Накрывающие пространства

Покажите, что если $p : A \to B$ — накрывающее отображение, а $C$ — линейно связное, локально линейно связное хаусдорфово пространство, то $P : A \times C \to B \times C$, $P(a, c) = (p(a), c)$ является накрывающим отображением.

Покажите, что если $p_1 : A_1 \to B_1$, $p_2 : A_2 \to B_2$ — накрывающие отображения, то таковым же является $P : A_1 \times A_2 \to B_1 \times B_2$, $P(a_1, a_2) = (p_1(a_1), p_2(a_2))$.

Покажите, что $p_m : S^1 \to S^1$, $p_m(z) = z^m$ (комплексное умножение) — или, эквивалентно, $p(\cos x, \sin x) = (\cos mx, \sin mx)$ — является накрывающим отображением.

Покажите, что если $A$ компактно, а $p : A \to B$ — накрывающее отображение, то для любого $b \in B$ множество $p^{-1}(b)$ состоит из конечного числа точек.

Используя контекст упражнения 4.1.4 (что $A$ компактно, а $p : A \to B$ — накрывающее отображение), покажите, что поскольку $B$ предполагается линейно связным, число точек в $p^{-1}(b)$ не зависит от $b$.

Напомним, что порядок накрывающего отображения — это (постоянное) число точек в каждом прообразе $p^{-1}(x)$; когда это число конечно и равно $k$, накрытие называется $k$-листным.

Рассмотрим накрытие $P_{2,1} : T \to T$ из упражнения 4.1.6. На рисунке 4.1(a) изображено это накрытие. Теперь изменим базовое пространство на $T^{(2)}$, используя ту же конструкцию, которая применялась для получения $T$ из $S^2$ (хирургия: удаление двух дисков и замена их цилиндром), а в накрывающем пространстве $T$ проделаем эту хирургию дважды, как показано на рисунке 4.1(b).

Построение накрытия p : T^{(3)} \to T^{(2)}.

Продолжая хирургическую конструкцию из упражнения 4.1.7 и начиная с $P_{m,1}$, но теперь выполняя $n$ хирургий над базовым пространством, постройте $m$-листное накрытие $p : T^{(mn+1)} \to T^{(n+1)}$.

Напомним (из изучения неориентируемых поверхностей), что существуют двулистные накрытия $p : S \to P$ и $p : T \to K$, где $S, T$ — сфера и тор, а $P, K$ — проективная плоскость и бутылка Клейна. Из них можно получить новые накрывающие пространства с помощью хирургии (удаление диска как из накрывающего пространства, так и из базового пространства, согласованным с накрывающим отображением образом, и замена каждого из них ручкой), как в упражнениях 4.1.7-4.1.8. Покажите, что существует двулистное накрытие $p_n : T^{(2n)} \to P^{(2n+1)}$.

Покажите, что существует двулистное накрытие $p_n : T^{(2n+1)} \to P^{(2n+2)}$.

Начнём с $K = S^1 \times S^1 / (z, w) \sim (-z, \overline{w})$ (обычная конструкция бутылки Клейна $K$ как фактора тора). Для нечётного $n$ образуем новое пространство $K_n = S^1 \times S^1 / (z, w) \sim (e^{\pi i/n} z, \overline{w})$; заметим, что при $n = 1$ получается обычная конструкция $K$. Существует естественное отображение из $K$ в $K_n$, индуцированное тождественным отображением $T = S^1 \times S^1$ на себя (оно корректно определено, поскольку $n$ нечётно, так что $(z, w) \sim (-z, \overline{w})$ является частью отношения эквивалентности, задающего $K_n$). Покажите, что $K_n$ гомеоморфно $K$.

Для каждого из конечных накрытий $p : A \to B$ поверхностей, построенных хирургией в упражнениях 4.1.6-4.1.11, проверьте, что имеет место формула

связывающая эйлеровы характеристики $A$ и $B$, где $k$ — порядок накрытия.

Предполагая формулу $\chi (A) = k\chi (B)$ для поверхностей (упражнение 4.1.12), покажите, что единственные поверхности без края, которые могут накрывать сами себя с порядком $k > 1$, — это $T$ (тор) и $K$ (бутылка Клейна).

Пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение конечного порядка $k$ одной поверхности на другую, и пусть дано разбиение $B$ на ручки, в котором каждая ручка лежит в равномерно накрытой окрестности.

Пусть $W$ — букет $S^1_a \vee S^1_b$ двух окружностей, помеченных $a, b$. Накрывающее пространство порядка $2$ можно изобразить, пометив накрытие как $a_1, a_2, b_1, b_2$. На рисунке 4.2 показан один такой пример, в котором каждая окружность $W$ двулистно накрывается одной окружностью.

Двулистное накрытие S^1 \vee S^1.

Существуют ещё два неэквивалентных 2-листных накрывающих пространства для $W$, отличных от изображённого выше. Приведите их изображения.

На рисунке 4.3 показано 3-листное накрытие $W = S^1_a \vee S^1_b$. Рёбра, помеченные $a$, отображаются на одну окружность, а помеченные $b$ — на другую.

Трёхлистное накрытие S^1 \vee S^1.

Приведите изображения двух различных неэквивалентных 3-листных накрывающих пространств для $W$, отличных от изображённого на рисунке 4.3.

Докажите следующую лемму: пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение, и $U \subset B$ — линейно связное открытое множество, которое равномерно накрыто, причём $p^{-1}(U) = \bigcup_i U_i$, и $b \in U$. Пусть $a_i \in U_i$ удовлетворяют $p(a_i) = b$. Если $X$ связно и $f : X \to B$ непрерывно, причём $f(X) \subset U$, $f(x) = b$, то существует единственное поднятие $\tilde{f}_i$ отображения $f$ с $\tilde{f}_i(x) = a_i$. Более того, $\tilde{f}_i(X) \subset U_i$.

Докажите теорему о единственности поднятия пути: пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение с $p(a) = b$. Дан путь $f : I \to B$ с $f(0) = b$; тогда существует единственный путь $\tilde{f} : I \to A$ с $\tilde{f}(0) = a$ и $p\tilde{f} = f$.

Пусть $r : I \to B$ — путь в $B$ с $r(0) = b_1$ и $r(1) = b_2$. Определим отображение из $p^{-1}(b_1)$ в $p^{-1}(b_2)$ следующим образом: для каждого $a \in p^{-1}(b_1)$ пусть $r_a$ — единственное поднятие пути $r$ с $r_a(0) = a$. Затем сопоставим $a$ точку $r_a(1)$. Покажите, что это задаёт биекцию между $p^{-1}(b_1)$ и $p^{-1}(b_2)$.

Докажите следующую теорему: пусть $F : (I \times I, \left\{ 0\right\} \times I, 1 \times I) \to (B, b_1, b_2)$ — гомотопия между $f_0, f_1$, и $p(a) = b_1$.

Используя упражнение 4.1.20, определите отображение из $\pi_1(B, b)$ в $p^{-1}(b)$ следующим образом: сопоставим $[f]$ точку $\tilde{f}(1)$, где $\tilde{f}$ — единственное поднятие пути $f$ с $\tilde{f}(0) = a$.

Покажите, что $p_* : \pi_1(A, a) \to \pi_1(B, b)$ является инъективным (взаимно однозначным). Таким образом, $p_*(\pi_1(A, a))$ — это подгруппа группы $\pi_1(B, b)$, изоморфная $\pi_1(A, a)$.

Объединив идеи упражнений 4.1.21 и 4.2.1, покажите, что $p_*(\pi_1(A, a)) \subset \pi_1(B, b)$ — это подгруппа классов петель $[f]$, для которых поднятие петли до пути $\tilde{f}$ с $\tilde{f}(0) = a$ удовлетворяет условию $\tilde{f}(1) = a$. То есть это подгруппа петель в точке $b$, которые поднимаются до петель в точке $a$.

Две подгруппы $H_1, H_2 \subset G$ называются сопряжёнными, если существует элемент $g \in G$ такой, что $H_1 = g H_2 g^{-1}$; то есть каждый элемент $H_1$ имеет вид $g h g^{-1}$, где $h \in H_2$. Покажите, что сопряжённость является отношением эквивалентности на подгруппах группы $G$.

Докажите следующую теорему: пусть $a_0, a_1$ удовлетворяют $p(a_0) = p(a_1) = b$. Пусть $\alpha$ — путь, соединяющий $a_0$ с $a_1$, с $\alpha (0) = a_0$, $\alpha (1) = a_1$. Пусть $\alpha = p\tilde\alpha$ и $g = [\alpha ] \in \pi_1(B, b)$. Пусть $G_0 = p_*(\pi_1(A, a_0)) \subset \pi_1(B, b)$ и $G_1 = p_*(\pi_1(A, a_1)) \subset \pi_1(B, b)$.

Сопряжённые петли.

Для накрывающего отображения $p_m : S^1 \to S^1$, $p_m(z) = z^m$, из упражнения 4.1.3, вычислите $(p_m)_*(\pi_1(S^1, 1))$ и $(p_m)_*(\pi_1(S^1, e^{2\pi i/m}))$. Являются ли они сопряжёнными? Объясните.

Рассмотрим накрывающее пространство $A$ букета двух окружностей $B = S^1_x \vee S^1_y$, которое образовано объединением оси $x$ и оси $y$ вместе с копиями окружности, присоединёнными в каждой ненулевой целой точке $(n, 0)$ и $(0, m)$. Обозначим эти окружности как $S^1_{xn}$ и $S^1_{ym}$. Отображение $p : A \to B$ переводит ось $x$ в окружность $S^1_x$ обычным накрывающим отображением и аналогично переводит ось $y$ в окружность $S^1_y$. Окружность $S^1_{xn}$ отображается посредством отождествления в окружность $S^1_y$, а окружность $S^1_{ym}$ отображается посредством отождествления в окружность $S^1_x$. См. рис. 4.5.

Накрывающее пространство для упражнения 4.2.6.

Рассмотрим двулистное накрывающее пространство $A$ трёх касающихся окружностей над букетом двух окружностей $B$, изображённое на рис. 4.6. Дуги, помеченные $a_i$, накрывают первую окружность, а окружности, помеченные $b_i$, накрывают вторую окружность.

Накрывающее пространство для упражнения 4.2.7.

Покажите, что $G_1 = p_*(\pi_1(A, v_1)) = p_*(\pi_1(A, v_2)) = G_2$.

Рассмотрим накрывающее пространство $A$ букета двух окружностей $B = S^1_a \vee S^1_b$ (с базовой точкой $v$, в которой соединяются обе окружности), изображённое на рисунке 4.7. В этом накрывающем пространстве каждая дуга $a_i$ один раз обходит окружность $S^1_a$ против часовой стрелки, а каждая дуга (или петля) $b_i$ один раз обходит окружность $S^1_b$ против часовой стрелки. Обозначим образующие группы $\pi_1(B, v)$ через $a, b$ — это классы эквивалентности петель, однократно обходящих каждую из окружностей.

Накрывающее пространство к упражнению 4.2.8.

Непрерывное отображение $\tilde{f} : X \to A$ называется поднятием отображения $f : X \to B$, если $p\tilde{f} = f$. Докажите следующую теорему (критерий поднятия): пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение и $p(a) = b$. Пусть $G = p_*(\pi_1(A, a))$. Пусть $X$ — линейно связное, локально линейно связное пространство и $f : (X, x) \to (B, b)$ непрерывно. Существует (единственное) поднятие отображения $f : X \to B$ до $\tilde{f} : X \to A$ с $\tilde{f}(x) = a$ тогда и только тогда, когда

Следуйте приведённому ниже плану.

Пусть $p_i : A_i \to B$ — накрывающие отображения, $p_i(a_i) = b$. Пусть

Тогда существует непрерывное отображение $P : A_1 \to A_2$ с $P(a_1) = a_2$, $p_2 P = p_1$, причём $P$ является накрывающим отображением.

Пусть $f : A \to A$ — непрерывное отображение, являющееся поднятием $p : A \to B$, и $f(a) = a$. Тогда $f$ — тождественное отображение.

Пусть $p_1 : A_1 \to B$, $p_2 : A_2 \to B$ — эквивалентные накрывающие пространства с эквивалентностью $h : A_1 \to A_2$ и $h(a_1) = a_2$. Покажите, что $(p_1)_*(\pi_1(A_1, a_1)) = (p_2)_*(\pi_1(A_2, a_2))$.

Пусть $p_1 : A_1 \to B$, $p_2 : A_2 \to B$ — накрытия с $p_i(a_i) = b$. Покажите, что если $(p_1)_*(\pi_1(A_1, a_1)) = (p_2)_*(\pi_1(A_2, a_2))$, то эти накрытия эквивалентны посредством эквивалентности $F : A_1 \to A_2$ с $F(a_1) = a_2$.

Объедините упражнения 4.2.10--4.2.13 с теоремой 4.2.1 (упражнение 4.2.4), чтобы доказать следующую характеризацию: два накрытия $p_1 : A_1 \to B$, $p_2 : A_2 \to B$ с $p_i(a_i) = b$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $(p_1)_*(\pi_1(A_1, a_1))$ и $(p_2)_*(\pi_1(A_2, a_2))$ являются сопряжёнными подгруппами группы $\pi_1(B, b)$.

Покажите, что существует лишь два накрытия пространства $\mathbb {R} P^2$ с точностью до эквивалентности: одно из них — тождественное накрытие, а другое — $p : S^2 \to \mathbb {R} P^2$.

Пусть $p : A \to B$ — накрытие, $A$ линейно связно и $\pi_1(B, b) = \left\{ e\right\}$. Покажите, что $p$ является гомеоморфизмом.

Пусть $p_1 : A_1 \to B$, $p_2 : A_2 \to B$ — накрывающие отображения, а непрерывное отображение $h : A_1 \to A_2$ удовлетворяет условиям $p_1 = p_2 h$, $(p_1)_*(\pi_1(A_1, a)) = (p_2)_*(\pi_1(A_2, h(a)))$. Покажите, что $h$ — гомеоморфизм, и, следовательно, является эквивалентностью между накрытиями.

Подгруппа $G \subset F$ называется подгруппой индекса $k$, если множество правых смежных классов $Gf$ по $G$ содержит $k$ элементов. Используя упражнение 4.1.15, найдите все классы сопряжённости подгрупп индекса 2 $G$ свободной группы $F_2$.

Если $p : A \to B$ — накрывающее отображение, то гомеоморфизм $T : A \to A$ с $pT = p$ называется накрывающим преобразованием. Пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение, $p(a_1) = p(a_2) = b$ и $G_i = p_*(\pi_1(A, a_i)) \subset \pi_1(B, b)$. Пусть $T : A \to A$ — накрывающее преобразование с $T(a_1) = a_2$. Покажите, что $G_1 = G_2$.

Пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение с $p(a_1) = p(a_2) = b$. Покажите, что существует накрывающее преобразование $T : A \to A$ с $T(a_1) = a_2$ тогда и только тогда, когда $p_*(\pi_1(A, a_1)) = p_*(\pi_1(A, a_2))$.

Покажите, что множество всех накрывающих преобразований отображения $p : A \to B$ образует группу, которую мы обозначим $G_p$, относительно операции композиции гомеоморфизмов.

Покажите, что если $T_1, T_2$ — накрывающие преобразования с $T_1(a) = T_2(a)$ для некоторого $a \in A$, то $T_1 = T_2$.

Рассмотрим гомеоморфизм $T_n : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $T_n(x) = x + n$, $n \in \mathbb {Z}$. Пусть $p : \mathbb {R} \to S^1$ — стандартное накрывающее отображение $p(t) = e^{2\pi i t}$.

Покажите, что если $T : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — накрывающее преобразование, то $T = T_n$ для некоторого $n$ (упражнение 4.3.5). Заключите, что $G_p \simeq \mathbb {Z}$ для $(\mathbb {R}, p, S^1)$.

Найдите группу накрывающих преобразований накрытия $p : S^2 \to P$, $p(x) = [x]$ (где $P = S^2/x \sim -x$, а $[x]$ обозначает класс эквивалентности точки $x$).

Найдите группу накрывающих преобразований накрытия $p_m : S^1 \to S^1$, $p_m(z) = z^m$ (см. упражнение 4.1.3).

Рассмотрим накрывающее пространство для $S^1 \vee S^1$ из упражнения 4.2.8. Покажите, что не существует накрывающего преобразования, переводящего $v_1$ в $v_2$.

Докажите следующую теорему: пусть $p : A \to B$ — накрывающее пространство, $p(a) = b$ и $\pi_1(A, a) \simeq \left\{ e\right\}$. Тогда группа накрывающих преобразований $G_p$ изоморфна фундаментальной группе $\pi_1(B, b)$.

Следуйте плану, приведённому ниже. Определите отображение $r : G_p \to \pi_1(B, b)$ следующим образом. Для $T \in G_p$ пусть $s$ — путь в $A$, соединяющий $a$ и $T(a)$, и пусть $r(T) = [ps]$. Докажите, что $r$ является изоморфизмом, выполнив следующие шаги.

Используя упражнение 4.3.11, приведите другое доказательство для упражнения 4.3.9.

Нормализатор $N(H)$ подгруппы $H \subset G$ — это подгруппа $\left\{ g \in G : gHg^{-1} = H\right\}$. Докажите следующую теорему, обобщающую теорему 4.3.1 (упражнение 4.3.10): существует изоморфизм между группой накрывающих преобразований $G_p$ пространства $p : A \to B$ и фактор-группой $N(H)/H$, где $H = p_*(\pi_1(A, a)) \subset \pi_1(B, b)$.

Покажите, что существует биекция между

и $N(H)/H$ (обозначения как в упражнении 4.3.13).

Группа $G$ гомеоморфизмов пространства $A$ называется собственно разрывной, если для каждого $a \in A$ существует открытое множество $U$, содержащее $a$, такое, что $g(U)$ не пересекается с $U$ при всех $g \neq e$. Покажите, что если $G$ — собственно разрывная группа гомеоморфизмов, то для каждого $a \in A$ существует открытое множество $U$, содержащее $a$, такое, что $g_0(U) \cap g_1(U) = \emptyset$ для всех $g_0 \neq g_1 \in G$.

Напомним, что накрывающее пространство $p : A \to B$ называется регулярным, если $p_*(\pi_1(A, a))$ является нормальной подгруппой в $\pi_1(B, b)$; по упражнению 4.3.15 это эквивалентно тому, что группа накрывающих преобразований действует транзитивно на $p^{-1}(b)$. Напомним также, что группа $G$ гомеоморфизмов пространства $A$ называется собственно разрывной (упражнение 4.3.16), если для каждого $a \in A$ существует открытое множество $U$, содержащее $a$, такое что $g(U) \cap U = \emptyset$ при $g \neq e$.

Предположим, что $A$ линейно связно и локально линейно связно, а $G$ — группа гомеоморфизмов пространства $A$. Пусть $A/G$ обозначает факторпространство, образованное из $A$, где $a \sim g(a)$ для $g \in G$.