Функции Радемахера. Неравенство Хинчина

Докажите, что для любого $n \in \mathbb {N}$ и любого набора $\left\{ \varepsilon_{k}\right\}_{1 \leqslant k \leqslant n}$, где числа $\varepsilon_{k}$ принимают значения +1 или -1 , найдётся такая точка $x_{0} \in (0,1)$, что $r_{k}\left(x_{0}\right)=\varepsilon_{k}$ при $k=1, \ldots , n$. Какова мера множества таких точек?

Докажите, что $r_{1}(x+1)=r_{1}(x), r_{n}(x)=r_{1}\left(2^{n-1} x\right)$.

Пусть $a_{n}(x)$ - $n$-й знак двоичного разложения числа $x \in (0,1)$. Докажите, что $a_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(1-r_{n}(x)\right)$ почти везде на (0,1).

Найдите сумму ряда $\sum 2^{-n} r_{n}(x)(x \in (0,1))$.

$\int_{0}^{1} \varphi \left(r_{1}(x), \ldots , r_{n}(x)\right) d x=2^{-n} \sum_{\varepsilon_{1}, \ldots , \varepsilon_{n} \in \left\{ -1,1\right\} } \varphi \left(\varepsilon_{1}, \ldots , \varepsilon_{n}\right)$;

$\int_{0}^{1}\left(\prod_{1 \leqslant k \leqslant n} \varphi_{k}\left(r_{k}(x)\right)\right) d x=\prod_{1 \leqslant k \leqslant n}\left(\int_{0}^{1} \varphi_{k}\left(r_{1}(x)\right) d x\right)$.

$\int_{0}^{1} \varphi \left(r_{m_{1}}(x), r_{m_{2}}(x), \ldots , r_{m_{n}}(x)\right) d x=$

$\int_{0}^{1} r_{m_{1}}(x) r_{m_{2}}(x) \ldots r_{m_{n}}(x) d x=0$.

$\int_{0}^{1} e^{i t \Sigma 2^{-k} r_{k}(x)} d x$;

$\int_{0}^{1} e^{i t \Sigma 3^{-k} r_{k}(x)} d x$;

$\int_{0}^{1} e^{z\left(c_{1} r_{1}(x)+\ldots +c_{n} r_{n}(x)\right)} d x\left(z, c_{k} \in \mathbb {C}\right)$.

Докажите, что если $t, a_{n} \in \mathbb {R}, a_{n} \rightarrow 0, \sum a_{n}^{2}=\infty$, то

$\int_{0}^{1}\left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} c_{k} r_{k}(x)\right|^{4} d x \leqslant A\left(\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{2}$;

$\left(\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{1 / 2} \leqslant B \int_{0}^{1}\left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} c_{k} r_{k}(x)\right| d x$,

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left|\sum_{1 \leqslant k, j \leqslant n} c_{k j} r_{k}(x) r_{j}(y)\right|^{4} d x d y \leqslant A\left(\sum_{1 \leqslant k, j \leqslant n}\left|c_{k j}\right|^{2}\right)^{2}$;

$\left(\sum_{1 \leqslant k, j \leqslant n}\left|c_{k j}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \leqslant B \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left|\sum_{1 \leqslant k, j \leqslant n} c_{k j} r_{k}(x) r_{j}(y)\right| d x d y$, где $A, B$ - абсолютные постоянные.

$\left\{ r_{j} r_{k}\right\}_{j<k}$ - ортонормированная система в $\mathscr {L}^{2}(0,1)$;

для любых комплексных чисел $c_{j k}$ справедливы неравенства:

где $A, B$ - абсолютные постоянные.

$\int_{0}^{2 \pi }\left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} c_{k} \sin 2^{k} x\right|^{4} d x \leqslant A\left(\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{2}$;

$\left(\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{1 / 2} \leqslant B \int_{0}^{2 \pi }\left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} c_{k} \sin 2^{k} x\right| d x$,

$\lambda \left\{ x \in (0,1) \mid \left|\sum_{k=1}^{n} c_{k} r_{k}(x)\right|>t\right\} \leqslant \frac{A_{1}}{t^{4}}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{2}$;

$\lambda \left\{ x \in (0,1) \mid \left|\sum_{1 \leqslant j<k \leqslant n} c_{j k} r_{j}(x) r_{k}(x)\right|>t\right\} \leqslant$

$\lambda \left\{ x \in (0,2 \pi ) \mid \left|\sum_{k=1}^{n} c_{k} \sin 2^{k} x\right|>t\right\} \leqslant \frac{A_{3}}{t^{4}}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|c_{k}\right|^{2}\right)^{2}$, где $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ - абсолютные постоянные.

$\sum \lambda \left\{ x \in (0,1) \mid \sigma_{n}(x) \geqslant n^{-1 / 5}\right\} <\infty$;

$\sum \left|\sigma_{n}(x)\right|^{4}<\infty$ почти везде на $(0,1)$.

$\sum_{x, y \in A}(C x, y)^{4} \leqslant K_{1} \cdot 2^{-2 n}\left(\sum_{x, y \in A}(C x, y)^{2}\right)^{2}$;

$\left(\sum_{x, y \in A}(C x, y)^{2}\right)^{1 / 2} \leqslant K_{2} \cdot 2^{-n} \sum_{x, y \in A}\left|(C x, y)\right|$,

$f(x)=\frac{1}{2}+\sum 3^{-k} r_{k}(x)$;

$f(x)=\sum 2^{-k} r_{m_{k}}(x)$,

$\int_{\Delta }\left|R_{m}(x)\right| d x \leqslant \int_{\Delta }\left|R_{n}(x)\right| d x ;$

$\int_{\Delta } e^{R_{m}(x)} d x \leqslant \int_{\Delta } e^{R_{n}(x)} d x$.

Докажите, что неравенства а), б) сохранятся, если $\Delta$ заменить на множество $E=\left\{ x \in (0,1) \mid \left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant m} a_{k} r_{k}(x)\right|>t\right\}$.

$\lambda \left\{ x \in (0,1) \mid \left|R_{n}(x)\right|>t\right\} \leqslant 2 e^{-t^{2} /\left(2 A^{2}\right)}$;

если $E=\left\{ x \in (0,1) \mid \max \left\{ \left|R_{1}(x)\right|, \ldots ,\left|R_{n}(x)\right|\right\} >t\right\}$, то $\lambda (E) \leqslant \frac{A}{t}$, $\lambda (E) \leqslant 2 e^{-t^{2} /\left(2 A^{2}\right)}$.

ряд $\sum a_{k} r_{k}(x)$ сходится почти везде;

если $M(x)=\sup_{n \geqslant 1}\left|a_{1} r_{1}(x)+\ldots +a_{n} r_{n}(x)\right|$, то $\int_{0}^{1} e^{s M^{2}(x)} d x<\infty$ для любого числа $s>0$.

$\sum \left|a_{k}\right|^{2}<\infty$;

ряд $\sum a_{k} r_{k}$ сходится в $\mathscr {L}^{p}(0,1)$ при некотором $p \in (0,2)$;

ряд $\sum a_{k} r_{k}$ сходится по мере на интервале $(0,1)$;

ряд $\sum a_{k} r_{k}$ сходится почти везде на $(0,1)$.

Пусть $\left\{ \varphi_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ - ортонормированная система в пространстве $\mathscr {L}^{2}(0,1)$. Докажите, что

Уточните это неравенство для системы Радемахера.

$\left\{ h_{m}\right\}_{m \geqslant 0}$ - ортонормированная система в $\mathscr {L}^{2}(0,1)$;

если $E=\left\{ x \in (0,1) \mid \left|\sum_{0 \leqslant k \leqslant m} a_{k} h_{k}(x)\right|>t\right\}$, то при $n \geqslant m$

если $E=\left\{ x \in (0,1) \mid \max_{0 \leqslant m \leqslant n}\left|\sum_{0 \leqslant k \leqslant m} a_{k} h_{k}(x)\right|>t\right\}$, то

если $\sum \left|a_{k}\right|^{2}<\infty$, то ряд $\sum a_{k} h_{k}(x)$ сходится почти везде на (0,1);

частичная сумма $S_{2^{n}}$ ряда Фурье функции $f$ из $\mathscr {L}^{1}(0,1)$ по системе Хаара есть результат усреднения $f$ на промежутках $\Delta_{n, k}=\left(\frac{k}{2^{n}}, \frac{k+1}{2^{n}}\right), k=0,1, \ldots , 2^{n}-1$;

выведите из д), что $\left\| S_{2^{n}}\right\|_{1} \leqslant \left\| f\right\|_{1}$.

этот ряд сходится почти везде на $(0,1)$;

если $E=\left\{ x \in (0,1) \mid \sup_{n}\left|S_{n}(x)\right|>t\right\}$, где $S_{n}$ - $n$-я частичная сумма ряда Фурье функции $f$ по системе Хаара, то $\lambda (E) \leqslant \frac{\left\| f\right\|_{1}}{t}$.

Используя результат задачи 3.14 , докажите, что при любом $p>0$ и любых $a_{1}, \ldots , a_{n} \in \mathbb {R}$ справедливо неравенство Хинчина

где $A_{p}, B_{p}$ - положительные постоянные, зависящие только от $p$, и $\varlimsup_{p \rightarrow +\infty } B_{p} / \sqrt{p} \leqslant 1 / \sqrt{e}$.

Отметим, что оценка снизу при $p \geqslant 2$ очевидна (с коэффициентом $A_{p}=1$, который нельзя увеличить), а оценка сверху очевидна при $p \leqslant 2$ (с коэффициентом $B_{p}=1$, который нельзя уменьшить).

*) Читатель, знакомый с элементами функционального анализа, заметит, что это легко вывести из теоремы Банаха-Штейнгауза.

Докажите, что $\quad A_{p} \leqslant \alpha_{p}=2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}} \min \left\{ 1, \gamma_{p}\right\} \quad$ при $\quad p \in (0,2]$, $B_{p} \geqslant \beta_{p}=2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}} \gamma_{p}$ при $p \geqslant 2$, где $\gamma_{p}=\left(\frac{\Gamma \left(\frac{1+p}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)}\right)^{\frac{1}{p}}(p>0)$ (в [Haag] доказано, что $\alpha_{p}, \beta_{p}$ - наилучшие значения коэффициентов $A_{p}$ и $B_{p}$). В частности, $B_{2 m} \geqslant ((2 m-1)!!)^{1 /(2 m)}$ для всех $m \in \mathbb {N}$.

$\left\| \sum_{k=1}^{n} a_{k} r_{k}\right\|_{p+2}^{p+2}=(p+1) \sum_{j=1}^{n} a_{j}^{2} \int_{0}^{1}\left\| t a_{j} r_{j}+\sum_{\substack {k=1 \\ k \neq j}}^{n} a_{k} r_{k}\right\|_{p}^{p} d t$;

наилучшие постоянные $B_{p}$ в неравенстве Хинчина удовлетворяют неравенству $B_{p+2}^{p+2} \leqslant (p+1) B_{p}^{p}$; кроме того, $B_{2 m}^{2 m}=(2 m-1)!!$.

$\int_{0}^{1}\left|a_{1} r_{1}(x)+\ldots +a_{n} r_{n}(x)\right| d x=\frac{2}{\pi } \int_{0}^{\infty }\left(1-\prod_{k=1}^{n} \cos a_{k} t\right) \frac{d t}{t^{2}}$;

$\int_{0}^{1}\left|a_{1} r_{1}(x)+\ldots +a_{n} r_{n}(x)\right| d x \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\left(a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}\right)^{1 / 2}$;

при $p \in (0,1]$ наилучшая константа $A_{p}$ в неравенстве Хинчина равна $2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}}$.

Докажите, что для любого тригонометрического многочлена $\sum_{\left|k\right| \leqslant n} c_{k} e^{i k x}$ можно указать такие числа $\varepsilon_{k}= \pm 1 \quad (\left|k\right| \leqslant n)$, что

где $c>0$ - абсолютная постоянная.

Рассмотрим тригонометрический многочлен $T_{n}(\varphi )=\sum_{k=1}^{n} a_{k} e^{i k \varphi }$, коэффициенты которого $a_{1}, \ldots , a_{n}$ образуют перестановку чисел $1,2, \ldots , n$. Докажите, что тривиальная оценка

вообще говоря, не может быть улучшена по порядку: для каждого $n \in \mathbb {N}$ существует такая перестановка $a_{1}, \ldots , a_{n}$ чисел $1, \ldots , n$, что $\left\| T_{n}\right\|_{1} \geqslant c n^{3 / 2}(c>0$ и не зависит от $n)$.