Сходимости по мере и почти везде

Сходятся ли указанные ниже функциональные последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ по мере и почти везде на промежутках $\Delta$ ? Имеют ли они суммируемые мажоранты?

Пусть $a \in \mathbb {R},\left\{ a\right\} =a-\left[a\right]$ — дробная часть числа $a$, и пусть $f_{n}$ — характеристическая функция промежутка с концами $\left\{ \ln n\right\}$, $\left\{ \ln (n+1)\right\} (n \in \mathbb {N})$ (если $\left\{ \ln n\right\} >\left\{ \ln (n+1)\right\}$, то мы считаем $f_{n}$ тождественным нулём). Докажите, что

Постройте такую последовательность $\left\{ g_{n}\right\}$ из $\mathscr {L}^{0}(0,1)$, что $g_{n} \rightarrow 0$ по мере, $\varlimsup_{n \rightarrow \infty } g_{n}(x)=+\infty$ почти везде на $(0,1)$ и $\lim_{n \rightarrow \infty } g_{n}(x)=-\infty$ почти везде на $(0,1)$.

Пусть функции $f_{n}(n \in \mathbb {N})$ монотонны на промежутке $(0,1)$ и $f_{n} \rightarrow f$ по мере. Докажите, что функция $f$ почти везде совпадает с монотонной функцией $f_{0}$ и $f_{n}(x) \rightarrow f_{0}(x)$ в точках непрерывности $f_{0}$.

Пусть $f_{n}(x)=\left|\sin \left(A_{n} x+\varphi_{n}\right)\right|^{p_{n}}$, где $x \in (0,2 \pi )$, а $\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ \varphi_{n}\right\}$, $\left\{ p_{n}\right\}$ - вещественные числовые последовательности, удовлетворяющие условиям $\lim \left|A_{n}\right|>0$ и $p_{n} \rightarrow +\infty$. Докажите, что $f_{n} \rightarrow 0$ по мере на $(0,2 \pi )$. Обязательно ли $f_{n} \rightarrow 0$ почти везде на $(0,2 \pi )$? Рассмотрите пример: $f_{n}(x)=\left|\cos \sqrt{m}\left(x-\frac{k \pi }{m}\right)\right|^{m}$, где $m=\left[\sqrt{n}\right], k=n-m^{2}$.

Пусть $\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ \varphi_{n}\right\}$ - вещественные числовые последовательности, $A_{n} \rightarrow +\infty$. Докажите, что почти везде на $\mathbb {R}$

Сравните это утверждение с задачсй IV.6.1.

Докажите, что $n^{1 / 3} \int_{0}^{\infty } e^{-x} \sin^{n}\left(n x+\varphi_{n}\right) d x \rightarrow 0$ для любой вещественной последовательности $\left\{ \varphi_{n}\right\}$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{0}(\mathbb {R}), a \in \mathbb {R}$. Докажите, что $\varlimsup_{n \rightarrow \infty } f_{n}(x) \leqslant a$ почти везде на $\mathbb {R}$, если $\sum_{n \geqslant 1} \lambda \left\{ x \in \mathbb {R} \mid f_{n}(x)>a\right\} <+\infty$.

Пусть $\quad \left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}(\mathbb {R}) \quad$ и $\quad \varepsilon_{n} \rightarrow 0$. Докажите, что если $\sum_{n \geqslant 1} \lambda \left\{ x \in \mathbb {R} \mid \left|f_{n}(x)\right| \geqslant \varepsilon_{n}\right\} <+\infty$, то

Докажите, что сходимость почти везде «устойчива» в следующем смысле: если $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{0}(0,1)$ и $f_{n}(x) \rightarrow 0$ почти везде на $(0,1)$, то существует такая числовая последовательность $\left\{ A_{n}\right\}$, что $A_{n} \rightarrow \infty$ и $A_{n} f_{n}(x) \rightarrow 0$ почти везде на $(0,1)$. Останется ли это утверждение верным, если интервал $(0,1)$ заменить на $\mathbb {R}$ ?

Пусть $f, f_{n} \in \mathscr {L}^{0}(0,1), f_{n}(x) \rightarrow f(x)$ почти везде на (0,1). Докажите, что существуют функция $g \in \mathscr {L}^{0}(0,1)$ («регулятор сходимости») и числовая последовательность $\left\{ \varepsilon_{n}\right\}$, такие что $\varepsilon_{n} \rightarrow 0$ и $\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leqslant \varepsilon_{n} g(x)$ почти везде на $(0,1)$ при любом $n \in \mathbb {N}$. Останется ли это утверждение верным, если заменить интервал $(0,1)$ на $\mathbb {R}$ ?

Опираясь на результат предыдущей задачи, докажите теорему Егорова: если $f, f_{n} \in \mathscr {L}^{0}(0,1)$ и $f_{n}(x) \rightarrow f(x)$ почти везде на $(0,1)$, то для любого числа $\varepsilon >0$ найдётся такое множество $e \subset (0,1)$, что $\lambda (e)<\varepsilon$ и $f_{n} \rightrightarrows f$ на $(0,1) \backslash e$. Останется ли это утверждение верным, если интервал $(0,1)$ заменить на $\mathbb {R}$ ?

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{0}(0,1)$. Докажите, что $f_{n} \rightarrow 0$ по мере тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности $\left\{ f_{n_{k}}\right\}$ найдётся, в свою очередь, подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k_{j}}}\right\}$, сходящаяся к нулю почти везде на (0,1).

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{0}(\mathbb {R}), g \in \mathscr {L}^{0}(\mathbb {R}),\left|f_{n}(x)\right| \leqslant g(x)$ почти везде на $\mathbb {R}$ при любом $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что если функция $g$ удовлетворяет условию

то из сходимости последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ к нулю почти везде на $\mathbb {R}$ следует, что $f_{n} \rightarrow 0$ по мере. Верно ли это, если условие (*) нарушено?

Пусть $\left\{ f_{n, k}\right\}_{n, k} \geqslant 1 \subset \mathscr {L}^{0}(0,1),\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{0}(0,1), f_{0} \in \mathscr {L}^{0}(0,1)$, и пусть $f_{n, k} \rightarrow f_{n}$ по мере, $f_{n} \rightarrow f_{0}$ по мере. Докажите, что найдётся такая строго возрастающая последовательность номеров $\left\{ k_{n}\right\}$, что $f_{n, k_{n}} \rightarrow f_{0}$ по мере (теорема о диагональной последовательности). Верно ли аналогичное утверждение, если сходимость по мсре заменить

Пусть $a_{n} \geqslant 0, \sum a_{n}<\infty , \Delta =(0,1)$. Докажите, что