Ряд и преобразование Фурье

Пусть $\left|\alpha \right|<1$ и $f_{\alpha }(x)=\left|x\right|^{\alpha }$ при $0<\left|x\right|<\pi$. Найдите асимптотику коэффициентов Фурье функции $f_{\alpha }$.

Пусть $f \in \mathscr {L}^{1}(0,2 \pi )$. Докажите, что

Используя результат задачи IV.6.20, докажите, что коэффициенты Фурье суммируемой функции могут стремиться к нулю сколь угодно медленно.

Используя косинус-коэффициенты Фурье чётной функции, приведите пример такого ненулевого ряда $\sum a_{n}$, что $\sum_{j \geqslant 1} a_{k j}=0$ при любом $k \in \mathbb {N}$ (ср. с задачей IV.3.8).

Пусть $p \in (0,1)$,

и пусть $h_{p}-2 \pi$-периодическая функция, определённая на промежутке $(0,2 \pi )$ равенством

Убедитесь, что $h_{p}$ есть линейная комбинация функций $f_{p}$ и $g_{p}$. Выведите отсюда, что на интервале $(0, \pi )$ функции $f_{p}, g_{p}$ убывают, выпуклы и

где $A_{p}, B_{p}$ - некоторые положительные коэффициенты.

Пусть $f \in \mathscr {L}^{\infty }(-\pi , \pi )$. Докажите, что числа $\widehat{f}(n) / \sqrt{\left|n\right|}(n \in \mathbb {Z}$, $n \neq 0$) являются коэффициентами Фурье функции, входящей в класс $\operatorname {Lip}_{1 / 2}$ (используйте конструкцию задачи III.3.23).

Пользуясь равенством Парсеваля, докажите неравенство Виртингера ${ }^{*}$): если $f \in C^{1}(\left[0,2 \pi \right])$, причём $\widehat{f}(0)=0$ и $f(0)=f(2 \pi )$, то

Для каких функций это неравенство обращается в равенство?

Пусть $f \in \mathscr {L}^{1}(-\pi , \pi )$. Докажите, что $\sum_{n \in \mathbb {Z}}\left|\widehat{f}(n)\right|<\infty$ тогда и только тогда, когда $f$ представима в виде свёртки двух $2 \pi$-периодических функций из $\mathscr {L}^{2}(-\pi , \pi )$.

При каких $p>0$ сходятся ряды

Докажите сходимость рядов

Пусть $S_{n}(x)=\sin x+\frac{1}{2} \sin 2 x+\ldots +\frac{1}{n} \sin n x-n$-я частичная сумма ряда Фурье функции $f(x)=\frac{1}{2}(\pi -x) \quad (x \in (0,2 \pi ))$, $G_{n}=\max_{x} S_{n}(x)$. Докажите, что суммы $S_{n}(x)$ положительны на $(0, \pi )$ и что

(явление Гиббса).

Пусть $f(x)=\sum \frac{1}{n^{n}} \sin \left(n^{n^{n}}\left|x\right|\right)(\left|x\right| \leqslant \pi )$. Докажите, что

Докажите, что следующие три свойства тригонометрического ряда $\sum \left(a_{n} \cos 2^{n} x+b_{n} \sin 2^{n} x\right)$ эквивалентны:

Пусть $\left\{ m_{k}\right\}$ - последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию (*) при некотором $Q>1$. Докажите, что

Пусть $F(x)=\sum_{k=1}^{N} a_{k} \cos \left(2 \pi m_{k} x+\varphi_{k}\right)$ - вещественный квазитригонометрический многочлен, частоты которого образуют лакунарную последовательность, удовлетворяющую условию (*), $M=\sup_{x \in \mathbb {R}}\left|F(x)\right|$. Докажите, что существует такое число $C=C(Q)$, что $\sum_{k=1}^{N}\left|a_{k}\right| \leqslant C M$, каковы бы ни были коэффициенты $a_{k}$.

В нескольких следующих задачах используются суммы Чезаро-Фейера. Суммой Чезаро-Фейера функции $f \in \mathscr {L}^{1}(-\pi , \pi )$ называется тригонометрический многочлен

где $S_{0}, S_{1}, \ldots , S_{n}$ - частичные суммы ряда Фурье функции $f$. Суммы Чезаро-Фейера представляются в виде свёртки функции $f$ и ядра Фейера $\Phi_{n}$:

Отметим также важное равенство

Пусть $T$ - тригонометрический многочлен порядка не выше $n$. Докажите, что

Выведите отсюда ослабленное неравенство Бернштейна:

и аналогичные оценки для $L^{p}$-норм (по поводу неравенства Бернштейна см. задачу I.2.22).

Пусть $f-2 \pi$-периодическая функция, суммируемая на $(-\pi , \pi )$. Докажите, что

Пусть $f-2 \pi$-периодическая функция, $f \in \operatorname {Lip}_{\alpha }, 0<\alpha <1$. Докажите, что при $n \rightarrow \infty$

Пусть $f-2 \pi$-периодическая функция, $f \in \operatorname {Lip}_{1}$. Докажите, что при $n \rightarrow \infty$

Пусть $f-2 \pi$-периодическая функция, $f \in \operatorname {Lip}_{\alpha }$. Докажите, что если $\alpha >\frac{1}{2}$, то $\sum_{n \in \mathbb {Z}}\left|\widehat{f}(n)\right|<\infty$. При $\alpha =\frac{1}{2}$ утверждение становится неверным (см. задачу 4.30).

Пусть $f-2 \pi$-периодическая функция, суммируемая на $(-\pi , \pi )$. Докажите неравенство

где $C$ - абсолютная постоянная, а $M(f, x)$ - максимальная функция Харди-Литтлвуда:

Покажите на примере, что функция $x \mapsto \sup_{n}\left|\sigma_{n}(f, x)\right|$ может быть не суммируемой на промежутке $(0,2 \pi )$.

Пусть $f(x)=\sum_{n \geqslant 2} \frac{\cos n x}{n^{2}} \ln n \quad (x \in \mathbb {R})$. Докажите, что

Рассмотрим две последовательности алгебраических многочленов $\left\{ P_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ и $\left\{ Q_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ (многочлены Рудина-Шапиро), которые определяются рекуррентно следующим образом: $P_{0}=Q_{0}=1$ и для $n=0,1,2, \ldots$

Докажите, что

Пусть $R_{N}(N=0,1,2, \ldots )$ - естественная проекция множества всех алгебраических многочленов на множество многочленов степсни не выше $N$ ($R_{N}$ аннулирует одночлены, степень которых большс $N$, и не меняет одночлены, степень которых не превосходит $N$).

Докажите, что при $z \in \mathbb {C},\left|z\right|=1$, и любых $N, n \in \mathbb {N}$, для многочленов Рудина-Шапиро $P_{n}$ и $Q_{n}$ (см. задачу 4.25) справедливы неравенства:

Докажите, что существует ряд $\sum_{k \geqslant 0} \varepsilon_{k} e^{i k \theta }$, где $\varepsilon_{k}= \pm 1$, для всех частичных сумм $S_{n}$ которого справедливы неравенства:

Используя последовательность $\left\{ \varepsilon_{k}\right\}_{k \geqslant 0}$ из задачи 4.27, убедитесь в том, что существует такой равномерно сходящийся на $\mathbb {R}$ ряд $f(\theta )=\sum_{k \geqslant 0} a_{k} e^{i k \theta }$, что $\sum \left|a_{k}\right|^{p}=+\infty$ для любого $p<2$ (особенность Карлемана).

Пусть последовательность $\left\{ \varepsilon_{k}\right\} \subset \mathbb {C}$ удовлетворяет условию $\max_{\theta \in \mathbb {R}}\left|\sum_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} e^{i k \theta }\right|=O(\sqrt{n})$ (ср. с задачей 4.27). Докажите, что при $\alpha >0$

Докажите, что существует такая функция $f \in \operatorname {Lip}_{1 / 2}$ вида $f(\theta )=\sum c_{k} e^{i k \theta }$, что $\sum \left|c_{k}\right|=\infty$ (ср. с задачей 4.22).

Пусть $f \in \mathscr {L}^{2}(-\pi , \pi )$. Рассмотрим функцию $\widetilde{f}$, определяемую равенством

Докажите, что функция $\widetilde{f}$ вещественна, если вещественна функция $f$.

Функция $\widetilde{f}$ называется сопряжённой к $f$. С одним из многочисленных применений этого важного понятия читатель может познакомиться в двух следующих задачах, заимствованных из [MGPS].

Пусть $1=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{m}$ - натуральные, а $a_{1}$, $a_{2}, \ldots , a_{m}$ - произвольные комплексные числа, и пусть

(мы считаем, что $k \geqslant 1$ и $a_{j}=0$ при $j>m$). Пусть, далее,

где $\varepsilon$ - произвольное положительное число, $\widetilde{g}_{k}$ - функция, сопряжённая к $g_{k}$ (см. определение в задаче 4.32). Докажите, что

Пусть $1 \leqslant n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{m}\left(n_{j} \in \mathbb {N}\right)$. Используя результат предыдущей задачи, докажите, что для любых комплексных чисел $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{m}$ справедливо неравенство

где $\delta$ - положительная абсолютная постоянная ($\delta \geqslant 10^{-2}$).

Преобразованием Фурье функции $f \in \mathscr {L}^{1}\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ называется функция $\widehat{f}$, определяемая равенством

где $(s, t)$ - скалярное произведение векторов $s, t \in \mathbb {R}^{m}$. Напомним, что преобразование Фурье инъективно в том смысле, что если $\widehat{f}=\widehat{g}$, то $f(t)=g(t)$ при почти всех $t \in \mathbb {R}^{m}$. Как и в периодическом случае, свёртка двух суммируемых в $\mathbb {R}^{m}$ функций $g$ и $h$ обозначается символом $g * h$. По определению $(g * h)(x)=\int_{\mathbb {R}^{m}} g(x-y) h(y) d y$ для почти всех $x \in \mathbb {R}^{m}$.

Найдите преобразование Фурье и свёртку функций $f_{c_{1}} * f_{c_{2}}$ в следующих случаях ($c>0$):

Найдите преобразования Фурье функций Эрмита

Докажите, что если свёртка суммируемой на $\mathbb {R}^{m}$ функции $f$ с функцией $e^{-\left\| x\right\|^{2}}$ тождественно равна нулю, то $f(x)=0$ почти везде.

Преобразованием Фурье конечной меры $\mu$, заданной по крайней мере на борелевских подмножествах пространства $\mathbb {R}^{m}$, называется функция $\widehat{\mu }$, определяемая равенством

где $(s, t)$ - скалярное произведение векторов $s, t \in \mathbb {R}^{m}$. Как и преобразование Фурье суммируемых функций, преобразование Фурье мер инъективно (см., например, с. 302 в [П]). Преобразование Фурье меры в $\mathbb {R}$, порождённой неубывающей ограниченной функцией $g$, мы обозначим символом $\widehat{g}$.

Пусть $F$ - возрастающая функция распределения функции $f \in \mathscr {L}^{0}(E)$, где $E \subset \mathbb {R}^{m}, \lambda_{m}(E)<\infty$. Докажите, что

Пусть $\widehat{\sigma }(s)=\int_{0}^{1} e^{-i s t} d \sigma (t)(s \in \mathbb {R})$, где $\sigma$ - канторова функция (см. определение перед задачей III.3.14). Докажите, что $\widehat{\sigma }(s) \nrightarrow 0$ при $s \rightarrow \infty$.

Пусть $\sigma_{1}(x)=\int_{0}^{1} \sigma (x-y) d \sigma (y)(x \in \mathbb {R})$, где $\sigma$ - канторова функция ($\sigma (x)=0$ при $x<0, \sigma (x)=1$ при $x>1$). Докажите, что

Пусть при $t>0$

$g(t)=0$ при $t<0$. Докажите, что

Пусть $v=\left\{ n_{k}\right\}$ - произвольная строго возрастающая последовательность натуральных чисел, $\nu_{1}=\left\{ n_{2 k-1}\right\}_{k \geqslant 1}, \nu_{2}=\left\{ n_{2 k}\right\}_{k \geqslant 1}$. Пусть, далее, при $t>0$

$g(t)=0$ при $t \leqslant 0$, функции $g_{1}$ и $g_{2}$ строятся аналогичным образом с помощью последовательностей $v_{1}$ и $v_{2}$ соответственно. Докажите, что

Докажите, что если две конечные борелевские меры в $\mathbb {R}^{m}$ принимают одинаковые значения на всевозможных полупространствах (т. е. множествах вида $\left\{ x \in \mathbb {R}^{m} \mid (x, a) \geqslant c\right\}$, где $a \in \mathbb {R}^{m}, c \in \mathbb {R}$), то они совпадают.

Найдите общий вид вероятностной борелевской меры в пространстве $\mathbb {R}^{m}$, инвариантной относительно ортогональных преобразований и являющейся в то же время произведением двух мер, сосредоточенных на нетривиальных ортогональных подпространствах.

Пусть $W$ - симплекс в $\mathbb {R}^{m}$ с вершинами $v_{0}, \ldots , v_{m}$. Докажите, что преобразование Фурье характеристической функции $\chi_{w}$ множества $W$ равно

Пусть $\widehat{\chi }_{Q}(s)=\int_{Q} e^{-i(s, t)} d t$ - преобразование Фурье характеристической функции квадрата $Q=\left[-1,1\right]^{2}$. Так как функция $\chi_{Q}$ разрывна, то её преобразование Фурье не суммируемо на $\mathbb {R}^{2}$. Докажите, что тем не менее $\widehat{\chi }_{Q} \in \mathscr {L}^{p}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ для любого $p>1$. Какова асимптотика интеграла $I_{R}=\int_{\left\| s\right\| \leqslant R}\left|\widehat{\chi }_{Q}(s)\right| d s$ при $R \rightarrow +\infty$ ?

Пусть $\widehat{\chi }_{B}(s)=\int_{B} e^{-i(s, t)} d t$ - преобразование Фурье характеристической функции круга $B=\left\{ t \in \mathbb {R}^{2} \mid \left\| t\right\| <1\right\}$.