Сходимость в среднем. Закон больших чисел

Пусть $f \in \mathscr {L}^{r}(E)$. Докажите, что

Пусть $\quad \left\{ f_{n}\right\} , \quad \left\{ g_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{r}(E), \quad f_{0}, \quad g_{0} \in \mathscr {L}^{r}(E), \quad$ причём $\left\| f_{n}-f_{0}\right\|_{r} \rightarrow 0$ и $\left\| g_{n}-g_{0}\right\|_{r} \rightarrow 0$. Докажите, что

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{1}(E)$. Докажите, что если $f_{n} \rightarrow 0$ по мере и $\sup_{n}\left\| f_{n}\right\|_{1}<\infty$, то $\int_{E} \sqrt{\left|f_{n}(x) g(x)\right|} d x \rightarrow 0$ для любой функции $g \in \mathscr {L}^{1}(E)$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{2}(E), f_{0} \in \mathscr {L}^{2}(E)$. Докажите, что если $f_{n} \rightarrow f_{0}$ по мере и $\left\| f_{n}\right\|_{2} \rightarrow \left\| f_{0}\right\|_{2}$, то $\left\| f_{n}-f_{0}\right\|_{2} \rightarrow 0$.

Пусть $f, g \in \mathscr {L}^{0}(E)$ и $0<\alpha <\lambda_{m}(E)$. Положим

Величина $\mathscr {J}_{\alpha }(f)$ называется квантилью (сравните определение $\mathscr {J}_{\alpha }(f)$ с определением невозрастающей перестановки функции $f$ перед задачей VIII.2.13; квантиль $\mathscr {J}_{1 / 2}(f)$ есть медиана функции $\left|f\right|$ — см. задачу VIII.2.12). Докажите, что

Пусть $M \subset \mathscr {L}^{2}(E)$ и пусть $\left\| f\right\|_{2} \leqslant C\left\| f\right\|_{1}$ для любой функции $f \in$ M. Докажите, что

Докажите, что если ряд*) $\sum \left|a_{n} \sin \left(n x+\varphi_{n}\right)\right|$ сходится на множестве положительной меры, то $\sum \left|a_{n}\right|<\infty$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{2}(E)$ и $\left\| f_{n}\right\|_{2} \leqslant C,\left\| f_{n}\right\|_{1} \geqslant \delta$ при некоторых $C$, $\delta >0$ и любом $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что если ряд $\sum a_{n} f_{n}(x)$ сходится абсолютно почти везде на $E$, то $\sum \left|a_{n}\right|<\infty$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ - ортогональная система в $\mathscr {L}^{2}(E), \sigma_{n}=\frac{1}{n} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} f_{k}$. Докажите, что если $\frac{1}{n^{2}} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left\| f_{k}\right\|_{2}^{2} \rightarrow 0$, то $\sigma_{n} \rightarrow 0$ по мере. (Различные варианты этого утверждения носят название закона больших чисел.)

Докажите, что указанные последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ сходятся по мере на интервале $(-\pi , \pi )$, и найдите их пределы:

Найдите предел

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ - ортогональная система в $\mathscr {L}^{2}(E), \sigma_{n}=\frac{f_{1}+\ldots +f_{n}}{n}$. Докажите, что

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ - ортогональная система в $\mathscr {L}^{2}(E), \sigma_{n}=\frac{f_{1}+\ldots +f_{n}}{n}$. Докажите, что если $\sum \frac{1}{n^{3 / 2}}\left\| f_{n}\right\|_{2}^{2}<\infty$, то $\sigma_{n}(x) \rightarrow 0$ почти везде на $E$, т.е. для последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ справедлив усиленный закон больших чисел. Докажите, кроме того, что функция $h=\sup_{n}\left|\sigma_{n}\right|$ принадлежит $\mathscr {L}^{2}(E)$.

Пусть $\varepsilon_{n}(x)-n$-й двоичный знак разложения числа $x \in (0,1]$, $\sigma_{n}(x)=\frac{1}{n}\left(\varepsilon_{1}(x)+\ldots +\varepsilon_{n}(x)\right)$. Докажите, что $\sigma_{n}(x) \rightarrow \frac{1}{2}$ почти везде на (0,1), т.е. у почти всех чисел из промежутка (0,1) нули и единицы в их двоичных разложениях встречаются одинаково часто.

Пусть $m$ - одна из цифр $0, \ldots , 9$, и пусть $c_{m}(x)=1$, если десятичное разложенис числа $x-\left[x\right]$ имеет вид $0, m \ldots$, в противном случае $c_{m}(x)=0$. Положим $\sigma_{n}(x)=\frac{1}{n} \sum_{0 \leqslant k<n} c_{m}\left(10^{k} x\right)$. Докажите, что $\sigma_{n}(x) \rightarrow \frac{1}{10}$ почти везде на $(0,1)$.

Число $x \in (0,1)$ называстся нормальным, если при любом $p \in \mathbb {N}$ его разложение в $p$-ичную дробь содержит все «цифры» (числа $0,1, \ldots , p-1$) одинаково часто. Известно, например, что число

(десятичное разложение $x$ состоит из выписанных одно за другим всех натуральных чисел в десятичной записи) нормально [Кац].

Обобщая результаты задач 2.14 и 2.15 , докажите, что почти все числа интервала $(0,1)$ нормальны.

Пусть $f \in \mathscr {L}^{2}(0,1), \int_{0}^{1} f(x) d x=0$. Для произвольных $n \in \mathbb {N}$ и $\varepsilon >0$ положим

Докажите, что $\lambda_{n}\left(E_{n}(\varepsilon )\right) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset \mathscr {L}^{2}(0,1), \int_{0}^{1} f_{n}(x) d x=0$ при любом $n \in \mathbb {N}$. Для произвольных $n \in \mathbb {N}$ и $\varepsilon >0$ положим

Докажите, что $\lambda_{n}\left(E_{n}(\varepsilon )\right) \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0$, если $\frac{1}{n^{2}} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left\| f_{k}\right\|_{2}^{2} \rightarrow 0$.

Пусть $\varphi \in C(\mathbb {R}), \sup_{\mathbb {R}}\left|\varphi \right|<\infty$. Найдите предел

Пусть $\left\{ a_{n}\right\} \subset \mathbb {C},\left\{ f_{n}\right\}$ - ортонормированная последовательность в $\mathscr {L}^{2}(E), S_{n}=\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} f_{k}$. Докажите, что если $\sum \sqrt{n}\left|a_{n}\right|^{2}<\infty$, то