$ - натуральные, а $a_{1}$ , $a_{2}, \ldots , a_{m}$ - произвольные комплексные числа, и пусть

f_{k}(x)=\sum _{2^{k-1} \leqslant j<2^{k}} a_{j} e^{i n_{j} x} \quad (x \in \mathbb {R})

(мы считаем, что $k \geqslant 1$ и $a_{j}=0$ при $j>m$ ). Пусть, далее,

g_{k}=\left|f_{k}\right|, \quad h_{k}=g_{k}-i \tilde{g}_{k}, \quad \text{ и } \quad F_{\varepsilon }=\sum _{k \geqslant 1} f_{k} e^{-\varepsilon \Sigma _{j \geqslant k} h_{j}},

где $\varepsilon$ - произвольное положительное число, $\widetilde{g}_{k}$ - функция, сопряжённая к $g_{k}$ (см. определение в задаче 4.32). Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left|F_{\varepsilon }(x)\right| \leqslant \varepsilon^{-1}$ при любом $x \in (-\pi , \pi )$ ;

(б)

если $2^{p-1} \leqslant q<2^{p}$ , то

\left|\widehat{F}_{\varepsilon }\left(n_{q}\right)-a_{q}\right| \leqslant \frac{\varepsilon }{2} \sum _{k \geqslant p}\left\| f_{k}\right\| _{2} \sum _{j \geqslant k}\left\| f_{j}\right\| _{2} .

Задача IX.4.34

Пусть $1 \leqslant n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{m}\left(n_{j} \in \mathbb {N}\right)$ . Используя результат предыдущей задачи, докажите, что для любых комплексных чисел $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{m}$ справедливо неравенство

\int _{-\pi }^{\pi }\left|\sum _{1 \leqslant j \leqslant m} c_{j} e^{i n_{j} x}\right| d x \geqslant \delta \sum _{1 \leqslant j \leqslant m} \frac{\left|c_{j}\right|}{j},

где $\delta$ - положительная абсолютная постоянная ( $\delta \geqslant 10^{-2}$ ).

Преобразованием Фурье функции $f \in \mathscr {L}^{1}\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ называется функция $\widehat{f}$ , определяемая равенством

\widehat{f}(s)=\int _{\mathbb {R}^{m}} f(t) e^{-i(s, t)} d t \quad \left(s \in \mathbb {R}^{m}\right)

где $(s, t)$ - скалярное произведение векторов $s, t \in \mathbb {R}^{m}$ . Напомним, что преобразование Фурье инъективно в том смысле, что если $\widehat{f}=\widehat{g}$ , то $f(t)=g(t)$ при почти всех $t \in \mathbb {R}^{m}$ . Как и в периодическом случае, свёртка двух суммируемых в $\mathbb {R}^{m}$ функций $g$ и $h$ обозначается символом $g * h$ . По определению $(g * h)(x)=\int_{\mathbb {R}^{m}} g(x-y) h(y) d y$ для почти всех $x \in \mathbb {R}^{m}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.35

(а)(б)(в)

Найдите преобразование Фурье и свёртку функций $f_{c_{1}} * f_{c_{2}}$ в следующих случаях ( $c>0$ ):

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f_{c}(x)=\frac{1}{c \sqrt{2 \pi }} e^{-x^{2} /\left(2 c^{2}\right)} \quad (x \in \mathbb {R})$ ;

(б)

$f_{c}(x)=\left(2 \pi c^{2}\right)^{-m / 2} e^{-\left\| x\right\|^{2} /\left(2 c^{2}\right)}\left(x \in \mathbb {R}^{m}\right)$ ;

(в)

$f_{c}(x)=\frac{1}{\pi } \frac{c}{c^{2}+x^{2}} \quad (x \in \mathbb {R})$ .

Задача IX.4.36

Найдите преобразования Фурье функций Эрмита

h_{n}(x)=e^{x^{2} / 2}\left(e^{-x^{2}}\right)^{(n)} \quad (x \in \mathbb {R}, n=0,1,2, \ldots ) .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.37

Докажите, что если свёртка суммируемой на $\mathbb {R}^{m}$ функции $f$ с функцией $e^{-\left\| x\right\|^{2}}$ тождественно равна нулю, то $f(x)=0$ почти везде.

Преобразованием Фурье конечной меры $\mu$ , заданной по крайней мере на борелевских подмножествах пространства $\mathbb {R}^{m}$ , называется функция $\widehat{\mu }$ , определяемая равенством

\widehat{\mu }(s)=\int _{\mathbb {R}^{m}} e^{-i(s, t)} d \mu (t) \quad \left(s \in \mathbb {R}^{m}\right)

где $(s, t)$ - скалярное произведение векторов $s, t \in \mathbb {R}^{m}$ . Как и преобразование Фурье суммируемых функций, преобразование Фурье мер инъективно (см., например, с. 302 в [П]). Преобразование Фурье меры в $\mathbb {R}$ , порождённой неубывающей ограниченной функцией $g$ , мы обозначим символом $\widehat{g}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.38

Пусть $F$ - возрастающая функция распределения функции $f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ , где $E \subset \mathbb {R}^{m}, \lambda_{m}(E)<\infty$ . Докажите, что

\widehat{F}(s)=\int _{E} e^{-i s f(x)} d x \quad (s \in \mathbb {R})

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.39

Пусть $\widehat{\sigma }(s)=\int_{0}^{1} e^{-i s t} d \sigma (t)(s \in \mathbb {R})$ , где $\sigma$ - канторова функция (см. определение перед задачей III.3.14). Докажите, что $\widehat{\sigma }(s) \nrightarrow 0$ при $s \rightarrow \infty$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.40

(а)(б)

Пусть $\sigma_{1}(x)=\int_{0}^{1} \sigma (x-y) d \sigma (y)(x \in \mathbb {R})$ , где $\sigma$ - канторова функция ( $\sigma (x)=0$ при $x<0, \sigma (x)=1$ при $x>1$ ). Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sigma_{1}$ строго возрастает на промежутке $\left[0,2\right]$ ;

(б)

$\widehat{\sigma }_{1}(s) \nrightarrow 0$ при $s \rightarrow \infty$ .

Задача IX.4.41

(а)(б)(в)(г)

Пусть при $t>0$

g(t)=\sup \left\{ \sum _{k \geqslant 1} \varepsilon _{k} 2^{-k} \mid \sum _{k \geqslant 1} \varepsilon _{k} 2^{-(2 k-1)} \leqslant t, \quad \varepsilon _{k}=0 \text{ или } 1\right\} ,

$g(t)=0$ при $t<0$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$g \in C(\mathbb {R})$ ;

(б)

$g^{\prime }(t)=0$ почти везде на $\mathbb {R}$ ;

(в)

$\widehat{g}(s)=e^{-i s / 3} \prod_{n \geqslant 1} \cos \left(s / 4^{n}\right)$ ;

(г)

$\quad \int_{-\infty }^{+\infty } g(x-t) d g(2 t)= \begin{cases} 0 & \text{ при } x<0, \\ x & \text{ при } 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1 & \text{ при } x>1 . \end{cases}$

Задача IX.4.42

(а)(б)(в)

Пусть $v=\left\{ n_{k}\right\}$ - произвольная строго возрастающая последовательность натуральных чисел, $\nu_{1}=\left\{ n_{2 k-1}\right\}_{k \geqslant 1}, \nu_{2}=\left\{ n_{2 k}\right\}_{k \geqslant 1}$ . Пусть, далее, при $t>0$

g(t)=\sup \left\{ \sum _{k \geqslant 1} \varepsilon _{k} 2^{-k} \mid \sum _{k \geqslant 1} \varepsilon _{k} 2^{-n_{k}} \leqslant t, \quad \varepsilon _{k}=0 \text{ или } 1\right\} ,

$g(t)=0$ при $t \leqslant 0$ , функции $g_{1}$ и $g_{2}$ строятся аналогичным образом с помощью последовательностей $v_{1}$ и $v_{2}$ соответственно. Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$g \in C(\mathbb {R})$ ;

(б)

$g_{1}^{\prime }(t)=g_{2}^{\prime }(t)=0$ почти везде на $\mathbb {R}$ ;

(в)

функция $g$ «делима» в том смысле, что $g=g_{1} * g_{2}$ , то есть

g(x)=\int _{-\infty }^{+\infty } g_{1}(x-t) d g_{2}(t) \text{ при любом } x \in \mathbb {R} \text{. }

Задача IX.4.43

Докажите, что если две конечные борелевские меры в $\mathbb {R}^{m}$ принимают одинаковые значения на всевозможных полупространствах (т. е. множествах вида $\left\{ x \in \mathbb {R}^{m} \mid (x, a) \geqslant c\right\}$ , где $a \in \mathbb {R}^{m}, c \in \mathbb {R}$ ), то они совпадают.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.44

Найдите общий вид вероятностной борелевской меры в пространстве $\mathbb {R}^{m}$ , инвариантной относительно ортогональных преобразований и являющейся в то же время произведением двух мер, сосредоточенных на нетривиальных ортогональных подпространствах.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.45

Пусть $W$ - симплекс в $\mathbb {R}^{m}$ с вершинами $v_{0}, \ldots , v_{m}$ . Докажите, что преобразование Фурье характеристической функции $\chi_{w}$ множества $W$ равно

\widehat{\chi }_{W}(s)=\int _{W} e^{-i(s, t)} d t=\frac{m!\lambda _{m}(W)}{i^{m}} \sum _{j=0}^{m} e^{-i\left(s, v_{j}\right)} \prod _{\substack {k=0 \\ k \neq j}}^{m} \frac{1}{\left(s, v_{k}-v_{j}\right)}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.46

Пусть $\widehat{\chi }_{Q}(s)=\int_{Q} e^{-i(s, t)} d t$ - преобразование Фурье характеристической функции квадрата $Q=\left[-1,1\right]^{2}$ . Так как функция $\chi_{Q}$ разрывна, то её преобразование Фурье не суммируемо на $\mathbb {R}^{2}$ . Докажите, что тем не менее $\widehat{\chi }_{Q} \in \mathscr {L}^{p}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ для любого $p>1$ . Какова асимптотика интеграла $I_{R}=\int_{\left\| s\right\| \leqslant R}\left|\widehat{\chi }_{Q}(s)\right| d s$ при $R \rightarrow +\infty$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.47

(а)(б)

Пусть $\widehat{\chi }_{B}(s)=\int_{B} e^{-i(s, t)} d t$ - преобразование Фурье характеристической функции круга $B=\left\{ t \in \mathbb {R}^{2} \mid \left\| t\right\| <1\right\}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Для каких $p>1$ справедливо включение $\widehat{\chi }_{B} \in \mathscr {L}^{p}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ ?

(б)

Какова асимптотика интеграла $\mathcal{I}_{R}=\int_{\left\| s\right\| \leqslant R}\left|\widehat{\chi }_{B}(s)\right| d s$ при $R \rightarrow +\infty$ ?

Тригонометрическим многочленом от двух переменных $x, y \in \mathbb {R}$ будем называть сумму

T(x, y)=\sum _{m, n \in \mathbb {Z}} c_{m, n} e^{i(m x+n y)},

в которой лишь конечное число коэффициентов $c_{m, n} \in \mathbb {C}$ отлично от нуля. С каждым множеством $\Omega \subset \mathbb {R}^{2}$ свяжем проектор $P_{\Omega }$ , действующий в пространстве всех таких многочленов:

P_{\Omega }(T ; x, y)=\sum _{(m, n) \in \Omega } c_{m, n} e^{i(m x+n y)}

(ради краткости указание $m, n \in \mathbb {Z}$ будем опускать). Таким образом, проектор $P_{\Omega }$ оставляет в тригонометрическом многочлене только слагаемые, соответствующие частотам из $\Omega$ . Допуская вольность речи, мы будем говорить, что $P_{\Omega }$ - «проектор на $\Omega$ ». Проектор $P_{\Omega }$ назовём ограниченным, если существует такое число $C$ , что для всякого многочлена $T$ справедливо неравенство

\max _{x, y \in \mathbb {R}}\left|P_{\Omega }(T ; x, y)\right| \leqslant C \max _{x, y \in \mathbb {R}}\left|T(x, y)\right| .

Наименьшее из всех таких чисел $C$ обозначим $\left\| P_{\Omega }\right\|$ .

Аналогично проектор и его норма определяются в пространстве тригонометрических многочленов от одной переменной. Проектор на множество $\Omega =\left[-N, N\right]$ есть не что иное, как $N$ -я частичная сумма ряда Фурье. Ясно, что если множество $\Omega \subset \mathbb {R}$ ограничено, то

P_{\Omega }(T ; x)=\int _{-\pi }^{\pi } T(u) D_{\Omega }(x-u) d u

где

D_{\Omega }(u)=\frac{1}{2 \pi } \sum _{n \in \Omega } e^{-i n u}

ядро Дирихле, соответствующее множеству $\Omega$ . В этом случае проектор $P_{\Omega }$ естественным образом определяется не только на тригонометрических многочленах, но и на всех суммируемых на $\left[-\pi , \pi \right]$ функциях. Можно доказать, что

\left\| P_{\Omega }\right\| =\left\| D_{\Omega }\right\| _{1}=\int _{-\pi }^{\pi }\left|D_{\Omega }(u)\right| d u<\infty

При $\Omega_{N}=\left[-N, N\right]$ функция $D_{\Omega_{N}}(u)=\frac{1}{2 \pi } \sum_{\left|n\right| \leqslant N} e^{-i n u}$ есть классическое ядро Дирихле и

\left\| P_{\Omega _{N}}\right\| =\int _{-\pi }^{\pi }\left|D_{\Omega _{N}}(u)\right| d u=\frac{1}{2 \pi } \int _{-\pi }^{\pi }\left|\frac{\sin \left(N+\frac{1}{2}\right) u}{\sin \frac{u}{2}}\right| d u

Заметим, что $\left\| P_{\Omega_{N}}\right\| \asymp \ln N$ при $N \rightarrow \infty$ (см. задачу IV.6.11). Аналогичные факты справедливы и для многочлснов от двух переменных. Если множество $\Omega \subset \mathbb {R}^{2}$ ограничено, то

P_{\Omega }(T ; x, y)=\iint _{\left[-\pi , \pi \right]^{2}} T(u, v) D_{\Omega }(x-u, y-v) d u d v

где

D_{\Omega }(u, v)=\frac{1}{4 \pi ^{2}} \sum _{(m, n) \in \Omega } e^{-i(m u+n v)}

«двумерное» ядро Дирихле, соответствующее множеству $\Omega$ . Как и в одномерном случае,

\left\| P_{\Omega }\right\| =\left\| D_{\Omega }\right\| _{1}=\iint _{\left[-\pi \cdot \pi \right]^{2}}\left|D_{\Omega }(u, v)\right| d u d v<\infty .

Задача IX.4.48

Докажите, что проектор на луч $\Omega =(a,+\infty )$ не ограничен.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.49

Пусть $N \in \mathbb {N}$ . Докажите, что

\frac{1}{2 \pi } \int _{-\pi }^{\pi }\left|\frac{\sin \left(N+\frac{1}{2}\right) u}{\sin \frac{u}{2}}\right| d u=\frac{16}{\pi ^{2}} \sum _{k \geqslant 1} \frac{1+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{2 k(2 N+1)-1}}{4 k^{2}-1} .

В частности, нормы проекторов на $\left[-N, N\right]$ возрастают с ростом $N$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.50

Пусть $\Omega_{0} \subset \Omega \subset \mathbb {R}$ . Верно ли, что $\left\| P_{\Omega_{0}}\right\| \leqslant \left\| P_{\Omega }\right\|$ , если $\Omega$ ограниченное множество?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.51

Используя результат задачи 4.34, докажите, что нормы проекторов на промежутки $\Omega_{N}=\left[-N, N\right]$ имеют минимальный порядок роста: для любого множества $\Omega \subset \mathbb {R}, \operatorname {card}(\Omega \cap \mathbb {Z})=N$ , выполняется неравенство $\left\| P_{\Omega }\right\| \geqslant c\left\| P_{\Omega_{N}}\right\|$ с абсолютной константой $c>0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.52

Докажите, что для любой полуплоскости $\Omega \subset \mathbb {R}^{2}$ проектор $P_{\Omega }$ не ограничен. Ограничен ли проектор на полосу

\Omega _{\Delta }=\left\{ (s, t) \in \mathbb {R}^{2} \mid \left|t\right| \leqslant \Delta \right\} ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.53

Докажите, что проектор на наклонную полосу

\Omega =\left\{ (s, t) \in \mathbb {R}^{2} \mid \left|t-a s\right| \leqslant \Delta \right\} \quad (a \in \mathbb {R}, \Delta >0)

с коэффициентом наклона $a \in \mathbb {R}$ ограничен лишь при рациональном $a$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.54

Пусть $\Omega \subset \mathbb {R}^{2}$ и $N=\operatorname {card}\left(\Omega \cap \mathbb {Z}^{2}\right)<+\infty$ . Докажите, что тривиальная оценка

\left\| P_{\Omega }\right\| \leqslant 2 \pi \left\| D_{\Omega }\right\| _{2}=\sqrt{N},

вообще говоря, не улучшаема по порядку. существует такое подмножество $\Omega_{0} \subset \Omega$ , что $\left\| P_{\Omega_{0}}\right\| \geqslant c \sqrt{N}$ , где $c>0$ - абсолютная константа.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.55

Докажите, что норма проектора на квадрат $\left[-R, R\right]^{2}$ имеет порядок роста $\ln^{2} R$ (при $R \rightarrow +\infty$ ), а нормы проекторов на круг $B(R)$ растут значительно быстрее - как $\sqrt{R}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача IX.4.56

(а)(б)(в)

Пусть $S_{N, M}$ - проекторы на прямоугольники $\Omega_{N, M}= =\left[-N, N\right] \times [-M, M](N, M \in \mathbb {N})$ . Рассмотрим такие $2 \pi$ -периодические по обеим переменным функции $f_{\nu }(\nu \geqslant 1)$ , что $f_{\nu }(x, y)=e^{i \nu x y}$ при $x, y \in (0,2 \pi )$ . Докажите, что для любых $x$ и $y$ из $(0,2 \pi )$ справедливы неравенства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left|S_{N, M}\left(f_{v} ; x, y\right)\right| \leqslant \frac{4}{\pi } \ln N+O(1)$ ;

(б)

если $M>2 \pi \nu$ , то $\left|S_{N, M}\left(f_{\nu } ; x, y\right)\right| \leqslant O\left(\frac{\ln N}{M-2 \pi \nu }\right)+O(1)$ ;

(в)

$\left|S_{N, M}\left(f_{\nu } ; x, y\right)\right| \geqslant \frac{\ln \nu }{2 \pi }+O(1)$ при $N=\left[\nu y\right]$ и $M=\left[\nu x\right]$ (константы в $O$ -членах зависят только от $x$ и $y$ ).

Задача IX.4.57

Используя результат предыдущей задачи, постройте ограниченную и непрерывную на $(0,2 \pi )^{2}$ функцию $F$ , для которой

\sup _{N, M}\left|S_{N, M}(F ; x, y)\right|=\infty \quad \text{ в каждой точке } \quad (x, y) \in (0,2 \pi )^{2}

(пример Феффермана). Таким образом, частичные суммы по прямоугольникам двойного ряда Фурье функции $F$ неограниченно расходятся всюду на $(0,2 \pi )^{2}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику